2.1.1椭圆的定义与标准方程 (3)

1、第2章椭圆、双曲线、抛物线2.1椭圆创设情境 引入新课中国第一颗人造地球卫星“东方红一号” “丰田”汽车标志餐盘先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 和 两点，并使绳长大于 和 的距离 （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形 我们将平面内与两个定点 的距离之和为常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距 创设情境 引入新课椭圆的定义：动脑思考 探索新知实验画出的图形就是椭圆下面我们根据实验的步骤来研究

2、椭圆的方程 动脑思考 探索新知实验画出的图形就是椭圆下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c0），椭圆上的点与两个定点 的距坐标分别为（c，0）， （c，0），离之和为2a（a0），则 的由条件 得 动脑思考 探索新知实验画出的图形就是椭圆下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c0），椭圆上的点与两个定点 的距离之和为2a（a0），则

3、 坐标分别为（c，0）， （c，0），的由条件 得 移项得 两边平方得 整理得 两边平方后，整理得 由椭圆的定义得2a2c0，即ac0，所以设 则 等式两边同时除以 得 设 ，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义动脑思考 探索新知方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程它（2.1）所表示的椭圆的焦点是 并且 动脑思考 探索新知方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程它（2.2）所表示的椭圆的焦点是 并 想一想 已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？ 动脑思考 探索新知方程的特点1、椭圆的标准方程有焦点在x轴和焦点在y轴

4、两种。2、椭圆标准方程的等号左边是两项的平方和，等号右边是1。4、椭圆的焦点位置可由方程中含字母x,y项的分母的大小来确定，哪项的分母大，焦点就在那条坐标轴上。3、巩固知识 典型例题分析解题关键是判断椭圆的焦点在哪个数轴方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴 例1求下列椭圆的焦点和焦距 （1） （2） 巩固知识 典型例题解 （1）因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，并且 故 因此 c = 1，2c = 2 所以，椭圆的焦点为 焦距为2 例1求下列椭圆的焦点和焦距 （1） （2） 巩固知识 典型例题（2）因为168，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 故 因此 所以，椭

5、圆的焦点为 焦距为例1求下列椭圆的焦点和焦距 （1） （2） 巩固知识 典型例题例2已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10求椭圆的标准方程 解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 即 想一想 将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？ 运用知识 强化练习2已知椭圆的焦点为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8求椭圆的标准方程 1写出下列椭圆的焦点坐标和焦距 （1） （2） 自我反思 目标检测 已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10求椭圆的标准