水文学2统计学补充

1、 水文统计简介Hydrologic statistics水文现象具有二重性：水文现象包含着必然性(Inevitability) 水文现象也包含着偶然性(Contingency) ，对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的规律一般称做统计规律。 1. 概述物理成因分析法概率论和数理统计分析方法水文分析计算常用到数理统计的方法 进行流域或地区水资源开发利用，首先要了解流域内未来的河道的来水量，以合理规划； 进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。 这种对未来长期的径流情势（属随机变量）的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的方法进行“概率预估”。 所谓“

2、概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值的可能性为多少。2.1 概率和频率的基本概念 1)概率（Probability） 为了比较某随机事件出现（或不出现)的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标，这个数量指标就是事件的概率。2. 随机变量及其分布参数 Random variables & distribution parameters 式中 ，P(A) ：一定条件下随机事件A的概率； n ：试验中所有可能的出现的结果数； m ：出现随机事件A的结果数。简单(古典)的随机事件的概率定义用下式表示：有利于A的试验结果数m为介于0 n之间的数，即以上公式适合于古典概率事件，其特点

3、是： 试验的所有可能结果是等可能的； 试验的所有可能结果总数是有限的随机事件但水文事件不一定符合这种性质。随机事件A的概率 对于不是古典概型事件，只能通过多次重复试验来估计事件的概率。 设事件A在n 次随机试验中出现了m 次，则定义：2）频率 （Frequency）为事件A 在n 次试验中出现的频率。 注意：n 不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。皮尔逊试验： 丢币次数 出现正面的次数 频率 12000 6019 0.5016 24000 12014 0.5005 当试验次数 n 不大时，事件频率有明显的不稳定性。当试验次数 n 增加到充分大时，事件频率显著地出现稳定的趋势，例如： 频

4、率: 频率是通过若干次试验后才能求得的经验值，事先不能确定，当试验次数n愈大，即当n趋于无穷大时，理论上，n变成试验中所有可能的结果总数，则频率愈接近概率。概率和频率的区别： 概率: 在等可能条件下，表达事件客观上出现的可能性大小，是一个理论值。 因此，当事件不能归结为古典概率型时就可以通过多次试验，把事件的频率作为事件的概率近似值。一般将这样估计而得的概率称为统计概率/经验概率。 因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可见水文现象的概率不能视为古典概率。因此，通常将有限的实测水文数据当作多次重复试验结果，故可用上式（ ，式中n为事件A 随机试验次数）推求的频率作为概率的近似值。1）随机变

5、量（ Random variable） 用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量，一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。2.2. 随机变量及其分布参数 总体 （Population/Totality） 在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。 水文变量如年径流量的总体数是无穷的，故无法取得总体。统计学中几个概念： 样本（Sample） 从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量。 如实测的水文数据是有限的，是一样本。 它是指随机试验结果的一个数量。在水文

6、学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即： X = x1, X = x2, X = xn 一般称之为随机系列或随机数列。 随机变量的表示: 离散型随机变量 Discrete random variable 随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0, 1, 2，不能取相邻两数值之间的任何值。随机变量的分类: 连续型随机变量 Continuous random variable 随机变量可以取得一个有限区间内的任何数值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流量可以取0 极限值之间的任何实数值。 对于离散型随机变量： 随机变量的取某一可

7、能值的机会有的大有的小，即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：2）随机变量的概率分布 上式中P1, P2, Pn 表示随机变量X 取值x1, x2, xn 所对应的概率。 x1 x2 x3 x4 xnXP 离散型随机变量概率分布图 一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规律，简称为分布律。可以用以下的分布图形表示： 由于它的所有可能取值有无限个，水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为： 它是x的函数，称作随机变量X 的分布函数(Distribution function)，记作F(x)，即 F(x)=P(Xx) 表示随机变量X大于或等于值x的概率，其几何曲线

8、称作随机变量的概率分布曲线（水文学上通常称累计频率曲线，简称频率曲线）。 对于连续型随机变量： 由图中可知，X=900，相应的P(Xx)=0.15，说明大于等于900mm降雨的可能性为15%；同理，大于等于500 mm 降雨的可能性为60%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲线 P(X x) 如果要推求年降雨量介于900mm和500mm之间的概率为多少？ 则，该问题即为求随机变量落在某区间(x, x+x)内的概率。 该问题可用统计概率论中的加法定理来解决。 P(X x)=P(X x+x)+P(x+ x X x) P(x+x X x) = P

9、(X x)-P(X x+x) = F(x)-F(x+x)由概率的加法定理：则，降雨量落在900和500mm的可能性为: 60%-15% = 45% x x+ x PXP(X x)P(Xx+ x)随机变量X落在(x ，x+ x) 的概率可用下式表示: 平均概率密度： 随机变量落在区间(x, x+x)的概率与该区间长度的比值 称作随机变量落在区间(x, x+x)平均概率。概率密度函数: Probability density function称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数。而密度函数的几何曲线称作密度曲线。当 x 0，取极限得：f(x)f(xi)F(x)xi密度曲线分布曲线xxdx已知概

10、率密度函数f(x)，可求出随机变量X落在(x x+dx)区间即dx上的概率= f(x)dx，称之为概率元素，即为图中的阴影面积；已知概率密度函数f(x)，可求出随机变量 X 概率分布函数F(x)，其与密度函数f(x) 有如下的数学关系:证明：注：水文学中的上限为无穷大，故可认为出现无穷大的情况是不可能的，即 F()=P(x )=0 F(x) 分布函数，反映随机变量X超过某个值 x 的概率。 这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。 f(x) 密度函数，反映随机变量X落入dx 区间的平均概率；可见，随机变量的二个函数的物理意义： 在实际问题中，随机变量的分布函数有各种形式，不易确定，或有时不一

11、定需要用复杂的完整的形式来说明随机变量的分布规律，而只要知道其主要特征就可以。故采用随机变量的分布函数和密度函数中的一些特征参数（如均值、变差系数、偏态系数），来反映随机变量分布的特点：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布对称，有的分布非对称，等等。在统计学中用以表示随机变量这些分布特征的某些参数，称之为随机变量统计参数。3）随机变量统计参数 平均数 / 数学期望 Mean 离散型随机变量的平均数是以概率为权重的加权平均值。a. 反映位置特征参数 （Position characteristic parameter） 对于离散型随机变量：式中，a、b 分别为随机变量 X 取值的上下限。 数学

12、期望或平均数代表整个随机变量的总水平的高低，它为分布的中心。 对于连续的随机变量： 该参数用以反映随机变量分布离散程度(相对于随机变量分布中心即平均值的差距)的指标，通常有以下几种：b. 反映离散特征参数(variability) 值愈大，分布愈分散； 值愈小，分布愈集中。 标准差（均方差) (Standard deviation)122 1f(x)x标准差对密度函数的影响 变差系数（离差系数，离势系数 (Coefficient of variation)CV1CV2CV2 CV1f(x)x变差系数对密度函数的影响CV值愈大，分布愈分散；CV 值愈小，分布愈集中。对于均值不同的二个系列，用均方

13、差来比较其离散程度就不合适，则要采用均方差和均值的比值来表示：例子：二个系列：第一系列：5，10，15，第二系列：995，1000，1005，但对于均值的相对离散程度则不同：第一系列：最大值和最小值与均值差都是5，相当于均值的5/10=0.5;第二系列：最大值和最小值与均值差都是5，但相当于均值的5/1000=0.005，可见该系列对均值的差距极小，比第一系列分布更集中。因此以离差系数能更好地比较出二系列的离散程度： CV1=0.408 CV2=0.00408f(x)x偏态系数对密度函数的影响当密度曲线对 对称，CS = 0 ；Cs=0Cs0Cs 0 , 称为正偏；CS 0 , 称为负偏。c.

14、 反映对称特征的参数: 偏态系数（偏差系数) (Coefficient of skewness)(8-8)3.水文中常用的概率分布曲线3.1 正态分布（ Normal distribution） (8-9)式中， ：平均数； ：标准差。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从正态分布。f (x) a. 单峰，只有一个众数； b. 对于平均数对称, Cs= 0； c. 曲线二端趋于 ， 并以x 轴为渐近线; d.正态分布曲线的特点：数学上可以证明：正态分布的密度曲线在 处出现拐点，而且：f (x)概率密度函数表达式： 3.2 皮尔逊 型分布 （Pearson Type III distr

15、ibution）式中, () 的伽玛函数, , , a 0：三个参数，与三个统计参数有一定的关系，其表达式为： 可见，当以上三个参数确定后，P-III型密度函数亦完全确定。f(x)皮尔逊 型概率密度曲线 a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲线的特点：一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线，很多水文变量均符合P-III型分布。(8-10) 在水文计算中，一般要求出指定概率 P 所相应的随机变量的取值 xP，即求出的 xP满足下列等式： 按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换： 取标准变量(离均系数) ， 即 代入上式(8-10)，, , a0以相应的 和 关系式表示，简化后得：0.

16、031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)P CsP-III型曲线离均系数 P 值表 被积函数含有参数 , Cs ，而 包含在 中，制成 对应关系表： 因此，由给定的CS 及P，从P-III型曲线离均系数 值表，查出P ，再由下式求：即求出指定概率 P 所相应的随机变量的取值 xP已知: 某地年平均降雨量 =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,假定年降雨量符合P - III型分布试求：P = 1% 的年降雨量。【算例】求解： 由 CS =1.0及P =1%

17、，查附表1得P = 3.02 引入模比系数： 另一种求解方法：由由此建立 的 对应数值关系P-III型曲线模比系数 KP 值表（见附表2）上例的解法：由 CV = 0.5, CS = 1.0=2 CV ，P = 1%查附表2得:P-III型曲线模比系数 KP 值表（附表2, P266） P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一） CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.891.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.0

18、40.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三） CS=2CV （三） CS=6CV 随机变量统计参数在水文计算中起到十分重要的作用，但由于水文随机变量的总体是无限的，这就需要在总体不知道的情况下，靠抽出的样本(观测的系列)去估计总体参数。4. 随机变量系列统计参数的估计 Statistical parameters estimation估算方法有： 矩法； 适线法； 极大似然法； 权函数法； 4.1 矩法 Method of Momentsa.样本的算术平均值: 已知样本的随机系列：x1, x2, x3, xn，分别求样本的三个统计参数 。b.样本标准差

19、:式中， 称作模比系数c.样本的离差系数:注意：以上三个公式求到的参数是根据样本求参得到，故与相应的总体的参数是不相等的。d. 样本的偏态系数:(8-14)式中，根据统计学的证明可知： 由矩法求到的样本平均值 为总体平均数的无偏估计量，然而CV , CS 则不是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计量。故需要对参数CV , CS 进行修正，使其变成无偏估计量。无偏估计量： 由统计学的定义，若 是未知数 的估计量，而且 ，则称 为 的无偏估计量。 (当 n 较大时) (8-26)(8-25)求 Cv , Cs 的不偏估计量的修正计算式： 用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的统计参值的均值

20、，可望等于总体的同名参数。 由于水文系列总体是无限的，而样本的容量是有限的，因此，由样本求到的参数对于总体存在一定的误差，则称为抽样误差。因此，以样本参数替代相应的总体参数时，必须考虑这一误差。该误差无法准确求到，只能在概率意义下作出某种估计。抽样误差：Sampling error 样本平均数的抽样误差，可以用抽样分布中的标准差/均方差 (称为均方误)来度量： 同理，与样本平均数的抽样误差类似，样本的 CV , CS 的抽样误差，可以它们相应的抽样分布的均方误 来表示 。 因此，只要样本参数的均方误为已知的，则可以对该样本参数的抽样误差可作出估计。(1)(2)(3)(4) 当总体为P-III型

21、分布时，其样本各参数的均方误计算式分别为： 以上均方误计算公式中，CV，CS 分别为总体的均方差，离差系数和偏态系数，但总体的统计参数是未知的，故可用样本的相应的统计参数代替。 结论： (1) 样本统计参数抽样误差随样本的均方差、离差系数CV及偏态系数CS的增大而增大； (2) 样本统计参数抽样误差随样本的容量n的增大而减少。 依据结论(2)，可知水文计算常用延长系列增加项数n的方法，来减少抽样误差。即系列愈长，则其代表性愈好。4.2 现行水文频率计算方法配线法 (适线法) Curve fitting method 是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求出与经验点据拟合最优的频率曲线参

22、数，这是一种较好的参数估计方法，是我国估计某些水文变量（如径流量、降雨量等）频率曲线统计参数的主要方法。有关的概念介绍：1) 经验频率及经验频率曲线：【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大 到小排列，按 计算频率。式中，P：大于或等于某一变量值 x 的经验频率； m：x 由大到小排列的序号，即在n 次观测资料中出现大于或等于某一值 x 的次数。经验频率计算表：n =12 其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。由此得到经验频率分布曲线:P (Xx)x注意：样本的每一项的经验频率

23、用公式P=m/n进行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修正，中国常采用下面的公式进行计算：经验频率的计算公式：这样，当m=n=12 时，该公式在水文计算中通常称为期望公式 所谓的重现期是指某一随机事件在很长时期内平均多长时间出现一次（水文学中常称为“多少年一遇”）。即在许多试验中，某一随机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平均的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以等效地替代频率。2) 重现期 Recurrence interval/return perioda.当研究洪水或暴雨问题 水文上关心的是大于等于某洪水或某暴雨量发生的频率，因此，重

24、现期指在很长时期N年内，出现大于等于某水文变量XP 事件的平均重现的间隔期T ：式中， T：重现期，以年计； P：大于等于某水文变量 XP 事件的频率，频率P与重现期T关系的两种表示法：NP为N年内大于等于XP 事件出现的次数。 表中12年中年降雨量大于等于990mm的次数为6次，即等于NP=1250%=6，可知该事件的重现期为： T=12/6=2年可按下式计算重现期：【例】n =12 水文上关心的是小于xP的事件出现的频率及相应的重现期。 重现期指在很长的时期内(N年)出现小于某水文变量xP事件的平均重现间隔期。若水文变量大于等于xP的频率为P ，则小于xP事件的频率应为：1-P，在N年内小于xP事件出现的次数应为N(1-P)，因此其重现期为：b. 当研究枯水问题 表中年降雨量大于等于850mm的次数为11次，即等于 ，则小于850mm的降雨次数为1次，即等于 可知该事件的重现期为： T=12/1=12 (年)亦可按下式计算：(年)【例】n =12具体求解步骤：a 根据实测样本资料进行点绘纵坐标为随机变量X=x，横坐标为对应的经验频率P(X x)，经验频率计算公式为：b 假定一组参数