高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)二次函数与幂函数 (2)

1、eq avs4al(第五节二次函数与幂函数) 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解幂函数的概念2.结合函数yx，yx2，yx3，yeq f(1,x)，yx的图象，了解它们的变化情况3.掌握二次函数的概念、图象特征4.掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力.1.以集合为载体，考查二次方程的解集，二次函数的定义域、值域或二次不等式的解集，如x年xT1，浙江T1等2.以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，如x年xT4

2、等3.一元二次方程根的分布也是高考考查的重点，如x年xT13等.归纳知识整合1二次函数的解析式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)a(xh)2k(a0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质a0a0(a0)与ax2bxc0恒成立的充要条件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0，)其几何意义是抛物线恒在x轴上方；(2)ax2bxc0恒成立的充要条件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0时，根据幂运算，幂函数

3、yx0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内3函数yx，yx2，yx3，yxeq f(1,2)，yeq f(1,x)在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下自测牛刀小试1如果二次函数的图象开口向上且关于直线x1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为()Af(x)x21Bf(x)(x1)21Cf(x)(x1)21 Df(x)(x1)21解析：选D由图象开口向上且关于直线x1对称，可排除A、B选项；由图象过点(0,0)可排除C选项2已知函数f(x)ax2x5在x轴上方，则a的取值范围是()

4、A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,20) B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,20)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,20)，) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,20)，0)解析：选C函数f(x)ax2x5在x轴上方，eq blcrc (avs4alco1(a0，,120aeq f(1,20).3(教材习题改编)已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A0,1 B1,2C(1,2 D(1,2)解析：选B如图，由图象可知m的取值范围1,24(教材习题改编)如图中曲线是幂函数

5、yxn在x象限的图象已知n取2，eq f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2 B2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2Ceq f(1,2)，2,2，eq f(1,2) D2，eq f(1,2)，2，eq f(1,2)解析：选B由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2.5(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是_y2x；y2x1；y(x2)2；yeq r(3,x2)；yeq f(1,r(x).解析：yeq r(3,x2)xe

6、q f(2,3)，yeq f(1,r(x)xeq f(1,2)故为幂函数答案：二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式自主解答依条件，设f(x)a(x1)215(a0)，即f(x)ax22axa15.令f(x)0，即ax22axa150，则x1x22，x1x21eq f(15,a).而xeq oal(3,1)xeq oal(3,2)(x1x2)33x1x2(x1x2)2332eq blc(rc)(avs4alco1(1f(15,a)2eq f(90,a).即2e

7、q f(90,a)17，则a6.故f(x)6x2xx9.在本例条件下，若g(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，求g(x)的解析式解：设p(x，y)是函数g(x)图象上的任意一点，它关于原点对称的点p(x，y)必在f(x)的图象上则y6(x)2x(x)9，即y6x2xx9.故g(x)6x2xx9.二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴

8、截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.二次函数的图象和性质例2(xx模拟)已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间自主解答(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21.又x4,6，函数f(x)在4,2上为减函数，在2,6上为增函数f(x)maxf(4)(42)2135，f(x)minf

9、(2)1.(2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa，且f(x)在4,6上是单调函数，a6或a4，即a6或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x3，x0，6，,x22x3，x6，0，)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0解决二次函数图象与性质时的注意点(1)分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与

10、正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等2抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.2已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故eq blcrc (avs4alco1(f35，,f22，)eq blcrc (avs4alco1(9a6a2b5，,4a4a2b2，)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b0.)当a0时，f(x)在2,3上为减函数，故eq blcrc (avs4alco1(f32，,f25，)eq blcrc

11、 (avs4alco1(9a6a2b2，,4a4a2b5，)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3.)(2)b1，a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上单调，eq f(2m,2)2或eq f(m2,2)4.m2或m6.幂函数的图象和性质例3已知幂函数f(x)的图象经过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)，f(r(2),4)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2f(x2)；x1f(x1)eq f(fx2,x2)；eq f(fx1,x1)eq f(fx2,x2).其中正确结论的序号是()ABCD自主解答

12、法一：依题意，设f(x)x，则有eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq f(r(2),4)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)，所以eq f(1,2)，于是f(x)x.由于函数f(x)x在定义域0，)内单调递增，所以当x1x2时，必有f(x1)f(x2)，从而有x1f(x1)eq f(fx2,x2)，所以正确法二：设f(x)x，则有eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq f(r(2),4)即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq blc(rc)(avs4alc

13、o1(f(1,8)，所以eq f(1,2)，所以f(x)x.设g(x)xf(x)x，因为g(x)x在定义域内是增函数，当x1x2时，必有x1f(x1)x2f(x2)，所以正确；设h(x)eq f(fx,x)即h(x)x，因为h(x)x在定义域内是减函数，所以当x1eq f(fx2,x2)，所以正确答案D幂函数yx图象的特征(1)的正负；0时，图象过原点和(1,1)，在x象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸(3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点3幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1m3B

14、0C1D2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在x象限下降，故m22m30，即1m3；又从图象看，函数是偶函数，故m22m3为负偶数，将m0,1,2分别代入，可知当m1时，m22m34，满足要求4当0 xg(x)f(x)答案：h(x)g(x)f(x)1类最值二次函数在给定区间上的最值二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解2种思想数形结合与分类讨论思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等式的时

15、候常常要结合图形寻找思路(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次不等式根的大小等5种方法二次函数对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xeq f(x1x2,2).(2)对于二次函数yf(x)定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)(3)对于二次函数yf(x)定义域内所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)注意：(2)(3)中，f(ax)f(a

16、x)与f(x2a)f(x)是等价的(4)利用配方法求二次函数yax2bxc(a0)的对称轴方程为xeq f(b,2a).(5)利用方程根法求对称轴方程若二次函数yf(x)对应方程f(x)0的两根为x1，x2，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xeq f(x1x2,2). 数学思想分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论典例(x青岛模拟)已知f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最小值解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当

17、a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为xeq f(1,a).当eq f(1,a)1，即a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在0,1内，f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(1,a)上递减，在eq blcrc(avs4alco1(f(1,a)，1)上递增f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)eq f(1,a)eq f(2,a)eq f(1,a).当eq f(1,a)1，即0a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向

18、向下，且对称轴xeq f(1,a)0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述f(x)mineq blcrc (avs4alco1(a2，a0)在区间m，n上的最大或最小值如下：(1)当eq f(b,2a)m，n，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其值是feq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2a)eq f(4acb2,4a)，f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f(m)，f(n)中的较大者(2)当eq f(b,2a)m，n，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在m，n上是单调函数若eq f(b,2a)m

19、，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若neq f(b,2a)，f(x)在m，n上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)eq avs4al(变式训练)1设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论而2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)eq blcrc (avs4alco1(a22a，2a1，,1，a1.)2(x玉林模拟)是否存在实

20、数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由解：f(x)x22axa(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，eq blcrc (avs4alco1(f113a2，,f11a，)解得a1(舍去)；当1a0时，eq blcrc (avs4alco1(faaa22，,f11a2，)解得a1.当01时，f(x)在1,1上为减函数，eq blcrc (avs4alco1(f113a2，,f11a，)a不存在综上可知a1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1已知点eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)

21、,3)，r(3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A奇函数B偶函数C定义域内的减函数 D定义域内的增函数解析：选A设f(x)x，由已知得eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)eq r(3)，解得1，因此f(x)x1，易知该函数为奇函数2(x临沂模拟)已知函数yax2bxc，如果abc，且abc0，则它的图象是()解析：选Dabc，abc0，a0，c0，yax2bxc的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上3已知函数f(x)x2bxc且f(1x)f(x)，则下列不等式中成立的是()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(0)f(2)f(2)D

22、f(2)f(0)f(2)解析：选Cf(1x)f(x)，(x1)2b(x1)cx2bxc.x2(2b)x1bcx2bxc.2bb，即b1.f(x)x2xc，其图象的对称轴为xeq f(1,2).f(0)f(2)0，eq f(4ac4,4a)0，ac1，c0.ac2eq r(ac)2.当且仅当ac1时，取等号，ac的最小值为2.答案：29已知函数yeq r(mx2m3x1)的值域是0，)，则实数m的取值范围是_解析：当m0时，yeq r(3x1)，显然成立当m0时，要使y0，)，只要eq blcrc (avs4alco1(m0，,m324m10，)解得0m1或m9.综上m的取值范围是0,19，)答

23、案：0,19，)三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)2x的解集为x|1x3，方程f(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式解：设f(x)2xa(x1)(x3)(a0)，则f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，16a216a436a20,20a216a40，5a24a10，(5a1)(a1)0，解得aeq f(1,5)，或a1(舍去)因此f(x)的解析式为f(x)eq f(1,5)x2eq f(6,5)xeq f(3,5).x已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最

24、大值5，求a的值及函数表达式f(x)解：f(x)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)24a，抛物线顶点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，4a).当eq f(a,2)1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；当0eq f(a,2)1，即0a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)eq blcrc (avs4alco1(fx，x0，,fx，x0，,x12，x0恒成立即可结合f(x)ax2(3a)x1的图象，当a0时验证知符合条件当a0时必有a0，当xeq f(3a,2a)0时，函数

25、在(，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)0即可，解得0a3；当xeq f(3a,2a)0即可，解得3a9，综上所述可得a的取值范围是0a9.2已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，)上是增函数？解：函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数；当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数m1.3已知f(x)x23x5，xt，t1，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式解：如图所示，函数图象的对称轴为xeq f(3,2)，(1)当t1eq f(

26、3,2)，即teq f(5,2)时，h(t)f(t1)(t1)23(t1)5，即h(t)t25t1eq blc(rc)(avs4alco1(tf(5,2).(2)当teq f(3,2)eq f(3,2)时，h(t)f(t)t23t5.综上可得，h(t)eq blcrc (avs4alco1(t25t1blc(rc)(avs4alco1(tf(5,2)，,f(29,4)blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(3,2).)4设f(x)是定义在R上的偶函数，当0 x2时，yx，当x2时，yf(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)

27、上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为ya(x3)24，将(2,2)代入可得a2，所以y2(x3)24，即x2时，f(x)2x2xx14.又f(x)为偶函数，当x2时，f(x)f(x)2(x)2xx14，即f(x)2x2xx14.故函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x2xx14.(2)函数f(x)的图象如图：(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(，4 eq avs4al(第三节二项式定理) 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能利用计数原理证明二项式定理2.会用

28、二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.一般不考查用计数原理证明二项式定理2.求二项展开式中某项的系数和特定项是高考的热点，考查形式为选择题和填空题，难度不大，属中低档题，如x年xT10，xTx等.归纳知识整合1二项式定理二项式定理(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数Ceq oal(r,n)(r0,1，n)二项式通项Tr1Ceq oal(r,n)anrbr，它表示第r1项探究1.二项式(xy)n的展开式的第k1项与(yx)n的展开式的第k1项一样吗？提示

29、：尽管(xy)n与(yx)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换2二项式系数的性质探究2.二项式(xy)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定自测牛刀小试1(xy)n的二项展开式中，第r项的系数是()ACeq oal(r,n)BCeq oal(r1,n)CCeq oal(r1,n) D(1)r1Ceq oal(r1,n)解析：选D本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(1)r1Ceq oal(r1,n).2(x四川

30、高考)(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35C28 D21解析：选D依题意可知，二项式(1x)7的展开式中x2的系数等于Ceq oal(2,7)1521.3已知eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,x)8展开式中常数项为1 x0，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38C1或38 D1或28解析：选C由题意知Ceq oal(4,8)(a)41 x0，解得a2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.4若(12x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_解析：由题意得eq blcrc (avs4alco1(T2T1，,T2T3

31、，)即eq blcrc (avs4alco1(Coal(1,6)2x1，,Coal(1,6)2xCoal(2,6)2x2，)解得eq f(1,12)xeq f(1,5).答案：eq f(1,12)xCoal(4,n)，,Coal(3,n)Coal(2,n)，)即5n0，eq f(fr,fr1)eq f(2kr1,r).令f(r)f(r1)，则eq f(2kr1,r)1，则rkeq f(1,2)(等号不成立)当r1,2，k时，f(r)f(r1)成立反之，当rk1，k2，2k时，f(r)f(r1)成立f(k)Ceq oal(k,2k)最大，即(ab)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大1若eq

32、blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,x)n的展开式中的第5项为常数，则n()A8 B10Cx D15解析：选CT41Ceq oal(4,n)(eq r(x)n4eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)4Ceq oal(4,n)24xeq f(n12,2)为常数，eq f(n12,2)0，nx.2若(xy)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于x项，且xy1，xy0，则x的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,5) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(4,5)，)C.eq blc(rc(avs4alco1(，f(4,5)

33、 D(1，)解析：选D二项式(xy)9的展开式的通项是Tr1Ceq oal(r,9)x9ryr依题意有eq blcrc (avs4alco1(Coal(1,9)x91yCoal(2,9)x92y2，,xy1，,xy0.)由此得eq blcrc (avs4alco1(x81x4x71x20，,x1x1，即x的取值范围是(1，)39192除以100的余数是_解析：9192(901)92Ceq oal(0,92)9092Ceq oal(1,92)9091Ceq oal(90,92)902Ceq oal(91,92)90Ceq oal(92,92)M10292901(M为整数)100M8210081.

34、9192除以100的余数是81.答案：814设f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数是19(m，nN*)(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x7的系数解：(1)由题意知Ceq oal(1,m)Ceq oal(1,n)19，即mn19，所以m19n.x2的系数为Ceq oal(2,m)Ceq oal(2,n)Ceq oal(2,19n)Ceq oal(2,n)eq f(1,2)(19n)(18n)eq f(1,2)n(n1)n219n171eq blc(rc)(avs4alco1(nf(19,2)2eq f(

35、323,4)，nN*，当n9或n10时，x2的系数取最小值eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(323,4)81.(2)当n9，m10或n10，m9时，x7的系数为Ceq oal(7,10)Ceq oal(7,9)Ceq oal(3,10)Ceq oal(2,9)156. eq avs4al(第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数) 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解任意角的概念2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1.考查形式为选择题或填空题2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题

36、，如x年新课标全国T5等3.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如x年xT16等.归纳知识整合1角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角与角的终边相同k360(kZ) (或k2，kZ)探究1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍，相等的角终边一定相同2锐角是x象限角，x象限角是锐角吗？小于90的角是锐角吗？提示：锐角是大于0且小于90的角，x象限角不一定是锐角，如390，300都是x象限角小于90的角不一定是锐角，如0，30都不是锐角2弧度的概念与公式在半

37、径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角的弧度数公式|eq f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1eq f(,180)rad1 radeq blc(rc)(avs4alco1(f(180,)弧长公式弧长l|r扇形的面积公式Seq f(1,2)lreq f(1,2)|r23任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos eq f(y,x)叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余

38、弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线探究3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负自测牛刀小试1(教材习题改编)下列与eq f(9,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360eq f(9,4)(kZ)Ck360315(kZ) Dkeq f(5,4)(kZ)解析：选Ceq f(9,4)eq f(9,4)18036045720315，与eq f(9,4)终边相同的角可表示为k360315(kZ)2(教材习题改编)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在()

39、Ax象限 B第二象限Cx象限 D第四象限解析：选D由sin 0，可知的终边可能位于x或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，可知的终边只能位于第四象限3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1B4C1或4D2或4解析：选C设扇形的弧长为l，半径为r，则eq blcrc (avs4alco1(2rl6，,f(1,2)lr2，)解之得lr2或r1，l4，故圆心角1或4.4(教材习题改编)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos eq f(5,13)，则x的值为_解析：cos eq f(x,r(x262)eq f(

40、x,r(x236)eq f(5,13)，eq blcrc (avs4alco1(x0，,f(x2,x236)f(25,169)，)解之得xeq f(5,2).答案：eq f(5,2)5若点P在角eq f(2,3)的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_解析：角eq f(2,3)的终边落在第二象限，可设P(x，y)，其中x0，y0，由题意得eq blcrc (avs4alco1(f(x,2)cos f(2,3)，,f(y,2)sin f(2,3)，)即eq blcrc (avs4alco1(x1，,yr(3)，)P(1，eq r(3)答案：(1，eq r(3)象限角及终边相同的角例1(1)写出终

41、边在直线yeq r(3)x上的角的集合；(2)若角的终边与eq f(6,7)角的终边相同，求在0,2)内终边与eq f(,3)角的终边相同的角；(3)已知角为x象限角，试确定2的终边所在的象限自主解答(1)在(0，)内终边在直线yeq r(3)x上的角是eq f(,3)，终边在直线yeq r(3)x上的角的集合为eq blcrc(avs4alco1(|f(,3)k，kZ).(2)eq f(6,7)2k(kZ)，eq f(,3)eq f(2,7)eq f(2k,3)(kZ)依题意0eq f(2,7)eq f(2k,3)2eq f(3,7)keq f(18,7)，kZ.k0,1,2，即在0,2)内

42、终边与eq f(,3)相同的角为eq f(2,7)，eq f(20,21)，eq f(34,21).(3)由是x象限角，得2keq f(3,2)2k(kZ)，24k234k(kZ)角2的终边在x、二象限及y轴的非负半轴在(3)的条件下，判断eq f(,2)为第几象限角？解：2keq f(3,2)2k(kZ)，eq f(,2)keq f(,2)eq f(3,4)k(kZ)当k2n(nZ)时，eq f(,2)2neq f(,2)eq f(3,4)2n，当k2n1(nZ)时，eq f(3,2)2neq f(,2)eq f(7,4)2n，eq f(,2)为第二或第四象限角 1由所在的象限，确定eq f

43、(,n)所在象限的方法(1)由角的范围，求出eq f(,n)所在的范围；(2)通过分类讨论把角写成k360(kZ)的形式，然后判断eq f(,n)所在象限2已知三角函数式的符号判断角所在的象限可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限1(1)已知角2keq f(,5)(kZ)，若角与角的终边相同，则yeq f(sin , |sin |)eq f(|cos |,cos )eq f(tan ,|tan |)的值为()A1B1C3 D3(2)已知点P(tan ，cos )在x象限，则角的终边在()Ax象限 B第二象限Cx象限 D第四象限解析：(1)选B由2keq f(,5)(k

44、Z)及终边相同角的概念知，的终边在第四象限，又与的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.因此，y1111.(2)选B点P(tan ，cos )在x象限，eq blcrc (avs4alco1(tan 0，,cos 0，)是第二象限角.三角函数的定义例2已知角的终边上一点P(eq r(3)，m)(m0)，且sin eq f(r(2)m,4)，求cos ，tan 的值自主解答由题设知xeq r(3)，ym，r2|OP|2(eq r(3)2m2(O为原点)，得req r(3m2).从而sin eq f(m,r)eq f(r(2)m,4)eq f(m,2r(2)，req

45、 r(3m2)2eq r(2)，于是3m28，解得meq r(5).当meq r(5)时，r2eq r(2)，xeq r(3)，cos eq f(r(3),2r(2)eq f(r(6),4)，tan eq f(r(15),3)；当meq r(5)时，r2eq r(2)，xeq r(3)，cos eq f(r(3),2r(2)eq f(r(6),4)，tan eq f(r(15),3).利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；纵坐标y；该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边

46、上任取一点有两种情况(点所在象限不同)2已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解：角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，req r(x2y2)eq r(4t23t2)5|t|.当t0时，即x0时，r5t，sin eq f(y,r)eq f(3t,5t)eq f(3,5)，cos eq f(x,r)eq f(4t,5t)eq f(4,5)，tan eq f(y,x)eq f(3t,4t)eq f(3,4)；当t0时，即x0部分时，sin eq f(3,5)，cos eq f(4,5)，tan eq f(3,4)；当

47、角的终边在直线3x4y0的x0部分时，sin eq f(3,5)，cos eq f(4,5)，tan eq f(3,4).弧度制下扇形弧长与面积公式的应用例3已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若eq f(,3)，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积自主解答(1)60eq f(,3)，R10 cm，lR10eq f(,3)eq f(10,3) cm.(2)扇形的周长20，2Rl20，即2RR20，Seq f(1,2)R2eq f(1,2)R(202R)R210

48、R(R5)225，当R5时，扇形的面积最大，此时eq f(2010,5)2，即2弧度时，这个扇形的面积最大(3)S弓形eq f(1,2)R2eq f(1,2)R2sineq f(,3)eq f(1,2)4eq f(,3)eq f(1,2)4eq f(r(3),2)eq f(2,3)eq r(3)，即弓形的面积为eq f(2,3)eq r(3) cm2.若将本例(1)中的“R10 cm”改为“扇形的弦AB10eq r(2) cm”求扇形的弧长l.解：由题意得eq f(5r(2),R)sin 30，即R10eq r(2)，故弧长lR10eq r(2)eq f(,3)eq f(10r(2),3) c

49、m. 弧度制的应用(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值记住下列公式：lR；Seq f(1,2)lR；Seq f(1,2)R2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积3已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)如图所示，过O作OCAB于点C，则AC5，在RtACO中，sinAOCeq f(AC,AO)eq f(5,10)eq f(1,2)，AOC30，2AOC60

50、.(2)60eq f(,3)，l|req f(10,3).S扇eq f(1,2)lreq f(1,2)eq f(10,3)10eq f(50,3).又SAOBeq f(1,2)1010sin eq f(,3)25eq r(3)，S弓形S扇SAOBeq f(50,3)25eq r(3)50eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(r(3),2).1条规律三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦2个技巧三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定

51、是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧4个注意点理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题(1)x象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角，x类是象限角，第二类、x类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)要熟记0360间特殊角的弧度表示(4)要注意三角函数线是有向线段. 创新交汇三角函数的定义与向量的交汇问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大典例(xx高考)如图，在

52、平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即PCA2，则PCB2eq f(,2)，所以PBsineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)cos 2，CBcoseq blc(rc)(avs4alco1(2f(,2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2，1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)eq avs4al(名师点评)1本题具有以下创新点(1)本题考查三角函数与向量的知识，

53、表面看似向量问题，其实质是考查三角函数的概念问题(2)通过静止问题解决动态问题，考查了考生处理变与不变的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力2解决本题的关键有以下几点(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C的坐标；(2)正确作出辅助线，并求得BP与BC的长度；(3)正确应用向量的坐标运算求出的坐标eq avs4al(变式训练)1(xx高考)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转eq f(3,4)后得向量，则点Q的坐标是()A(7eq r(2)，eq r(2)B(7eq r(2)，eq r(2)C(4eq r(6)，2) D(4eq r(6)，2)解析：选

54、A设从x轴正方向逆时针到向量的角为，则从x轴的正方向逆时针到向量的夹角为eq f(3,4)，这里cos eq f(3,5)，sin eq f(4,5).设Q坐标为(x，y)，根据三角函数的定义x10coseq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)10eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)7eq r(2)，y10sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eq r(2)，即Q(7eq r(2)，eq r(2)2如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，

55、点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致为()解析：选C如图取AP的中点为D.设DOA，则d2sin ，l2，故d2sin eq f(l,2).一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1若k18045(kZ)，则在()Ax或x象限B在x或第二象限C第二或第四象限 D在x或第四象限解析：选A当k为偶数时，的终边与45角的终边相同，是x象限角平分线；当k为奇数时，的终边与45角的终边在同一条直线上，是x象限角平分线2点A(sin 2 013，cos 2 013)在直角坐标平面上位于()Ax象限 B第二象限Cx象限 D第四象限解析：选C由2 0133605(18

56、033)可知，2 013角的终边在x象限，所以sin 2 0130，cos 2 0130，即点A位于x象限3已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有eq blcrc (avs4alco1(3a90，,a20，)即2a3.4若是x象限角，则y的值为()A0 B2C2 D2或2解析：选A由于是x象限角，所以eq f(,2)是第二或第四象限角，当eq f(,2)是第二象限角时，yeq f(sinf(,2),sinf(,2)eq

57、 f(cosf(,2),cosf(,2)110；当eq f(,2)是第四象限角时，yeq f(sinf(,2),sinf(,2)eq f(cosf(,2),cosf(,2)110.5点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq f(2,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)解析：选

58、A由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcoseq f(2,3)eq f(1,2)，ysineq f(2,3)eq f(r(3),2).6已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A2 B1C.eq f(1,2) D3解析：选A设此扇形的半径为r，弧长为l，则2rl4，面积Seq f(1,2)rleq f(1,2)r(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2.从而eq f(l,r)eq f(2,1)2.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若点P(x，y)是300角终边上异于原点的一点，则eq f(y,x)的值为_解析：eq

59、 f(y,x)tan 300tan(36060)tan 60eq r(3).答案：eq r(3)8(x辽源模拟)若三角形的两个内角，满足sin cos 0，则此三角形为_解析：sin cos 0，且，是三角形的两个内角sin 0，cos 0，为钝角故三角形为钝角三角形答案：钝角三角形9已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos eq f(4,5)，则m的值为_解析：req r(64m29)，cos eq f(8m,r(64m29)eq f(4,5)，m0，eq f(4m2,64m29)eq f(1,25)，meq f(1,2).m0，meq f(1,2).答案：eq f(1,2)三、

60、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10已知角的终边过点P(3cos ，4cos )，其中eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，求的三角函数值解：eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，1cos 0.req r(9cos216cos2)5cos ，故sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，tan eq f(4,3).x一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)lr1，,l2r4，)解得eq blc