重庆双江中学高二数学解析几何例题

1、直线与双曲线例题 TOC o 1-5 h z 22(1)过点 P( J,5) 与双曲线 -L =1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它72522,们的万程。(2)直线y=kx+1与双曲线3x - y =1相交于a、B两点，当a为何值时,A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解析：(1)解：若直线的斜率不存在时，则x=J7,此时仅有一个交点(J7,0),满足条件;若直线的斜率存在时，设直线的方程为y-5 = k(x-，7)则y = kx + 5 kJ7 ,x2 (kx 5 k、7)22- 2- -=1,25x2 -7(kx + 5-kV7)2 =7父25,72

2、5(25 -7k2)x2 -7 2kx(5-k ,7) (5-k.7)2 -7 25 = 0,5.7 ,. 一 .当k =时，方程无解，不满足条件；当/尹2x5xx10 = 75方程有一解，满足条件;225 22 2当 k2 时，令-： =14k(5-k , 7)2 -4(25-7k2)(5 k、7)2 -165 =0 ,化简彳导:k无解，所以不满足条件； 5 7所以满足条件的直线有两条 x =和y = -5 x +10。7(2)把 y =kx + 1 代入 3x2 y2 =1 整理得：(3 a2)x2 -2ax-2 = 0 (1)当 a#M3时，2 =24 -4a2 o由 0得-66，晨甚且

3、a # 73时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。2若A、B在双曲线的同一支，须 x1x2 =0 ,所以a1T3或a%3。a。3故当、后启7旧或J3a/6时，A B两点在同一支上；当 J3aJ3时，A B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。2 y22. (1)求直线y=x+1被双曲线x =1截得的弦长；42(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2 -2=1截得的弦中点轨迹方程。42x2 -工=1222得 4x _(x+1) 4=0 得 3x -2x-5 = 0(*)4解析：由y

4、 = x 12X|X2 , X| X2 得，= 8.23则设直线的方程为y = kX 1 ,设方程(*)的解为K，X2,则有3d = ,2 区-X2 1= . 2 *(X1 X2) -4X1X2 = 2. 9，3（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点, 它被双曲线截得的弦为 AB对应的中点为P（X，y）,y = kX 12y 1- 二12、 24 得(4 -k)X -2kX-5 = 0(*)22、设方程（*）的解为x1，x2,则=十2。（4 k ） 054-k2.16k2 ：80,|k | ： .52kX1 X2 =2,X1X2且4 -k21 . kX 二二(X1X2 )2 ,24

5、-k1 ,、1 ,、,y 二二(y y2)二二(、x2) 1 =2244 -k2kX =24;ky4 - k22得 4x -y +y=0(y或 y0)。方法二：设弦的两个端点坐标为A（X1,y1）,B（X2,y2） ,弦中点为Pdy),则24X1, 2 4x22.-Y1=42.-Y2 =4得:4(X1 x2)(x -X2) = (y1 y2)(y1 - 2y y2 二 4（x1 -X2）_y _ 4x. X1 +x2y1-y2 , 即x y1,即4x2 y2+y = 0（图象的一部分）点评：（1）弦长公式|AB|=|x1X2|=,1+/|y1y2|; （2）有关中点弦问 题的两种处理方法。22

6、解析：设双曲线的方程为三_三 a2 b2.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率 的范围。一一 一. b . . _=1(a 0, b a 0) , F (c,0),渐近线 y = - x ,则过 F a.2 22 22, 2b x -ay -ab =0的直线方程为y=a(xc),则 aby = -(x-c)b代入得(b4 -a4)x2 +2a4cx-a4c2 -a2b4 =0,：0 _ 441 即得b a ,Xf x2 0b a ,即得到 e J2。取值范点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系, 围往往与判别式的取值建立联系

7、。.直线m y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于 A、B两点，直线l过点P (2, 0)和线 段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。分析：本题的目标是求参数 b的取值范围，与例 3中第(2)问，在方法上相同，一方 面，由直线 m与双曲线左支交于两点，可得关于k、b的不等式，A =f(k , b)0 ,但应注意A B两点的横坐标Xa, Xb均小于0;另一方面，由直线l过P及AB中点，又可得到关于 k, b的等量关系g(k , b)=0,联立f(k , b)0及g(k , b)=0 ,可求b的取值范围。 TOC o 1-5 h z y = kx + 19 9解：9= (1k2)

8、x2 2kx 2 = 0 x2 -y2 =1设 A ( X1 , y1 ) , B ( X2 , y2 ) , AB 中点为 M ( X0 , y ),则由题意，得”2kx1 +x2 =2 0= 1 k 0px1 x2k又 X0 -2 21-k2y。1=kx0 12,即 M (1 -k21 - k2 1 -k2二直线l的斜率为kPM1-k2 -0二直线l的方程为y =k1 -k212(n、 -2k2 k 2一(一2)-2k2 k 2(x 2)令x=0,得直线l在y轴上的截距为b=2-, kW(1,J2)-2k2 k 2注：求b的取值范围，即求以 k为自变量的函数 b=f(k)的值域。”:函数g

9、(k) =-2k2 +k +2 = -2(x -)2 +17在(1,J2)上为减函数 TOC o 1-5 h z 48g(Q) g(k) g(1),且g(k)*0 即血-2g(k)1,即g(k)#0二一2-jJ一或一2-a 2 即b0,bO）的右顶点为A, P是双曲线右支上异于顶 a b作双曲线的两条渐近线 的平行线与直线OP分别交于Q和R两点（1）证明：不论p点在什么位置，总有 op2=OQ Or；点的一个动点，过A（2）在双曲线上是否存在 一点P,使AAQR的面积等于 生？若存在，写出4请说明理由。P点坐标；若不存在,17已知向量OA =（2,0）,OC =AB =（0,1）,动点M到定直

10、线y = 1的距离等于d,并且满足OM AM=k （CM BM -d2），其中O是坐标原点，k是参数（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲 线类型；1 .(2)当k=1时，求|OM +2AM |的最大值与最小值(3)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足虫工出，求k的取值范围 32215.解:(1)由抛物线方程，得焦点F(1,0),设椭圆G的方程:事 a2+与=1(a b a 0),解方程组 b22y = 4x,x = 1,由于Ci, C2者B关于珞由对称：: 屿| =匹d1 = - ,A|FA|=3X2=-|FA| |AB| 3423.192.22，A(1,一),二二十2=1，又a -b

11、 =c2a24b222方程为2 =143=1,得3+3 =1,解得b2 =3,并推得a2 =4,故椭圆CMb 1 4b(2)设l : x=ty +1,解方程组J2/y =4x,x=ty +1,消元得：y2-4ty-4 = 0, ：=16t2 16 0, TOC o 1-5 h z r 22，| PQ|=Ji +t2.316t2 +16 =4(t2 +1).再解方程组13xy 一 二0得:(3t2+4)y2+6ty 9 = 0,x =ty +122 二36t36(3t4) 0.5+3t = ,.33卫卢二坦口由四:5,即虹口3t2 43t2 4 . | MN | 312(t1)23t2 4故直线

12、l的方程为：y = 6x-V3或y = 7x + V3.216.解:(1)设P点坐标为(Xi, y1),则OP方程为：y = *x,且与 x1ay1 yxbb分别为，l1: y = (x-a),l2: y = 一一(x-a)由同理得R点坐标为(abxabybx1 aybx ay12 y1b2),OQ OR =1,过A与渐近线平行的两直线方程得Q点坐标为(bl bx1 - ayi2 222 222a b (xy) _ a b (Xiy1)2 2222b Xi -a y12. 2.xia b ( 2 a2b2)abybx1 - ay1二为2y12 ; OP2(2)点A到直线的距离即AQR的QR上的

13、高为h= r 1ya|.x； yi2，|OR|= ji +一22,Xiyiab | xi|Xi|1 2a|yi |,2 2 |b Xi=2a 2 bxiyi|yi| _2|yiJ2,2 a b /A Oxi d忌殂w,y B2a 27y1ab 2Jb2i 得 Xi=a, TOC o 1-5 h z bx2j. yi =土一，代22a2二满足条件的P点存在，其坐标为(史a,士b) 22i7.解:(i)设M(x, y),则由 oA=(2,0),oC = aB =(0,i)且O是原点，得 A(2,0), B(2,i),C(0,i)，从而oM =(x, y), AM =(x2, y),CM = (x,

14、 y-i), BM = (x2, y-i),d =| yi|,根据曲 AM = k(CM 而d2)得(x, y) (x-2, y) =k(x, y -i) (x-2, y-i)-| y i |2,即(ik)x2 +2(k i)x+ y2 =0为所求轨迹2方程，当k=i 时，y=0,动点M的轨迹是一条直线；当k#i时，方程可化为(x-i)2+-y = ii-k动点M的轨迹是一个椭圆。当k=0时，动点M的轨迹是一个圆；当0 k i4k OBt,动点M的轨 迹是一个椭圆 TOC o 1-5 h z (2)当k=时，动点M的轨迹方程是(x-i)2+2y2 =i,即y2 =二-(x-i)2,从而|OM+

15、2疝|2 = 22 222222 i i29527|(x,y) 2(x-2,y)| =|(3x-4,3y)| =(3x-4)9y =(3x-4) 9 (x-i) =-(x-)-325 .c . 7.又由(xi)2 +2y2 =i得O Ex E2.所以当x=时,|OM +2AM |2,取得最小值,当x = O时，|OM32i4+ 2AM |2取得最大值i6,因此|OM +2AM |的最大值是4,最小值是 t 3(3)由于 3 e2 r- 一， 一 一、,八，即e Mi,所以此时圆锥曲线是椭 圆，其方程可以化为2当O二k ：二1时,222a =i,b =i-k,c2,2二a -biM(ik) =

16、k 此时 e22 c2 a22(x-i) . y =ii i-k3 . . 2=k，而W e 9，32当k ；O时，a2=i -k, b2 =i,c2=a2 -b2 = (i k)-i = -k,此时e22 c -2 a-ki-k k -i田3 .2而-e -i上3 k -i TOC o 1-5 h z 1 一 一-1w.而 kO,可解得iWkE.22综上可以k的取值范围是-i,-4uCJ23 27,设动点P到点A(i,O)和B(i,O)的距离分别为 di和d2 , /APB = R ,且存在常数2%（0 九1）,使得d1d2sin ,(1 -)-V 5 7211 -11 - 1-:二，：二一

17、.,-2.1.0235 -12由知，H1w九4 36 =九.（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出 C的 方程；（2）过点B作直线双曲线C的右支于M, N两点，试确定K的范围，使OME = 0, 其中点O为坐标原点.解法一：（1）在 PAB 中，AB| =2 ,即 22 =d； +d； 2d1d2cos28,4=（d1 d2）2 +4d1d2 sin29 ,即 |d1 一d2| = ,4 4d1d2sin2 8 =2/T2 （常数）， TOC o 1-5 h z 、/、,2点P的轨迹C是以A, B为焦点，实轴长2a = 2 J匚f的双曲线.方程为：工=1.1 - 设M区，W），N（X2,

18、y2）当MN垂直于x轴时，MN的方程为x = 1 , M （1,1）,11o-1 _ 5N (1, 1)在双曲线上.即 一一=1=九+九1=0= %=,因为0 九 1 ,1 - 25-1.所以k=-.当MN不垂直于x轴时，设 MN的方程为y = k（x1）.2得： -(1 - )k2 x2 2(1 - )k2x-(1- )(k2)=0,y =k(x-1)由题意知：4一(1-，)k2 =0,所以K %;为(1 ) , 2 -(1 - )k2xx22-(j )(k2-)1 - (1 - 1)k22是：yy2 =k (xi -1)(x2 -1) =,-(1 - 1) k2因为OM5n=0,且M, N

19、在双曲线右支上，所以gyy2 =0 x1x20=x1x20k2当X|=X2=1时，2 I.21、，八 一 ，MB = 九=1=九十九一1= 0,因为0九1 ,所以1 九x1九二史二1；当X #X2时，IJ2| X2.1-= kMN又 kMN kBE -所以(1 九)y0 =，uX0 九X0 ；Xo -1由 / MON =得 X2 + y：= 岬,由第二定义得21 ,又 0 儿 12-3一1 5-12, 解得：%升上一。升口 r 父 m *点C的坐标是(1,0) .(I)证明CA, CB为常数；(II)若动点M满足CM =CA + CB + CO(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程.19.解：

20、由条件知 F(2,0),设 A(x1, y), B(x2, V2) .(I)当AB与x轴垂直时，可设点 A, B的坐标分别为(2,J2) , (2,- J2),此时 cacb =(1,扬1,扬=1 .当AB不与x轴垂直时，设直线 AB的方程是y =k(x2)(k1).代入 x2-y2 =2 ,有(1 k2)x2+4k2x (4k2 +2) = 0.则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2 =4k24 k22 , x1x2 = -2，k -1k -1于是CACB2 , TOC o 1-5 h z = (X1-1)(X2- 1)yiy2 =(X1- 1)(X2- 1) k(X1-2)(x2- 2)2_22(k2 1)(4k2 2)k2 -1= (k2 1)X1X2 -(2k2 1)(X1 - x2) 4k2 1 4k2(2k2 1)2 彳 4k2 1k2 -1= (Mk2 2)+4k2+1 = 1.综上所述，CAW 为常数1.,、5、一(II)解法一：设 M (x, y),则 CM =(x1, y) , CA = (x1-1, y1),CB = (X21, y2), CO = (-1,0),由x -1 = X1 x2- 3