量子力学基础和基本理论

1、量子力学基础和基本理论13-1 黑体辐射 普朗克能量子假说13-2 光电效应 爱因斯坦光电方程13-3 氢原子光谱 玻尔理论13-4 波粒二象性13-5 不确定关系13-6 波函数 薛定谔方程13-7 一维无限深方势阱13-8 氢原子的量子力学处理13-9 电子自旋 四个量子数13-10 原子的中电子壳层结构玻尔的理论是对普朗克、爱因斯坦理论的自然扩展，下一个问题是：微观系统的能量为什么是量子化的呢？量子论的产生以及狭义相对论的创立使我们看到，由经典概念建立起来的经典理论与新的实验事实有许多矛盾，对这些实验事实的解释迫使我们放弃旧的观念，需要用全新的观点去看待这个不可思议的微观世界。有成就的学

2、者之所以能够成功，就在于他们能摆脱旧观念的束缚提出全新的概念。13-4 波粒二象性在20世纪的20年代，量子论的研究中心是英国的剑桥、曼彻斯特；丹麦的哥本哈根和德国的哥庭根、慕尼黑。可是下一个重大突破，却产生在这中心以外的法国巴黎。一个至今都令人迷惑的思想，由一个当时还是研究生的小人物德布罗意提出了。一、微观粒子的波粒二象性1.德布罗意假设德布罗意早先是学文史的，18岁获得巴黎大学历史学士学位，又学了一年的法律。但在他哥哥的影响下，对物理学发生了兴趣。他哥哥当时是著名的X 射线物理学家。爱因斯坦的光量子理论成功地解释了光电效应和康普顿效应这个物理学上的重大事件引起了德布罗意的极大关注。他看到，

3、对于光的本性的探索，人类争论了几个世纪。一类实验表明，光具有波动性，另一类实验表明，光具有粒子性，那么光究竟是波还是粒子呢？干涉、衍射、偏振光电效应、康普顿效应波动性粒子性?德布罗意意识到，爱因斯坦提出的是一个全新的见解波与粒子的统一性见解。光既不是波也不是粒子，而是兼有这两种属性的客观实在！德布罗意推想，既然过去被当作波的光同时又具有粒子性，那么过去一向被当作粒子的实物微粒（如电子）会不会反过来也具有波动性呢？（典型的对称性类比推理思维）（又带有浓厚的史学研究方法的色彩）在光的波粒二象性启发下，青年物理学家德布罗意于1924年提出了物质波的假设。他认为：爱因斯坦对光量子的描述应该也适用于“实

4、物粒子”，“任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能相互分离。”他预言：运动的实物粒子的能量 E 、动量P 、与它相关联的波的频率 u 和波长 l 之间满足如下关系： 独创性一切实物粒子都具有波粒二象性 对静质量为 m0 的实物粒子德布罗意关系式与实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波， l 称为德布罗意波长。v c 时以电子为例电子经加速电势差 U 加速后，其速度由下式决定：将 e, m0, h 代入得：U = 100V 时：粒子已知量物质波波长(nm)电子E=1eVE=100eVE=1000eV1.231.231011.23102中子1eV1000eV2.91019.010

5、2微尘m 1013 kgv 0.01 m/s约6.6108枪弹m 20103 kgv 500 m/s约6.61026地球m 5.981024 kgv 3104 m/s约3.71054各种粒子的物质波波长微观粒子的波长与原子尺度相近。宏观物体的 l 极小，其波动性难以体现出来。在原子范围内，微观粒子的波动性能明显地体现出来。量子化和波粒二象性是量子力学中最基本的两个概念。同一个常数 h 在这两个概念中都起着关键作用，这一事实说明，这两个概念间有着深刻的内在联系。普朗克：频率为 n 的振子的能量是量子化的。玻尔的原子理论中，假设电子绕核转动的角动量是量子化的，推导出电子轨道和能级也是量子化的。德布

6、罗意关系式德布罗意敏锐地意识到，玻尔理论的成功充分表明，确定电子在原子中的稳定运动涉及到整数，而物理学中只有干涉现象和驻波振动才涉及整数。因此，电子不可能用简单的微粒来描述，而应当还有周期性的概念。所以，玻尔假设的理论根据可能应该从实物粒子的波动性方面去寻找。驻波的特性：两端固定的弦中激起的驻波，其波长不是任意的。必须满足 驻波波长量子化驻波波长的量子化是由边界条件对弦的限制自然给出的。德布罗意联想到，如果粒子也具有波动性，那么玻尔的量子化轨道是否也类似于一些特定波长的驻波呢？德布罗意根据其物质波的假设提出，原子中的定态与电子驻波相联系。氢原子中一个无辐射的稳定圆轨道的周长必须等于电子的物质波

7、波长的整数倍。此时电子的物质波应形成环形驻波。 稳定轨道半径满足：电子驻波玻尔的角动量量子化条件！德布罗意关于物质波的假设当时并没有引起很大注意。这除了由于刊登他的论文是一个不太为人注意的杂志外，还有以下的原因：首先，这个假设只是对玻尔量子化条件的一种解释，从中并没有得出新的结论；其次，由于经典物理的传统观念，这种将粒子既看成是粒子又看成是波的观念太超乎一般人们的认识。德布罗意也说过，他的这些想法很可能被看成是 “没有科学特征的狂想曲” 。德布罗意的导师朗之万将德布罗意的论文寄了一份给爱因斯坦。爱因斯坦如获至宝，德布罗意的电子波动性假设与他的光场量子化假设正好是一对！爱因斯坦热情洋溢地指出，小

8、兄弟德布罗意作了一项极有意义的努力，这是对物理学最难以揭开的奥秘所作的初步解释，这个见解独具一格。他称赞德布罗意已揭开了一幅大幕的一角。1924 年 11 月，在德布罗意的博士论文关于量子理论的研究答辩会上，考试委员会主席问他，怎样才能在实验上观察到你设想的电子波？他回答建议用电子在晶体上作衍射实验。由于爱因斯坦的推荐，人们开始注意物质波的假设。1927年，美国物理学家C.J. 戴维逊革末用电子衍射实验验证了电子波的存在。二、电子衍射实验（物质波的实验验证）戴维逊革末实验装置 （类似劳厄的X射线晶体衍射）布拉格公式：2dsinj = kl (k = 1, 2, 3, )j = (180-50)

9、/2 = 65镍晶体 d = 0.091 nmk=1时衍射最大。计算得： l= 0.165 nm当自由粒子速度较小时 Ek E0 ，按牛顿力学处理如果电子经过加速电场获得动能当U54V时MoO3单晶劳厄相两者波长值很接近，说明德布罗意的假说是正确的。同年苏格兰的汤姆逊以不同类型的电子衍射实验（用电子束透射金属箔）证实了电子波的存在。电子束与多晶材料的德拜X射线衍射图样对比（波长相同）X射线 约恩逊于1961年成功地获得了电子束的单缝衍射、双缝干涉等实验。光的杨氏双缝干涉图样单缝 双缝 三缝 四缝电子双缝干涉图样1929年，德布罗意因对电子的波动性的理论研究而获诺贝尔物理学奖。汤姆逊和戴维逊则因

10、证实电子具有波动性而分享了1937年的诺贝尔物理学奖。一切实物粒子均具有波粒二象性。近代物理实验还证实了其它实物粒子，如中子、质子、分子和原子等同样具有波动性，并且从实验得到的波长与德布罗意公式相吻合。值得一提的是1993年克罗米等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜表面上的铁原子排列成了半径的圆环形量子围栏(quantum corral)，实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波，它直观地证实了电子的波动性。量子围栏.html电子显微镜是依据电子的波动性设计制造的，用电子束和电子透镜代替光束和光学透镜，使物质的细微结构在非常高的放大倍数下成像。电子显微镜的分辨能力以它所能分辨的相邻两点的最小间

11、距来表示。现在电子显微镜最大放大倍率超过300万倍，而光学显微镜的最大放大倍率约为2000倍，所以通过电子显微镜就能直接观察到某些重金属的原子和晶体中排列整齐的原子点阵。钻石表面血细胞例13-4 试计算温度为25的慢中子的德布罗意波长解：将慢中子看成处于平衡状态的理想气体平均动能与X射线波长的数量级相同。例13-5 试比较一台加速电势差 U =105 V 的电子显微镜与一台波长 l光=500 nm 的光学显微镜的分辨本领。具有与该电子同样波长的光子的能量为多少？3.关于电子波的对应原理原子、分子作为复合粒子（粒子群体）也能产生衍射效应，这是极有意义的。照此推理，一个运动的弹子球会不会被衍射呢？

12、宏观世界里我们从来没有发现！例题+ 一个球，m，v = 3 m/s，通过宽为a = 0.1m 的缝时产生的衍射效应。解：该球通过缝隙时，一级衍射极小的衍射角应满足这意味着，如果该球对准这个缝，然后等小球运动到目前可观测宇宙的边界再行观察，那也不会发现百万分之几厘米的偏离。即，德布罗意波满足对应原理。例题2 ： 飞行的子弹，m = 102kg，v = 500m/s； 电子m=9.11031kg，v=5.0107m/s；求解：与晶格常数同数量级，可通过对晶体的衍射来证实其波动性。波长太短，没有波动效应的表现。例题3+ 电子的动能为100eV；电子的动能等于其静能；分别求其波长。解：若 U = 10

13、0V l = 相对论！例题+ 一个德布罗意波长等于康普顿波长的电子，其动能多大？解：由能量动量关系式则所以4. 德布罗意波的物理意义 干涉和衍射是波动现象的基本特征。但经典波是大量粒子相互作用的结果，以连续介质整体振动形式为其提供直观图象。微观粒子产生干涉衍射图样，究竟是发生在由大量粒子组成的系统层次还是发生在粒子层次 ? 各种微观粒子的干涉、衍射实验表明，微观粒子产生干涉衍射图样，发生在粒子层次 。13-4 完13-17 13-1913-5 不确定关系费曼设计了一个对比子弹（经典粒子）、水波（经典波）和电子（微观粒子）分别通过双缝的理想实验：？实验中电子束非常微弱，以至这些微观粒子是一个个地

14、通过双缝，控制这个条件的目的是使电子间不可能因相互作用而影响观察屏上的结果。S电子的双缝实验少量电子时，底片上出现一个一个无规分布的点。显示了电子的粒子性。随着入射电子数目的增多，逐步在底片上呈现出有规则的干涉图样，显示出电子的波动性。由此可见，电子的波动性质是由单个电子在多次实验中或由多个电子在一次实验中，以统计结果的形式表现出来的。如果按照经典物理的理解，把电子视为质点，有确定的运动轨道，则对正在通过缝 1 的电子，缝 2 的开启与否应与其无关。所以：关闭 S1 或者 S2，结果在屏上显示出单缝衍射的强度分布。两缝都开启，则呈现两个单缝衍射图样的叠加。但实际上：两缝都开启，则呈现双缝衍射的

15、强度分布不是两个单缝衍射图样的叠加，而是出现了干涉项。用经典粒子的概念实在无法解释这个实验。我们不得不认为：即，微观粒子是同时从两个缝通过的！电子自己与自己干涉！S微观世界表现出来的波粒二象性，既不是经典的波性，也不是经典的粒子性的什么组合。用于描述宏观物质属性的物理量对这种微观客体不可能完全描述。由于微观粒子具有波动性，所以就不能再将它们视为经典概念中的质点。牛顿力学中，质点的状态用 (r, p) 描写。任一时刻，质点的空间位置确定；动量确定；质点在空间的运动有确定的轨道。从电子的双缝实验来看，我们不得不认为电子是同时从两条缝通过的，因而我们无法确认电子运动的“轨道”。“轨道”概念的失效，意

16、味着“位置”、“动量”概念也模糊了。1927年海森伯(W. Heisenberg)分析了几个理想实验后提出了测不准关系。由于微观粒子具有波粒二象性，以至于它的某些成对物理量不可能同时具有确定的量值。例如位置坐标和动量、能量和时间等。其中一个量确定越准确，另一个量的不确定程度越大。1932获诺贝尔物理学奖衍射图样电子束x缝屏幕无法确定电子究竟是从缝上哪一点通过的。X 方向电子的位置不准确量为：在电子衍射花样中两个一级极小值之间都有电子分布。一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为： X 方向的分动量 的测不准量为：因为 l=h/p，所以考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以有：经严格证明此式

17、应改写为：这就是著名的海森伯测不准关系式。同理：对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间 Dt 之间也有下面的测不准关系：原子处于激发态的平均寿命一般为这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实这一点。于是激发态能级的宽度为：关于测不准关系式的讨论测不准关系式说明用经典物理学量动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 , 因为微观粒子不可能同时具有确定的动量及位置坐标。不确定关系不是测量技术和主观能力的问题，实质上反映了微观粒子的波粒二象性，可以说它是波粒二象性的数学表述。测不准关系式可以用来判别对于实物粒子其为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描。 例13-6 波长 l = 500nm 的光波沿X轴正向传播，如果测定波长的不确定度为 Dl/l = 107，试求同时测定光子位置坐标的不准确量。经典力学对微观粒子的适用度宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？是否完全不能用经典力学来处理？问题通过下面几个例子来说明例13-7 试比较电子和质量为 10g 的子弹在确定它们位置时的不确定量。假定它们都在 x 方向以 200m/s的速率运动，速率测量