信号与系统第5章习题答案

1、第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 试证明时域抽样定理。证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为： 式中为原信号的频谱，为单位冲激序列的频谱。可知抽样后信号的频谱由以 为周期进行周期延拓后再与相乘而得到，这意味着如果，抽样后的信号就包含了信号的全部信息。如果，即抽样间隔，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。 因此必须要求满足，才能由完全恢复，这就证明了抽样定理。5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）（2）（3） （4）解：抽样的最大间隔称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率称为奈奎斯特速率，最

2、低采样频率称为奈奎斯特频率。（1），由此知，则，由抽样定理得：最低抽样频率，奈奎斯特间隔。（2）脉宽为400，由此可得，则，由抽样定理得最低抽样频率，奈奎斯特间隔。（3），该信号频谱的,该信号频谱的信号频谱的,则，由抽样定理得最低抽样频率，奈奎斯特间隔。（4）,该信号频谱的，该信号频谱的所以频谱的, 则，由抽样定理得最低抽样频率，奈奎斯特间隔。5.3 系统如题图5.3所示，。 （1）为从中无失真地恢复，求最大采样间隔。（2）当时，画出的幅度谱。时域相乘时域抽样题图 5.3解：（1）先求的频谱。由此知的频谱宽度为，且，则，抽样的最大允许间隔（2），所以为用冲激序列对连续时间信号为进行采样，设原输

3、入信号的频谱密度为，而单位冲激序列的频谱密度为： 其中 则根据频域卷积定理得抽样信号的频谱为： 而，则，幅度谱如下图所表示。5.4 对信号进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：其幅度频谱和相位频谱分别为单边非因果指数函数的波形、 幅度谱、相位谱如下图所示，其中。单边指数信号的波形和频谱显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓，幅度变为原来的而得到。图略。5.5 题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的时

4、域波形如何？以图解法说明。050-50t/msx(t)题图 5.5 解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为幅度为的三角形脉冲其频谱为。其波形如图所示。三角函数的频谱在中，易求得的频谱为：在处，为零，图略。由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：其中，。抽样后的频谱是将三角形频谱以为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的，可见发生了频谱混叠现象。5.6 若连续信号的频谱是带状的，利用卷积定理说明当时，最低抽样频率只要等于就可以使抽样信号不产生频谱混叠。证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为 抽样后的频谱是以抽样频率为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的。由于频谱是带状的且，所以当时频谱不会混叠。5.7 如题图5.7所示的系统。求：（1）求冲激响应函数与系统函数；（2）求系统频率响应函数，幅频特性和相频特性，并画出幅频和相频特性曲线；（3）激励，求零状态响应，画出其波形；（4）激励，其中为奈奎斯特抽样间隔，为点上 的值，求响应。延