2022年分式方程综合练习

1、学习必备 欢迎下载分式 综合练习（二）【例题精选】：例一 解方程 x2 2 1x 1 x 2 x 1解法一 两边同乘 ( x 1 )( x 2 2 x 1 )2 2x x 2 x 1 ) 2 ( x 1 ) ( x 1 )( x 2 x 1 )2x 1得 x 1 经检验 x 1 为增根解法二 两边同乘最简公分母 ( x 1 ) 22x x 1 ) 2 x 2 x 1x 1经检验 x 1是原方程的根例二 解方程2 x 1 3 x2 6x 1 x 1 x 1解法一 两边同乘以 ( x 1 )( x 1 )( x 2 1 )整理得 x 1 2，x 2 1，x 3 1，x 4 1经检验 x 2 1，x

2、 3 1，x 4 1 均为增根解法二 两边同乘以最简公分母 ( x 1 )( x 1 )( 2 x 1 )( x 1 ) ( 3 x )( x 1 ) 62x x 2 0 ( x 2 )( x 1 ) 0得： x 1 2 x 2 1 经检验 x 2 1是增根例三 解方程x 7 x 3 x 4 x 6x 9 x 5 x 6 x 8解 整理化简得2 x 14 2 x 14( x 9 )( x 5 ) ( x 6 )( x 8 )两个相等分式的分子相等，分母也等 (x9)(x5 )(x6 )(x8 )x214 x45x214x48即 45=48 矛盾此方程无解即没有一个 x 值能使分母相等本题错在论

3、据不充分，分子相等，若为零，对于分母只要有意义，两个分式相等仍然成立。本题解 2 x140 x7是本题的解。被漏掉了。例四学习必备)1欢迎下载4 )解方程 5x2963x12x164xx42x1 )(x解方程两边同乘以最简公分母x216得5(x216)96(3x1 )(x4(5x280963 x2x12 x42x29x4162xx8经检验 x8是原方程的根说明：本题有两处值得注意， 首先去分母时常数项5 不要忘记也要乘最简公分母，其次是等式左边最后一项3x1去分母时符号易错4x例五解关于 x 的方程 x21a21x2a2解原方程变形为 x2110a2x2a2(2 xa2)a2x202 x a2

4、2(2 xa2)x2a02 a x2(2 x2a2)( 11)02 2a x2 2a x xa2131，x 41解得 x 1a，x2a，xaa说明：关于含字母系数的分式方程，教材中一律不要求检验。例六解方程 2(x21)3 (x1)15y 21x2x解依据 x21(x1)22x2x原方程2(x1)23 (x1)50 xx设 x1yx0有 2y2y5(2y5 )(y1 )0 y 12由 x152x25 x20 x20(x1)(x2)2学习必备 欢迎下载1x 1 x 2 22由 x 11 x 2x 1 0 这个方程无解 （这部份知识， 以后学到）x1经检验 x 1，x 2 2 是原方程的解2例七

5、解方程2 x 1 3 x 1 4 x 7x 1 x 2 x 1解 将原方程变形2 ( x 1 ) 3 3 ( x 2 ) 7 ( x 1 ) 64x 1 x 2 ( x 1 )3 7 62 3 4 1x 1 x 2 x 1即 3 7 6x 1 x 2 x 124 x 15 x 25 0( x 5 )( x 25) 0 x 1 5，x 2 54 4经检验都是原方程的根1111 例八解方程组xy12)59 1 x1xy解把代入得20591 xx12把代入得 y30经检验x20是方程组的解y30例九x36yy2 2 32 1 3yx6336yx6x解+，得363665xx5x242x2160 x11

6、2，x2x218学习必备欢迎下载5经检验 x 112，18 5是原方程的解例十甲乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等，求甲乙每小时各做多少个根据等量关系，工作效率 时间 = 总工作量 设乙每小时工作量为 x 个，则甲每小时工作量为 ( x 6 个，有 90 60 x 6 x这个题从字意看是工程问题， 但从数量关系来看它是与 单价 数量 =总价；速度 时间 =路程；长 宽 =面积；溶液重量 浓度 =溶质重量等都是实质一样的关系，即两个量的积等于第三个量， 它的表达式为 abm如果将 a、 、m赋予它不同的含义就可以完破例1 的工

7、程问题界限。比如下列各题：行程问题：甲乙二人乘不同的交通工具行进，甲每小行比乙每小时多行 6千米，且甲走 90 千米的时间与乙走 求甲乙二人的速度60 千米所用的时间的相同一般问题：商店里有甲、乙两中笔，甲笔的单价比乙贵 6 元，90 元买甲种笔与 60 元买乙种笔的支数相等求两种笔的单价 面积问题：甲乙两个矩形的面积分别是90cm 2 和 60cm 2它们的宽相等，甲的长比乙的长 6cm，分别求两个矩形的长和宽浓度问题：甲乙两种溶液，甲的浓度比乙的浓度高 与 60 克乙种溶液所含溶液相同。求甲乙两种溶液的浓度6%，若 90 克甲种溶液从以上各例可以体会到许多问题，虽表现形式五花八门，但是它们

8、的数学本质即它们所依赖的数量关系是一致的。键。对例一再进行分析给出第二个解法所以分析数量关系仍然是学习应用题的关甲乙总工作量分别为 90 和 60 个现在还剩下工作效率， 时间这两个量是未知的，这时只要设出一个量，必能列出方程表示另一个设未知量时间为 x ，即甲工作时间为x 小时 甲每小时做 18 个90606x590518xx例十一一列火车用一定的速度走完一段路程，如果火车每小时多走 6 千，那么走完这段路程可少用 4 小时，如果火车每小时少走6 千米，那么走完这段路程要多用学习必备 欢迎下载6 小时，求这段路程是多少千米？分析：路程、时间、速度三个量题目都没给出， 但是通过“ 多走” 、“

9、 少走” 、“ 多用” 等词语， 暗示出火车原有一个计划的速度或计划所用的时间，并且无论“ 多走” “ 少走” 路是固定不变的。解法一：设这段路程为 x千米，火车原来的速度为每小时 y 千米。依据题意，列x x出方程组 yx y 6x6 4方程组变形后，得 xx 2y y 3 y y6 ) 6 ) 对于同一个 x 有y 6 y2y y 6 ) y y 6 )3y 230 y 0，y 1 0（不合题意） y2 30 x 30 30 6 ) 720经检验 x 720 y 30是原方程的解答：这段路程为 720 千米。解法二：设火车原来的速度为每小时 间为 y小时，则这段路程为 xy千米。x 千米，

10、原计划走完这段路程所用的时依题意，列出方程组(x66 )(y4 )xy(x6 )(y6 )xy去括号经整理后4 x6y247206 xy36解得 x30，y24则xy3024答：这段路程为 720 千米。例十二甲乙两地相距 50 公里， A 骑自行车， B 乘汽车同时从甲地出发往乙地，已知汽车的速度是自行车速度的2.5 倍，B 中途休息半小时，还比A 早到 2 小时，求： A、B 两人速度各是多小？解法一：设 A 的速度每小时 x公里，则 B 的速度为每小时 2.5 x 公里，走完全程A 用50 小时， B 用50 小时。x 2 5. x得50 50 5x 2 5 x 2解得 x 12 经检验

11、 x 12 是原方程的解 25 x 25 12 30（公里）答： A 的速度为 12 公里 小时 ，B 的速度为 30公里 小时 。解法二：利用距离一定时，速度与时间成反比，设 B 用 x 小时到达目的地，则 A用 x 1 +2 个小时到达2学习必备 欢迎下载得12 5 x x12 得 x 5325 550 30 ( 公里 ) 30 12 ( 公里 )3 2答： A 速为 12 公里 小时 ，B 速为 30 公里 小时 。解法三：设 A 到乙地共须 x 小时，则 x x05 22525解得： x6则 A 每小时行 50 25 12 （千米）6B 每小时行 12 25 30（千米）解法四：设 A

12、 速度为 x千米 小时有05 x 2 x 50，5 20，x 122 5 x x 25 x 3 x经检验 x 12 是方程的解答： A 速为 12 千米 小时 ，B 速为 30 千米 小时 。例十四甲乙两邮递员分别从A、B 两地同时以匀速相向而行，甲比乙多走了18 千米，相遇后甲走 4.5 小时到达 B 地，乙走 8 小时到达 A 地求：A、B 两地的距离解：设甲速为a 千米 小时 ，乙速为b 千米 小时 ，A、B 两地距离为 2S ，依题意有S a学习必备欢迎下载9Sb9 （相遇所用时间相同如图一）依题意Sa94598（据图二）S b 由得S S99a916 b由得S S9 9a b (S9

13、)2b9 a9S9a16 b16S S9 93S63 (千米)2S126 (千米)4答：A、B 两地相距 126 千米。例十五已知x ayz1abc022yz bc2xz ac1bcxyz求证：x a2y22 z12b2c2证明：x ayz1bc (xyz)21abcx2y2z22xya2b2c2aba xbc0yzcxy2 bxz2ayzayzbxzcxy0 xyz有 ayzbxzcxy0 2xy2xy2yzabacbcabc由可知上式得 0，把上式代入有x2y2z21命题得证a2b2c2例十六求证bcdd)bb )(acbc)(abc)(dbcd)a abca ab aa学习必备n欢迎下载

14、1m1n两项分析：等式右边的三个分式都为n )的形式将其拆成m mm证明：右 =1 aa1ba1ba111dbcabcabc=1 aab1cdbcdd)a abc左=bcdd)a abc左 =右等式成立例十七a b c0且a2b2c21， (11)b(11)c (11)3bccaab求： abc的值解： a (11 c)b(11 a)c(11 b)3bca a2(bc)b2(ac)c2(ab)3 abcb3c33 abca2(abc )b2(abc )c2(abc )a3( a2b2c2)(abc )a33 bc33 abcc33 abc a2b22 c1 abca3b3有 abc(abc)(

15、a2b2c2abbcac )讨论abc0上式成立或者 a2b2c2abbcac1 a2b22 c1 abbcac0(abc )2a2b2c22 ab2 bc2ac (abc)21则 abc1解法二 a(11)b(11)c(11)3bcacab0a(111)b(111)c (111 )cabcbacab(abc )(111)0abc讨论 1、 abc02、1 a110即bcacab0bc同上可得 (abc)21 abc1解法三 a(11 )cb(11 )ac (11)3bcab学习必备b)欢迎下载abc0a2(bc)b2(ac)c2(a3 abc2 a b2 a cabc2 b a2 b cab

16、c2 c a2 c ba abacbc )b abbcac )c acbcab)(abc abacbc )0c1讨论： abc0或： abbcac0 以下同方法一(abc)21 ab【综合练习】：一、选择题1、一件工作，甲单独完成需S 小时，甲乙两人合作需t 小时完成，则乙单独完成所需时间为A s t B1 C1 1Dsts t t s s t2、一个人跑 400 米的速度比原来提高了十分之一，时间比原来缩短了A1 B1 C1 D910 9 11 1003、一个人上山走了 s公里，又原路返因，上山的速度是 V1，下山的速度是V2 ，则这个人上山和下山的平均速度是AV 12V 2BV12V2CS

17、SSD121。V 1V2V 1V24、若方程xx32a1会产生增根，则 a 值是x3D4 A1 B2 C3 二、填空题1、分式方程xa111 若有增根，这个增根可能是 bx2、方程x20的解。x243、方程xx1x11的解是除 1 以外的任何数吗？4、已知 x0 则1 x11学习必备欢迎下载11的解。2x3x6三、解方程1、3x5x1x2761x7xx28x72、xx2 xx21x22x35 x63、x264325 xx24x2x4、222711x32 xx4x1四、解关于 x 的方程1、mx2xn(m)(n )n2)nm2、m2( 1m x)n2( 1nm2x五、解方程组x2yx5y3x9y

18、x2y11 4六、证明：已知yxab)(abc)8xz1、zybyxxzczy求证： ( bca ca2、已知4x3y6 z0(xyz0 )x2y7z02 求证：2 x2 x3y262 z15 y272 z七、列方程解应用题某工程队按计划必须在学习必备欢迎下载5 天是按额进行，从第629 天内完成一工程，最初天起采用新工作方法，结果提高工效4 倍，问这个工程队实际工作几天？学习必备 欢迎下载【答案】：一、11stxt1、D 设乙需要 x 小时1 xst1 x11stst xts2、C 设原来的速度是 x ，提高后的速度为1.1 x 400 x40040400140011x11x11x11x3、D 4、D 二、1、1，0 2、无解3、不是，本题无解4、 x41三、1、解：将原方程变形为x3x51(xx22x1x77 )(x1 )得 4x7x7经检验 x7是原方程的根。442、解：原方程变形xx22x3x21x2x5 x61x23x2x264xx21x26xx25 x5x经检验 x1是原方程的根3、 x34、解(2x8x207)(x2x51 )3 2x4)(xx21 )4 (x25 x4)(2x5)(2x5 4x