质点运动学在直角坐标系中题目类型课件

1、大学物理力学电磁学振动上册质点运动学质点与质点系动力学 力 学机 械 振 动 基 础刚体力学基础力学物体位置随时间的变化力学运动学动力学（即在什么条件下，作什么样的运动）经典力学宏观低速研究机械运动的规律研究如何描述物体的机械运动研究机械运动的内在规律尺寸不太小（与原子、分子比）速度不太大（与光速比）第1章 质点运动学（运动的描述）基本要求：1、 掌握位矢、位移、速度、加速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。2、 能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。3、 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。4、运动的叠加原理、相对运动难点内容各物理量

2、的矢量书写和计算有关运动学物理量的矢量性、瞬时性、相对性、可加性切向加速度、法向加速度分量的物理含义 1.1 参考系 坐标系 物理模型 一、质点的概念(1)理想模型 (为了简化问题，突出物体具有质量和占有位置这两个根本性质）(2)条件 研究的问题中大小和形状不起显著作用只具有质量,大小和形状可以忽略的几何点 物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。 一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。模型的使用是有条件的。可以作为质点处理的物体的条件：1、大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。2、平动物体各点的运动状态完全相同。例1：研究地球

3、公转地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。研究地球自转地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的大小和形状不能忽略，这时不能作质点处理。除车轮在转动外，汽车各部分运动情况（速度、加速度）完全相同，车轮的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。例2：研究汽车在平直道路上运动涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。研究汽车突然刹车“前倾”或转弯质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。二、确定质点位置的方法参考系、坐标系参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体称为参考系。 要定量描述物

4、体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。 常用的坐标系有直角坐标系(x,y,z)，极坐标系(,)，球坐标系(R, )，柱坐标系(R, ,z )。 xyzozR参考方向zoRxy 在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。即：自然坐标系：是曲线运动中的一种常用坐标系。切向单位矢量法向单位矢量x z y z( t ) y( t )x( t ) r( t )P( t )0二、确定质点位置的方法P 点位置: 1、坐标法P 点的位置可用坐标（x

5、,y,z) 确定。2、自然法：+在已知的运动轨迹上任选一故定点o,为自然坐标的原点，运动轨迹的长度 s ,为p点的自然坐标。ospoxyz 在直角坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。P(x,y,z) 位置矢量3、位矢法从O指向P方向：大小:如图：蓝线是飞机飞行的轨迹，位矢 y( t ) r( t )P( t )0z( t )zy xx( t )Q (t)反映了飞机在P和Q点相对于O点（机场）的远近，即大小和方向。x, y ,z 是位矢在坐标轴上的投影，可正可负。当 投影在坐标轴的正半轴时投影量取正，反之为负。注意：位矢的

6、性质：1、矢量性2、瞬时性 3、叠加性运动学方程矢量形式运动学方程的直角坐标分量式（投影式）4、相对性 物理意义：质点在空间的运动可以看作是质点在x, y ,z轴上同时参与三个直线运动的合成。与坐标系的选择有关求：写出以v0初速度作平抛运动的质点的运动方程。解：建立坐标系xy0yx0 xy0 x0y0注意：不同的坐标系对同一运动的描述不同。取Y轴向上为正向：取为抛点： x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) 总结： 直角坐标分量式 1 .运动学方程: 自然坐标系 y( t ) r( t )P( t )0z( t )zy xx( t ) 运动方程的矢量式 质点的位

7、置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做 运动方程。x=Rcos ty=Rsin tx2+y2=R2轨道方程质点在空间运动所经过的路迹称为轨道。在运动方程中消去时间 t .得到质点的轨道方程。如:(消去t)2. 轨道方程1、轨迹方程不显含时间。2、轨迹方程包含的信息量小于运动学方程。如：x2+y2=R2不能判断是匀速还是 变速运动。 注意运动方程与轨道方程区别：例 : 一质点 作匀速圆周运动，圆周半径为r, 角速度分别写出用直角坐标系、自然坐标系表示的质点运动方程。P(x,y)soyrx直角坐标运动方程运动学方程矢量式自然坐标以 为自然坐标系原点：1.2 位移.速度.加速度一

8、、 位移位移：反映质点位置变化的物理量，从初始位置指向末位置的有向线段。 A BSO引入的原因：位矢的瞬时性大小:A-B 间的直线距离方向: 由A B位移可视为三个坐标轴上位移分量的矢量叠加。1、4、具有相对性。相对不同参考系位移不同。 路程: 内质点在轨道上经过的路径长度，自然坐标增量的绝对值。ABs=D曲线长路程是标量、位移是矢量1、位移 和路程 A BS区别：A(B)？ (1)位移与过程无关 S1 = S2ABS2（2）有限大小的路程一般不等于有限大小的位移的模特例：质点作直线 运动且速度方向不变时。（3）无穷小位移，沿轨迹切线方向无穷小路程物理含义：无穷小位移等于无穷小路程（4）已知运

9、动学方程，如何求无穷小的位移？ 例如：求t时刻附近的无穷小位移是多少？方法： 1. 求增量、取极限 2. 求微分相同：都是矢量不同：1、 具有相对性，与坐标原点的选取有关。 与坐标原点的选取无关。 2、 是瞬时量， 不是瞬时量。oA B 3、区别位矢增量的大小(位移大小)位矢大小的增量注意： 二. 速度速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。 1.平均速度物理意义：位矢在时间 内对时间的平均变化率性质：（1）、矢量性 ： 方向与位移方向相同 （2）、可叠加性 （3）、不具有瞬时性 2.瞬时速度（简称：速度）当 t0时，P2点向P1点无限靠近。P2P2P2P2 oP1P2P2速度方向：

10、的极限方向即沿P1点的切线并指向前进方向速度的物理意义：是 时的平均速度，表征某一时刻运动的快慢，也即位置变化的快慢。速度的大小表示为速度的方向由下式决定直角坐标中的速度：1、瞬时性2、矢量性3、可加性4、相对性 性质： 3.平均速率物理意义：路程在时间 内对时间的平均变化率 区别：平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。例：已知运动学方程描写沿轨道运动的快慢 4、瞬时速率: 注意: 速率即速度的大小是算术量，恒取正值例题 求人头影的速度 The altitude of a road lamp is H. A person

11、 of height h goes away straightly from the road lamp. When the persons velocity equals , what does equal the velocity of his head shadow? vv (t )v (t+t )xr(t+t )r(t) y z P2 P1 0v (t )v (t+t )三、加速度-描述质点速度变化情况(大小.方向)1.速度增量注意 的方向2.平均加速度大小方向的方向物理意义：反映了速度在 时间内的平均变化率xr(t+t )r(t) y z P2 P1 0v (t )v (t+t )3

12、. 瞬时加速度 方向是否一致？其方向是时的极限方向,指向曲线凹的一边.令加速度与速度的夹角大于90，速率减小。加速度与速度的夹角等于90，速率不变。远日点近日点加速度与速度的夹角小于900，速率增大。1、加速度的方向与速度的方向不一定相同。且加速度的正负不能说明质点做加速还是减速运动。2、加速度描述速度的变化，它只与 的改变有关，而与速度本身的大小无关。3、若速度的大小不变，而方向改变，是否有加速度？方向:大小:直角坐标中加速度的表达形式1、瞬时性2、可加性 反映了运动的叠加性3、矢量性 加速度的性质：注意：容易出错的地方（m）注意：加速度是矢量 本节课学习了 的基本概念。 要求会由运动学方程

13、求任意时刻的速度、加速度总结1: 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变化越快练习Key: c2、一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量的表示式为 （其中a、b为常量），则该质点作（ ） （A）匀速直线运动 （B）变速直线运动 （C）抛物线运动 （D）一般曲线运动练习Key: B思路：求轨迹方程和速度 如图所示湖中有一小船，有人用绳绕过岸上H高度处的定滑轮拉湖上的船向岸边运动，设该人以匀速率v0 收绳，绳原长 l0，湖水静止，则小

14、船的运动是（ ） （A）匀加速运动 （B）匀减速运动 （C）变加速运动（D）变减速运动练习 3、拉船靠岸练习4：如图，A、B两物体由一长为 L 的刚性细杆相连， A、B两物体可以在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定的速率v向左滑行，当 时，物体 B 的速度为多少？ABvLABvLx解：1、建立如图所示坐标系3、利用图示的几何（约束）关系2、表示出质点 A .B 的直角坐标系下速度的解析式：Oxyy两边求导：任一时刻速度的表达式：时，在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运动的前进方向；另一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方

15、位不断变化。自然坐标系切向单位矢量法向单位矢量1.3 自然坐标系下平面曲线运动的一、自然坐标系下的速度zpxyq其中：自然坐标系下的速度表达式讨论物理意义：1、 瞬时速率 ：反映了质点任一时刻沿轨道运动的快慢。2、任何时刻质点的速度总沿轨道的切线方向，速度只有切线分量而无法向分量。OS+由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：由加速度的定义有二、 自然坐标系下的加速度以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：讨论物理意义：难点：讨论物理意义：（1）讨论物理意义：作图：蓝色三角形与红色三角形相似，对应边成比例讨论物理意义：结论：自然坐标系下加速度表达式：即圆周运

16、动的加速度可分解为两个正交分量：切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢P自然坐标系中总加速度为：改变速度大小改变速度方向 两组单位矢量 ？与的区别是什么？加速度大小方向o在曲线的轨迹上任取3点，这3点决定了一个圆，若两侧的点无限靠近中间的点，则他们所决定的圆无限接近于一个极限圆。这个圆就叫做曲线在A点的曲率圆。这个圆的半径称为曲率半径。对圆周运动而言：曲率半径各点相同于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时，仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。三、推广：一般平面曲线运动中的加速度质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而

17、成。 瞬时曲率半径三、推广：一般平面曲线运动运动中的加速度力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。. 变速直线运动. 匀速率圆周运动. 变速率圆周运动四、讨论几种特殊情况：下面三种情况分别代表那一类运动？总结本节从速度的矢量性出发将速度的变化分为速度方向的改变和速度大小的改变利用自然坐标系引入了切向加速度和法向加速度。RossP（1） t 时刻质点的总加速度的大小（2） t 为何值时，总加速度的大小b（3）当总加速度大小为b时，质点沿圆周运行了多少圈。一质点沿半径为R的圆周按规律 运动，v0、b 都是正的常量。求：例题在t 时刻，质点运动到位置 s 处。其速度为：解：先作图

18、如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的 p 点处。RossP（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: （2）令a = b ，即（3）当a = b 时，t = v0/b ，质点历经的弧长为 它与圆周长之比即为圈数：1.4 圆周运动的角量表示oxyA：t线量描述法用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法角量描述法用角坐标、角位移、角速度、平均角速度、角加速度等物理量描写圆周运动的方法oxyA：t设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的角坐标为 从坐标轴OX沿着逆时针方向转到质点所在处所得的 为正，反之为负。故： 为代数量一、角坐标 由

19、于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置规定：定义：位矢在t时间内角坐标的变化， 单位：rad规定逆时针为正二、角位移 B：t+t oxyA：t瞬时角速度：平均角速度：物理意义：单位时间内角坐标的改变量三、角速度单位： 弧度/秒(rads-1)物理意义：衡量转动的快慢。与圆周运动的绕向满足右手螺旋定则，右手握住转动轴，四指与质点运动方向一致，大拇指所指方向为 方向。 是矢量方向：与速率的关系：讨论角加速度的单位：弧度/平方秒(rads-2)。讨论：(1) 角加速度对运动的影响：质点作匀速率圆周运动质点作匀变速率圆周运动质点作变速率圆周运动四、角加速度（2 ）（3 ）（1

20、）五. 线量与角量之间的关系（4）匀角加速度圆周运动 和 匀变速直线运动 的比较结论：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把匀角加速度圆周运动转化为匀变速直线运动形式，从而简化问题。 半径r=0.2 m的飞轮，绕o轴转动。M点的运动方程求1秒后M点的速度和加速度。vRx0M例题1例题2掌握常用的积分变量的变换式：例题2一质点作半径为R的圆周运动，其速度与加速度矢量之间的夹角 始终保持不变，试证明速度可以表示为：其中：1.5 在直角坐标系中求解运动学的两大类问题教学目的：质点运动学在直角坐标系中题目类型、解法研究主要数学工具：矢量运算、微积分按质点运动的加速度分： 匀速运动： 匀变速运动：

21、为恒量 任意变速运动：按自由度分类： 一维、二维、三维按轨迹分类： 直线运动 圆周运动 抛物线运动 复杂的曲线运动由运动学方程求轨迹方程、 将质点运动学的问题分为两类求解：已知 求任意时刻 一、微分法（1）运动学方程已直接给出例： 已知质点在 2s 末时的速度和加速度为（ ）(A)(B)(C)(D)（2）运动学方程未直接给出思路： 首先写出质点的位置坐标或运动方程，再用（1）所述方法解一、微分法例题：求人头部影子的速度 拉船靠岸二、积分法 这类问题是第一类问题的逆问题。需要用积分的方法解决。oxv现在以直线运动为例，作概括性讨论：直线运动：匀变速直线运动的运动学方程2、已知初始条件求任意时刻3、已知初始条件求任意时刻求任意时刻4已知初始条件解1：取t为自变量 运动会上跳水运动员自10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速。自水面向下取坐标轴oy，其加速度