3.2.1任意角三角函数的定义 (2)

1、 任意角的三角函数的定义何倩1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 复习回顾OMPabr yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课 导入o如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？诱思 探究MOyxP(a,b)是否能通过r特殊值将表达式简化呢？提示：取r=1，即使点P到原点距离为1提示：由相似三角形的对应边的比值相等，可知改变终边上点P的位置，这三个比值不发生改变。思考3.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆. yox1M那么这样的点的轨迹是什么呢？4.任意角的三角函数定义 所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐

2、标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域. 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ； （2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ； （3） 叫做 的正切，记作 ， 即 xyo的终边说 明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 横坐标等于0， 无意义，此时 轴上时，点P 的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数 直角

3、坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数 例1 求 的正弦、余弦和正切值.所以 思考：若把角 改为 呢? ， 实例 剖析的终边与单位圆的交点坐标为解：在直角坐标系中，作，易知 例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .解:由已知可得设角 的终边与单位圆交于 ，分别过点 、 作 轴的垂线 、 于是， 那么 叫做 的正弦，即 叫做 的余弦，即 叫做 的正切，即 定义推广： 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，点 与原点的距离 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的 终边上的位置无关.1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧

4、度制）探究三角函数定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”+-+-+-+- 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角 为第三象限角. 证明： 反过来请同学们自己证明. 因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于 y 轴的非正半轴上； 又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限. 因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.于是角 为第三象限角.例4 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：（1）因为 是第三象限角，所以 ；练习 确定下列三角函数值的符号 （3）因为 是第四象限角，所以 .（2）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ；思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 角的三角函数值 . ？yox1M例5 求下列三角函数值： （1） （2） 解：（1） 练习 求下列三角函数值 （2）1. 内容总结： （1）三角函数的概念（2）三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号（3）诱导公