长郡中学高三数学文科第四次月考试卷

1、长郡中学2008届高三第四次月考数学试卷(文)时量:120分钟满分:150分一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.、3.下列各式中，值为一的是()2A . 2sin15 cos15B. cos2150sin215C. 2sin 2151 -1D. sin215 cos215.如图，ABCD AB1c1D1为正方体，下面结论错误.的是( )BD 平面 CB1D1AC1 _L BDAG_L平面 CBD(D)异面直线AD与CB1所成的角为60。1 1 一，.在等比数列an(n = N*)中，若& =1, a4=,则该数列的刖10项和

2、为()81111A 2-28B. 2-7 C 2-尹 D- 2-尹成角的余弦值为(D .AA = 2AB ,则异面直线 A B与AD1所.如图，正四棱柱 ABCDABC1D1中,5.设a, b为两条直线，久，B为两个平面,A.A .若a, b与豆所成的角相等，则a / b B.若 a / a , b / P ,久 / P ,则 a / b C.若 aUa, buP, a/b,则a/P D.若 a_La, b_LP, a_LP,则 a，b6.如果双曲线离是()(A)迤-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是 2(B)运2、.62,那么点P到y轴的距2 3.设2b是1a和1+a的等比中项，则 a +

3、4b的最大值为（A. 1B. 3C. 75D, 52.给出下列三个等式：f(xy=K 比 K, y f(x + y)= f(x)f(y),f（x+y）= f（x）+ f（y）,下列函数中不满足其中任何一个等式的是（1 -f（x）f（y）xA. f(x)=3B. f(x)=sinx C. f(x)=log2xD. f(x) = tanx10.已知抛物线 y = -x2+3上存在关于直线AB等于（）D.x+y =0对称的相异两343.24.2.在棱长为1的正方体ABCD ABQ1D1中，E, F分别为棱AA, BB1 的中点，G为棱AB上的一点，且AG =人（00九& 1） .则点G到 平面D1E

4、F的距离为（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题 号后的I也线上.1.数列an的刖n项和为Sn ,右an =,则&等于n（n 1）.若向量!,b的夹角为60 ： a = b =1,则a -（a -b）. TOC o 1-5 h z 22.以双曲线 4-匕=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方 45程是. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1 ,则此球的表面积为 .已知正方形 ABCD ,则以A, B为焦点，且过 C, D两点的椭圆的离心率为三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程

5、或演算步骤.（本小题满分12分）设锐角三角形 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, a = 2bsinA.（I ）求B的大小；（n）若 a=3T3, c = 5,求 b.(本小题满分12分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD中，AB 1 AC , PA _L平面ABCD ,且PA = AB ,点E是PD的中点.(I)求证：AC _L PB ；(n)求证：PB 平面AEC;(出)求二面角 E - AC B的大小.(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列，且a1 =，b2(a2 a1)= b(I )求数列an和bn的通项公式；(n)设cn

6、 =曳，求数列cn的前n项和Tn bn.(本小题满分13分)2 a已知函数f(x)=x + (x#0,常数a= R). x.一一一2(1)当a =1时，解不等式f (x) x(2)讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由；.（本小题满分13分）如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线 OA行驶，其中,一 _ _tga =一,在距离O地5a （a为正数）公里北偏东 3角的N处住有一位医学专家，其 33中sin 3=，现有110指捶部紧急征倜离 O地正东p公里的B处的救护车赶往 N处5载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形 OBC面积S最小

7、时，抢救最及时.（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时.（本小题满分13分）椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为2/2,相应于焦点F （c, 0） （CA0）的准线l 与x轴相交于点A , |OF|二2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于 P、Q两点.（I ）求椭圆的方程及离心率；（n ）若OP OQ = 0 ,求直线PQ的方程；（出）设 AP =，uAQ （九A1）,过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ,证明：FM = -FQ .长郡中学2008届高三第四次月考数学试卷(文)参考答案一、选择题 TOC o 1-5 h z 1、B2、D 3、B 4、D5、D 6、A

8、7、C8、B 9、D10、C二、填空题11、512、113、y2 =12x14、13 二 15、2-162三、解答题16、解：1(I)由 a = 2b sin A ,根据正弦te理得 sin A = 2sin Bsin A ,所以 sin B = - , 2. 一TT TOC o 1-5 h z 由 ABC为锐角三角形得 B .6分6(n)根据余弦定理，得b2 =a2 +c22accosB =27+25 45 = 7.所以，b = . 12分( I ) PAL平面 ABCDAB是PB在平面 ABCD 上的射影又 ; AB AC , AC U 平面 ABCD ,AC PB 3 分(n )连接 B

9、D ,与AC相交于O,连接EO。. ABCD是平等四边形，.O是BD的中点，又E是PD的中点，EO / PB又PB辽平面AEC, EO U平面AEC ,.PB/平面 AEC。 .7分(出)取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为(-,b,0),OG=(0,b,0)2 22b b又 0E=(0, ), AC=(a,O,0)2 20E AC =0,0G AC =0OEXAC, OG AC丁./EOG是二面角 E-AC-B的平面角。cosEOG =cos :二 0E,0G0E 0G = 一二 0E 0G 2. EOG =135面角E -AC B的大小为135口,12分解：(1)：当 n = 1 时,a

10、1 = S1 =2;当 n _2 曰t,an =Sn -Sn 3=2n2 -2(n -1)2 =4n -2,故an的通项公式为an =4n 2,即2n是21=2,公差d =4的等差数列1设bn的通项公式为 qlqd = b1 ,d =4,二 q =.4故bn =b1qn2父卡,即bn的通项公式为bn =42J. .5分(II)- Cnan4n -2bn= (2n -1)4nA,(2n-1)4n4, TOC o 1-5 h z 12Tn = GC2Cn =1 3 41 5 424Tn =1 4 3 42 5 43(2n - 3)4n 4(2n - 1)4n两式相减得1c3Tn7-2(41 42

11、43(24n 型6n-5)4n 51n.Tn (6n -5)45.9.12 分19、解：(1) X 1 或 X -a)，-1 -Si=2|OB| |yc |二(2)由(1)得S 一26ap3p -5a6ap2/5 .,(P3 a)2ap2A 5a p.|a,令 t = p_5a(t0) -5=2职 + 32-25a jL10a1 40 2+ a，9t 33当且仅当t新即普，此时p喈时,上式取等号,抢救最及时,13分21、22(I )解：由题意，可设椭圆的方程为 d + 上一 =1(aAV5),由已知得 a222-cc = 2(LC-6e =32,22解得a v 6, c = 2所以椭圆的方程为+ y = 1 ,离心率-C).62.3分(n)xl6解：由(1)可得A (3, 0),设直线PQ的方程为y =k(x3),由方程组2-=1 .一 一_2_2_22_22得(3k +1)x 18kx+27k 6 = 0 依题意 = 12(2 3k ) a 0,y =k(x-