高中知识点归纳之算法初步推理与证明复数

1、第十三编 算法初步、推理与证明、复数13.1算法与流程图基础自测1.以下对算法的描述正确的有个.对一类问题都有效；算法可执行的步骤必须是有限的；计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义；是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.答案42.任何一个算法都必须有的基本结构是.答案顺序结构3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是（填序号）.求点P（-1，3）到直线l:3x-2y+1=0的距离由直角三角形的两条直角边求斜边解不等式ax+b0 (a0)计算100个数的平均数答案4.下列4种框图结构中，是直到型循环结构的为（填序号）.答案5.（2008广东理，9）阅读下面的流程图，若输入m=4，n=3

2、，则输出a=，i=.（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“=”或“：=”）答案123例1已知点P（x0，y0）和直线l:Ax+By+C=0，求点P（x0，y0）到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图.解算法如下：第一步，输入x0,y0及直线方程的系数A，B，C.流程图：第二步，计算Z1Ax0+By0+C.第三步，计算Z2A2+B2.第四步，计算d.第五步，输出d.例2“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f=其中f(单位：元)为托运费,为托运物品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f的算法，并画出流程

3、图.解算法如下：S1输入;S2如果100,那么f0.6;否则f1000.6+(-100)0.85;S3输出f.流程图为：例3（14分）画出计算12-22+32-42+992-1002的值的流程图.解流程图如下图.14分1.写出求解一个任意二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值的算法.解算法设计如下：第一步，计算m;第二步，若a0,输出最小值m;第三步，若a0，输出最大值m.2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取，超过5 000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇

4、款额为x元时，银行收取手续费y元的过程，画出流程图.解这是一个实际问题，故应先建立数学模型，y=由此看出，求手续费时，需先判断x的范围，故应用选择结构描述.流程图如图所示：3.利用两种循环写出1+2+3+100的算法，并画出各自的流程图.解直到型循环算法：第一步：S0；第二步：I1；第三步：SS+I；第四步：II+1；第五步：如果I不大于100，转第三步；否则，输出S.相应的流程图如图甲所示.当型循环算法如下：S1令i1,S0S2若i100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法S3SS+iS4ii+1，返回S2相应的流程图如图乙所示.一、填空题1.算法：S1输入n；S2判断n是否是2,若n=

5、2,则n满足条件，若n2,则执行S3；S3依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是.答案质数2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构.答案选择结构和循环结构3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是.答案75，21，324.如果执行下面的流程图，那么输出的S=.答案2 5505.（2009兴化市板桥高级中学12月月考）如下图的流程图输出的结果为.答案1326.如图所示，流程图所进行的求和运算是.答案+7.（2008山东理，13）执行下边的流程图，若p=0.8，则输出的n=.（注：框中的赋值

6、符号“”，也可以写成“=”或“:=”）答案48.若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是.答案k8二、解答题9.已知函数f(x)=,写出该函数的函数值的算法并画出流程图.解算法如下：第一步，输入x.第二步，如果x0,那么使f(x)3x-1;否则f(x)2-5x.第三步，输出函数值f(x).流程图如下：10.写出求过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率的算法，并画出流程图.解由于当x1=x2时，过两点P1、P2的直线的斜率不存在，只有当x1x2时，根据斜率公式k=求出，故可设计如下的算法和流程图.算法如下：第一步：输入x1,y1,x2,y2;

7、第二步：如果x1=x2,输出“斜率不存在”，否则，k;第三步：输出k.相应的流程图如图所示:11.画出求+的值的流程图.解流程图如图所示：12.某企业20XX年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图.解算法设计如下：第一步，n0,a200,r0.05.第二步，Tar(计算年增量).第三步，aa+T（计算年产量）.第四步，如果a300，那么nn+1，重复执行第二步.如果a300,则执行第五步.第五步，N2 007+n.第六步，输出N.流程图如下：方法一方法二13.2基本

8、算法语句、算法案例基础自测1.下面是一个算法的操作说明：初始值为n0,x1,y1,z0;nn+1;xx+2;y2y;zz+xy;如果z7 000,则执行语句；否则回到语句继续执行；打印n,z;程序终止.由语句打印出的数值为、.答案87 6822.按照下面的算法进行操作：S1x2.35S2yInt（x）S3Print y最后输出的结果是.答案23.读下面的伪代码：ReadxIf x0 ThenPrintxElsePrint-xEnd If这个伪代码表示的算法的功能是.答案输入一个数，输出其绝对值4.下面是一个算法的伪代码.如果输入的x的值是20，则输出的y的值是.答案1505.与下列伪代码对应的

9、数学表达式是.Readne0S1ForIFrom1TonStep1SSIee+1/SEndforPrint e答案S=1+例1设计算法，求用长度为l的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积.要求输入l的值，输出正方形和圆的面积.解伪代码如下：ReadlS1(ll)/16S2(ll)/(43.14)PrintS1PrintS2End例2（14分）已知分段函数y=，编写伪代码，输入自变量x的值，输出其相应的函数值，并画出流程图.解伪代码如下：流程图如图所示：ReadxIf x0 Theny-x+1ElseIf x=0 Theny0Elseyx+1End IfEnd IfPrint yEnd7分例

10、3编写一组伪代码计算1+，并画出相应的流程图.解伪代码如下：i1S0Whilei1 000SS+1/iii+1End WhilePrintSEnd流程图如图所示：1.下面的表述：6p;t35+2;b+35;p(3x+2)-4)x+3;aa3;x,y,z5;ab3;xy+2+x.其中正确表述的赋值语句有.（注：要求把正确的表述的序号全填上）答案2.某百货公司为了促销，采用打折的优惠办法：每位顾客一次购物在100元以上者（含100元，下同），按九五折优惠；在200元以上者，按九折优惠；在300元以上者，按八五折优惠；在500元以上者，按八折优惠.试写出算法、画出流程图、伪代码，以求优惠价.解设购物

11、款为x元，优惠价为y元，则优惠付款公式为y=算法分析：S1输入x的值；S2如果x100，输出yx,否则转入S3;S3如果x200,输出y0.95x,否则转入S4;S4如果x300，输出y0.9x,否则转入S5;S5如果x500,输出y0.85x,否则转入S6；S6输出y0.8x.3.某玩具厂1996年的生产总值为200万元，如果年生产增长率5%，计算最早在哪一年生产总值超过300万元.试写出伪代码.解伪代码如下：n1 996p1.05a200Whilea300aapnn+1EndWhilePrintnEnd一、填空题1.伪代码a3b5Print a+b的运行结果是.答案82.为了在运行下面的伪

12、代码后输出y=16，应输入的整数x的值是.ReadxIf x0 Theny(x+1)2Elsey1-x2End IfPrint y答案-53.写出下列伪代码的运行结果.图1图2（1）图1的运行结果为；（2）图2的运行结果为.答案（1）7（2）64.以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是.Read xIf x3 Theny2xElseIf x3 Thenyx2-1Elsey2End IfEnd IfPrint yEnd答案求下列函数当自变量输入值为x时的函数值f(x),其中f（x）=5.下面是一个算法的伪代码，其运行的结果为.S1For I From 3 To 99 Step

13、2SS+IEnd ForPrint S答案2 5006.如图所示，该伪代码表示的作用是.Read a,b,cmmax(a,b,c)Print mEnd答案求三个数中最大的数7.如图（1）是某循环流程图的一部分，若改为图（2），则运行过程中I的值是.答案18.图中算法执行的循环次数为.S0For I From 2 To 1 000 Step 3SS+IEnd For答案333二、解答题9.用条件语句描述下面的算法流程图.解ReadxIfx0Theny2x+3ElseIfx0Theny2x-5Elsey0EndIfEndIfPrintyEnd10.请设计一个问题，使得该问题的算法如已知的伪代码所示

14、.Read ara/2Srr-aaPrint SEnd解已知圆O内有一个边长为a的圆的内接正方形，求圆的面积比正方形的面积大多少？11.有一个算法如下：S1输入x;S2判断x0是：z1；否：z-1;S3z1+z;S4输出z.试写出上述算法的流程图及相应的伪代码.解Read xIf x0 Thenz1Elsez-1End Ifzz+1Print zEnd12.一个小朋友在一次玩皮球时，偶然发现一个现象：球从某高度落下后，每次都反弹回原高度的，再落下，再反弹回上次高度的，如此反复.假设球从100 cm处落下，那么第10次下落的高度是多少？在第10次落地时共经过多少路程？试用伪代码表示其算法.解伪代

15、码如图所示：h100s100i2While i10hh/3ss+2hii+1End WhilePrint “第10次下落的高度为：”;hPrint “第10次落地时共经过的路程为：”；sEnd13.3 合情推理与演绎推理基础自测1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是.答案白色2.数列1，2，4，8，16，32，的一个通项公式是.答案an=2n-13.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为.答案34.下面使用类比推理恰当的是.“若a3=b3,则a=b”类推出“若a0=b0，则a=b”“(a+b)c=ac+bc”类推出“=+

16、”“(a+b）c=ac+bc”类推出“=+(c0)”“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”答案5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为.答案一切奇数都不能被2整除，大前提2100+1是奇数，小前提所以2100+1不能被2整除.结论例1在数列an中,a1=1,an+1=,nN*,猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由.解在an中,a1=1,a2=,a3=,a4=,所以猜想an的通项公式an=.这个猜想是正确的.证明如下:因为a1=1,an+1=,所以=+,即-=,所以数列是以=1为首项,为公差

17、的等差数列,所以=1+(n-1)=n+,所以通项公式an=.例2已知O是ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A,B,C,则+=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.+=+=1，请运用类比思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明在四面体VBCD中，任取一点O，连结VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点.则+=1.在四面体OBCD与VBCD中：=.同理有：=；=；=，+=1. 例3（14分）已知函数f（x）=-（a0且a1），（1）证明：函数y=f(x)的图象关于点对称；（2）求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1

18、）+f（2）+f（3）的值.（1）证明函数f（x）的定义域为R，任取一点（x，y），它关于点对称的点的坐标为（1-x，-1-y）.2分由已知得y=-,则-1-y=-1+=-，3分f（1-x）=-=-=-=-，5分-1-y=f（1-x）.即函数y=f(x)的图象关于点对称.7分（2）解由（1）有-1-f（x）=f（1-x），即f（x）+f（1-x）=-1.f（-2）+f（3）=-1，f（-1）+f（2）=-1，f（0）+f（1）=-1，则f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=-3.14分1.已知f(x)=(x-,a0),且f(1)=log162,f(-2)=1.（1）求

19、函数f(x)的表达式；（2）已知数列xn的项满足xn=1-f(1)1-f(2)1-f(n)，试求x1,x2,x3,x4;(3)猜想xn的通项.解（1）把f(1)=log162=,f(-2)=1,代入函数表达式得,整理得，解得,于是f(x)=(x-1).（2）x1=1-f(1)=1-=,x2=,x3=,x4=.（3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，便可猜想xn=.2.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？

20、说明理由.解类似的结论为：=.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2M2平面P2OQ2于M2，连OM2.过R1在平面OR2M2作R1M1R2M2交OM2于M1，则R1M1平面P2OQ2.由=R1M1=OP1OQ1sinP1OQ1R1M1=OP1OQ1R1M1sinP1OQ1，同理，=OP2OQ2R2M2sinP2OQ2.所以=.由平面几何知识可得=.所以=.所以结论正确.3.已知函数f（x）=（xR），（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明.解（1）对xR有-xR，并且f（-x）=-=-f（x），所以f（x）是奇函数.（2）f(x)在R上单调递增，

21、证明如下：任取x1,x2R，并且x1x2,f(x1)-f(x2)=-=.x1x2,0,-0,+10,+10.0.f(x1)f(x2).f(x)在R上为单调递增函数.一、填空题1.由,若ab0,m0，则与之间的大小关系为.答案2.已知a1=1,an+1an，且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0，猜想an的表达式为.答案an=n23.已知f(x)=x2 008+ax2 007-8,f(-1)=10,则f(1)=.答案-244.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mn=nm”类比得到“ab=ba”；“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”；“(

22、mn)t=m(nt)”类比得到“（ab）c=a（bc）”；“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”；“=”类比得到“=”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是.答案25.下列推理是归纳推理的是（填序号）.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的轨迹为椭圆由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(

23、1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第60个数对是.答案(5,7)7.在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是.答案=8.（2008金陵中学模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.

24、答案二、解答题9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质.解如图所示，由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC，于是类比平行四边形的性质,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，我们猜想：S=S,S=S,S=S,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.10.已知梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.用三段论证明：AC平分BCD，BD平分CBA.证明（1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提）BCA与CAD是平行线AD，BC被AC所截内错角（小前提）所以，BCA=CAD（结论）（2）等腰三角形两底

25、角相等（大前提）CAD是等腰三角形，DA=DC（小前提）所以，DCA=CAD（结论）（3）等于同一个量的两个量相等（大前提）BCA与DCA都等于CAD（小前提）所以，BCA=DCA（结论）（4）同理，BD平分CBA.11.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.（1）求证：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.证明（1）PMBB1，PNBB1，BB1平面P

26、MN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S-2SScos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角. CC1平面PMN，上述的二面角的平面角为MNP.在PMN中，PM2=PN2+MN2-2PNMNcosMNPPM2CC=PN2CC+MN2CC-2（PNCC1）（MNCC1）cosMNP，由于S=PNCC1，S=MNCC1，S=PMBB1=PMCC1，S=S+S-2SScos.12.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与k

27、PN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M、P的坐标分别为（m，n），（x，y），则N（-m，-n）.因为点M（m,n）在已知双曲线上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPMkPN =(定值).13.4 直接证明与间接证明基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.答案充分2.若ab0,则a+b+.(用“”,“”,“=”填空)

28、答案3.要证明+2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.反证法分析法综合法答案4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.假设a、b、c都是偶数假设a、b、c都不是偶数假设a、b、c至多有一个偶数假设a、b、c至多有两个偶数答案5.设a、b、c（0，+），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.答案充要例1设a,b,c0,证明：a+b+c.证明a,b,c0，根据基本不等式，有+b2a,+c2b,+a2c.三式相加：+a+b+c2(a

29、+b+c).即+a+b+c.例2（14分）已知a0,求证： -a+-2.证明要证-a+-2,只要证+2a+.2分a0,故只要证（a+）2,6分即a2+4+4a2+2+2+2,8分从而只要证2,10分只要证42（a2+2+）,即a2+2,而该不等式显然成立，故原不等式成立.14分例3若x,y都是正实数，且x+y2,求证：2与2中至少有一个成立.证明假设2和2都不成立，则有2和2同时成立，因为x0且y0,所以1+x2y，且1+y2x，两式相加，得2+x+y2x+2y，所以x+y2，这与已知条件x+y2相矛盾，因此2与2中至少有一个成立.1.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2(

30、+).证明a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac.又a,b,c为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“=”，a2+b2+c2ab+bc+ac,ab+bc2,bc+ac2,ab+ac2,又a,b,c为互不相等的非负数，ab+bc+ac(+),a2+b2+c2(+).2.已知a0,b0,且a+b=1,试用分析法证明不等式.证明要证,只需证ab+，只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需证4(ab)2+8ab-25ab+40,只需证4(ab)2-17ab+40,即证ab4或ab,只需证ab，而由1=a+b2,ab显然成立，所以原不等式成立.3.已知a、b、c（0，

31、1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明方法一假设三式同时大于，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,a、b、c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a.又(1-a)a=,同理（1-b）b,(1-c)c,(1-a)a(1-b)b(1-c)c,这与假设矛盾，故原命题正确.方法二假设三式同时大于，0a1,1-a0,=,同理,三式相加得,这是矛盾的，故假设错误，原命题正确.一、填空题1.（2008南通模拟）用反证法证明“如果ab,那么”假设内容应是.答案=或2.已知ab0，且ab=1,若0c1,p=logc,q=logc，则p,q的大小关系是

32、.答案pq3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,bS,有a*(b*a)=b,则对任意的a,bS，下列恒成立的等式的序号是.（a*b）*a=aa*(b*a)*(a*b)=ab*(b*b)=b(a*b)*b*(a*b)=b答案4.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A1B1C1是三角形，A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）答案锐角钝角5.已知三棱锥SABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：BC平面S

33、AC；平面SBC平面SAB；SBAC.其中正确命题的序号是.答案6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论：对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）答案二、解答题7.已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,)，求证：数列bn是等比数列；（2）设cn=(n=1,2,),求证：数列cn是等差数列；（3）求数列

34、an的通项公式及前n项和公式.（1）证明Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,),即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)bn=an+1-2an(n=1,2,),bn+1=2bn.由此可知，数列bn是公比为2的等比数列.（2）证明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=32n-=(n=1,2,),cn+1-cn=-=.将bn=32n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,),由此可知，数列cn是公差为的等差数列，它的首项c1=，故cn

35、=n-(n=1,2,).（3）解cn=n-=(3n-1).an=2ncn=(3n-1)2n-2 (n=1,2,)当n2时，Sn=4an-1+2=(3n-4)2n-1+2.由于S1=a1=1也适合于此公式，所以an的前n项和公式为Sn=（3n-4）2n-1+2.8.设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I24S.证明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,a,b,c为任意三角形三边长，ab+c,bc+a,ca+b,a2a(b+c),b2b(c+a),c2c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba

36、)+(c2-ca-cb)0a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)0a2+b2+c22Sa2+b2+c2+2S4S.I24S.9.已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证：（1）a2+b2+c2;(2)+6.证明（1）方法一a2+b2+c2-= (3a2+3b2+3c2-1)=3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20a2+b2+c2.方法二(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b

37、+c)2=1a2+b2+c2.方法三设a=+,b=+,c=+.a+b+c=1,+=0a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2=+(+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2.(2)=,同理,+=6原不等式成立.10.已知函数y=ax+(a1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.证明（1）任取x1,x2(-1,+),不妨设x1x2,则x2-x10,由于a1,a1且a0,a-a=a (a-1)0.又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-0,故函数f(x)在(-1,+）上为增函数.（2）方法一假设

38、存在x00 (x0-1)满足f(x0)=0,则a=-.a1,0a1,0-1,即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.方法二假设存在x00 (x0-1)满足f(x0)=0,若-1x00，则-2,a1,f(x0)-1,与f(x0)=0矛盾.若x0-1,则0,a0,f(x0)0,与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.13.5 数学归纳法基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为.答案1+a+a22.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是（填序号）

39、.P（n）对nN*成立P(n)对n4且nN*成立P（n）对n4且nN*成立P（n）对n4且nN*不成立答案3.用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上.答案（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）24.已知f(n)=+，则下列说法有误的是.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=+f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=+答案5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，.答案假设n=k(k是正奇数

40、)，证明n=k+2命题成立例2用数学归纳法证明:nN*时,+=.证明（1）当n=1时,左边=,右边=,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当n=k(kN*)时等式成立,即有+=,则当n=k+1时,+=+=,所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切nN*等式都成立.例2试证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明方法一（1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当n=k (k1,kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+

41、1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二（1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.（2）假设当n=k (k1,kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),n=k+1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的nN*,命题都成立.例3用数学归

42、纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+）（1+）（1+）均成立.证明（1）当n=2时，左边=1+=；右边=.左边右边，不等式成立.（2）假设n=k (k2,且kN*)时不等式成立，即（1+）（1+）（1+）.则当n=k+1时，（1+）（1+）（1+）=.当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.例4（16分）已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.解 （1）由已

43、知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1.2分Tn=1-bn，b1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=,4分an=2n-1，bn=.5分(2)Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=.6分以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1.8分下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (kN

44、*,k4)时，Sk+1,即(k+1)2.那么n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，Sn+1也成立.11分由可知nN*,n4时，Sn+1都成立.14分综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1.16分1.用数学归纳法证明：对任意的nN*,1-+-+-=+.证明（1）当n=1时，左边=1-=右边，等式成立.（2）假设当n=k(k1,kN*)时，等式成立，即1-+-+-=+.则当n=k+1时,1-+-+-+-=+-=+(-)=+,即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意

45、的nN*等式成立.2.求证：二项式x2n-y2n (nN*)能被x+y整除.证明（1）当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立.（2）假设当n=k（k1,kN*）时，x2k-y2k能被x+y整除，那么当n=k+1时，x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),显然x2k+2-y2k+2能被x+y整除，即当n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.3.已知m,n为正整数.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx.证明（1）当m=1时，

46、原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x20,所以左边右边，原不等式成立；（2）假设当m=k(k1,kN*)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+1时，x-1,1+x0.于是在不等式(1+x)k1+kx两边同时乘以1+x得(1+x)k（1+x）(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当m=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m,不等式都成立.4.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式

47、；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.（1）解an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn=（nN*）.（2）证明当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.又ak+1=，an=.一、填空题1.用数学归纳法证明：“+1(nN*)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“”

48、.答案+2.如果命题P（n）对于n=k(kN*)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对于n=2时成立，P（n）对所有n成立.正整数正偶数正奇数所有大于1的正整数答案3.利用数学归纳法证明不等式1+n(n2，nN*)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了项.答案2k4.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取.答案55.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f（n+1）=.答案f(n)+n-16.证明1+n+1(n1)，当n=2时，中间式子等于.答案1+7.用数学归纳法证明不等式+的过程，由n=k推导n=k+1时，

49、不等式的左边增加的式子是.答案+-8.用数学归纳法证明1+2 (nN,且n1)，第一步要证的不等式是.答案1+2二、解答题9.用数学归纳法证明：1+(nN*).证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边右边，即命题成立.（2）假设当n=k(kN*,k1)时，命题成立，即1+.那么当n=k+1时，要证1+,只要证+.-=0,+成立，即1+成立.当n=k+1时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切nN*均成立.10.用数学归纳法证明（3n+1）7n-1 (nN*)能被9整除.证明（1）当n=1时，47-1=27能被9整除，命题成立.（2）假设n=k (k1，kN*)时命题成立，即(3k+1

50、)7k-1能被9整除.当n=k+1时，(3k+3)+17k+1-1=(3k+1+3)77k-1=7(3k+1)7k-1+217k=(3k+1)7k-1+18k7k+67k+217k=(3k+1)7k-1+18k7k+277k，由归纳假设(3k+1)7k-1能被9整除，又因为18k7k+277k能被9整除，所以3(k+1)+17k+1-1能被9整除，即n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对所有的正整数n，命题成立.11.数列an满足Sn=2n-an(nN*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1）解当n=1时，a1=S1=2-a

51、1,a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=22-a2,a2=.当n=3时，a1+a2+a3=S3=23-a3,a3=.当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,a4=.由此猜想an=(nN*).（2）证明当n=1时，a1=1，结论成立.假设n=k(k1且kN*)时,结论成立，即ak=,那么n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.2ak+1=2+ak,ak+1=,这表明n=k+1时，结论成立，由知猜想an=（nN*）成立.12.是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于

52、一切nN*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.解假设存在a、b、c使12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切nN*都成立.当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19.解方程组解得证明如下：当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.假设n=k（kN*）时等式成立，即12+22+32+k2+（k-1）2+22+12=k（2k2+1）；当n=k+1时，12+22+32+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=k（2k2+3k+1

53、）+（k+1）2=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2=（k+1）（2k2+4k+3）=（k+1）2（k+1）2+1.即n=k+1时，等式成立.因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切nN*都成立.13.6 数系的扩充与复数的引入基础自测1.（2008浙江理）已知a是实数，是纯虚数，则a=.答案12.（2009海安高级中学高三第四次检测）已知mR，复数z=+（m2+2m-3）i，若z对应的点位于复平面的第二象限，则m的取值范围是.答案m-3或1m23.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹方程是.答案x2+y2=254.（2008辽宁理）复数+的虚部是.答案5.设为复数

54、z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i,=iz;则z=.答案-1+i例1已知复数z=+(a2-5a-6)i(aR),试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解（1）当z为实数时，则有，,a=6，即a=6时，z为实数.（2）当z为虚数时，则有a2-5a-60且有意义，a-1且a6且a1.a1且a6.当a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有,.不存在实数a使z为纯虚数.例2已知x,y为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i，求x,y.解设x=a+bi (a,bR)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2

55、,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得,解得或或或.故所求复数为或或或.例3计算：（1）;(2);(3)+;(4).解（1）=-1-3i.(2)=+i.(3)+=+=+=-1.(4)=-i.例4(14分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，试求：（1）、所表示的复数；（2）对角线所表示的复数;(3)求B点对应的复数.解（1）=-，所表示的复数为-3-2i.3分=，所表示的复数为-3-2i.6分（2）=-，所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.9分(3)=+=+,表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1

56、+6i,即B点对应的复数为1+6i.14分1.已知mR，复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时，（1）zR；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（4）z对应的点在直线x+y+3=0上.解（1）当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-10得m=-3,故当m=-3时，zR.（2）当z为纯虚数时,则有解得m=0，或m=2.当m=0或m=2时，z为纯虚数.（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,则有解得m-3或1m2，故当m-3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限.（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,则有+,得=0，解得m=0或m=-1.当m=0或m=-1时，z

57、对应的点在直线x+y+3=0上.2.已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos+(+3sin)i (R).若z1=z2,求的取值范围.解z1=z2,m+(4-m2)i=2cos+(+3sin)i,由复数相等的条件，得,=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4(sin-)2-,-1sin1,当sin=时，min=-;当sin=-1时，max=7,-7.3.计算下列各题（1）；（2）+.解（1）=i（1+i）4=i（1+i）22=i（2i）2=-4i.（2）+=+=i+=i+i1 003=i+i4250+3=i+i3=i-i=0.4.已知关于x的方程x

58、2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）有实数根b.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）的实根，（b2-6b+9）+（a-b）i=0，故解得a=b=3.（2）设z=x+yi （x，yR），由|-3-3i|=2|z|，得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y-1）2=8.Z点的轨迹是以O1（-1，1）为圆心，2为半径的圆.如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值.|OO1|=，半径r=2，当z=1-i时，|z|

59、有最小值且|z|min=.一、填空题1.（2008天津理）i是虚数单位，=.答案-12.（2008广东文）已知0a2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是.答案（1，）3.（2008山东文）设z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则=.答案i4.若(a-2i)i=b-i，其中a、bR,i是虚数单位，则a2+b2=.答案55.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为.答案-1+3i6.设a是实数，且+是实数，则a=.答案17.（2008北京理，9）已知（a-i）2=2i,其中i是虚数单位，那么实数a=.答案-18.(2008湖

60、北理，11)设z1是复数，z2=z1-i1（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为.答案1二、解答题9.已知z2=8+6i,求z3-16z-.解原式=-=-=-,|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由z2=8+6i=（3+i)2,z=(3+i),当z=3+i时，原式=-60+20i；当z=-3-i时，原式=60-20i.10.已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解设z=x+yi (x、yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(