北师大版：函数的单调性与导数公开课解读课件

1、4.1.1导数与函数的单调性高二数学 选修1-1 第四章 导数应用（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式法则1:f(x) g(x) 法则2:法则3:= f(x) g(x); 导数的几何意义 f (x)在 处的导数 即为f(x)所表示曲线在 处切线的斜率，即复合函数的导数观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最

2、高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, 从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导, 如果 则f(x)为增函数；如果, 则f(x)为减函数如果在某个区间内恒有 ,一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导, 如果 则f(x)为增

3、函数；如果, 则f(x)为减函数则f(x)为常数函数.如果在某个区间内恒有函数单调性与导数正负的关系例1 已知导函数 的下列信息:当1 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 当1 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.xyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.题型：求函数的单调性、单调区间例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

4、解:(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.题型：求函数的单调性、单调区间例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求令作出结论1什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？2试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？总结：注：单调区间不以“并集”出现。 练习判断下列函数的单调性, 并求出单调区

5、间:例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导, 如果 则f(x)为增函数；如果, 则f(x)为减函数如果在某个区间内恒有 ,一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a,b）内可导, 如果 则f(x)为增函数；如果, 则f(x)为减函数则f(x)为常数函数.如果在某个区间内恒有函数单调性与导数正负的关系总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求令作