2022年直线与圆的位置关系--切线长定理

1、直线与圆的位置关系切线长定理问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？O50 2、这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线。3、如果P=50,求AOB的度数130问题2、1、经过圆外一点P，如何作已知O的切线？ O。ABP课外补充思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则OAP= ,连接OP，可知A、B 除了在O上，还在怎样的圆上?90如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？尺规作图：过O外一点作O的切线O PABO请跟我做在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长OPAB切线与切线长是一回事吗？切线长概念它们有什么区别与

2、联系呢？ 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长OPAB比一比 OABP思考：已知O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12折一折请证明你所发现的结论。APOBPA = PBOPA=OPB证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB试用文字语言叙述你所发现的结论证一证PA、PB分别切O于A、BPA = PBOPA=OPB

3、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB 切线长定理 APOB 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分ABM试一试APO。B 若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA P

4、CB AC=BCC。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想探究：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（2）写出图中与OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPC例1、已知：P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：ACOPPACBD

5、O 例题讲解 练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求PCD的周长(2) 如果P=46,求COD的度数C OPBDAE切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 APO。BECDPA、PB分别切O于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。我们学过的切线，常有 五个 性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过

6、圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个思考：如何在三角形的铁皮上作一个面积最大的圆呢？OEBDCAF阅读课本97页，思考：1、什么是三角形的内切圆？2、什么是三角形的内心？明确1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。o外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的

7、交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC例3、如图，ABC中,C =90 ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.OEBDCAF例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm) AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). O与ABC的三边都相切AFAE,BDBF,CECD则有xy9yz14xz13解得x4y5z9例4 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等练习2.如图，AB是O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点， (