矩阵与变换复习

1、矩阵与变换2.1.1 矩阵的概念1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;2.矩阵的表示；3.相等的矩阵;2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则;2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射;3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.2.1 二阶矩阵与平面向量的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A、B、C表示，或者用(aij)表示，其中i,j 分别表示元素aij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。2.2

2、.1 恒等变换2.2.2 伸压变换2.2.3 反射变换2.2.4 旋转变换2.2.5 投影变换2.2.6 切变变换2.2 几种常见的平面变换恒等变换矩阵(单位矩阵): 恒等变换: 对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵 对应的变换,都把自己变成自己。这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩阵). 恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换。二阶单位矩阵一般记为E垂直伸压变换矩阵： 伸压变换： 将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换. 一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5

3、这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.M(l1a+l2b) = l1Ma+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线l1a+l2b 变成直线 l1Ma+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换。 反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。(即形如 的几何变换叫做线性变换)旋转变换矩阵 通常叫做旋转变换矩阵.对应的变换称做旋转变换.其中的角q做旋转角.点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定

4、. (1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射像 这类将平面内图形投影到某条直线相应的变换称做投影变换.(或某个点)上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,投影变换平移|ky|个单位:当ky0时，沿x轴正方向移动；当ky0)， 或者方向相反(l0).特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量.2.5 特征值与特征向量建构数学设矩阵A ，lR，我们把行列式称为A的特征多项式。分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)=0此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. 如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。【定理1】属于矩阵的同一个