韦达定理与根与系数的关系测试题

1、根与系数的关系练习题、选择题11 1.若X1, 乂2是一元二次方程 3x2 +x1 =0的两个根，则 一+的值是（）Xi X2A. 2 B . 1 C .1 D . 32 .若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2 一3 =0的两个实数根分别是x ,X2 ,且满足X1 + x2 =电x2.则k的值为（）-1或34- 13 D.不存在4A.方程：-18若X1,5x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为B. 18X2是二次方程C. -3 2x2-3x+1=0A .一4若关于4二次方程C.D.的两个根，则11X12+X22的值是（42x2 2x+ 3m 1 = 0 的两个实数根 x

2、1, x2,且 X1 . X2 X1 +x24,则实数m的取值范围是A.m B.mw C.mv D. vmw 一 TOC o 1-5 h z 323325,已知方程x2+(2k+1)x+k22=0的两实根的平方和等于11, k的取值是()A. 3B.3 C. 1D.3 或 16.下列说法中不正确的是（）A .方程x2+2x-7=0的两实数根之和为一2B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为183D.万程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为一5.如果x的方程x2+kx+1=0的两根的差为1,那么k的值为（）A . 2 B . 6 C. 土 疾

3、D. 468.已知关于x的方程A. X1=3 , k=-7 B5二、填空题5x2+kx-6=0的一个根为k=-7 C2,设方程的另一个根为3.X1=,k=7 D5X1,则有(3 rX1= , k=751,已知一元二次方程 2x2 -3x-1 = 0的两根为x1、x2,则x1+x2=2.如果x1, x2是方程x 5x+ 6=0的两个根，那么X1 X2 =.已知为，X2是方程x2+6x+3 = 0的两实数根，则 R+1的值为X1 X2.已知xX2是关于x的方程(a1)x2 +x+a2 1 = 0的两个实数根，且 x1+x2=1，3贝 U x x2 =.设 xi、x2是方程 2x2+4x-3=0 的

4、两个根，则(xi+1)(x2+1)=.若方程2x2 4x3=0的两根为a、3 ,则a2 2a0+=.27,若万程2x 5x+k =0的两根之比是2： 3,则k=.8 .请写出一个二次项系数为1,两实根之和为3的一元二次方 程：.三、解答题1.已知关于x的二次方程x2+mx-1=0的一个根是 V2 -1 ,求另一个根及 m的值.2,已知关于x的方程x2- ( k+1) x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6,求k的值. ”，3是关于x的一元二次方程(m1)x2 x + 1 = 0的两个实数根，且满足(a +1)( 3 +1) =m +1 ,求实数m的值.已知关于x的方程x2 -2(m-2)x+

5、m2 =0,问：是否存在正实数 m,使方程的两个实数 根的平方和等于56,若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.已知关于 x的一元二次方程 x2+(4m+1)x+2m-1=O .(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程两根为 xi、x2,且满足+ =- 1,求m的值.xi x22一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练安徽省利辛县教育局督导室夏飞对于一元二次方程 4+数+ 0（叱0）,当判别式= -4比20时，_T士用- 4.其求根公式为：1 2a ;若两根为 不 田,当40时，则两根的关系为:a ,根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当

6、士+/一二，一白时，那么之则是+bx+e = OgHO）的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应 用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中， 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程 以2+加+1 = 0。=0）根的判别式人三川-4比存在的三种情况，以 及应用求根公式求出方程口/ +分+1 = 0（4=0）的两个根入和与 ,进而分解因式， 即+辰+=忒#一凡）（工一巧）0下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做 些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于丫的方程（1）

7、 -一（I-24次+/-3=。有两个不相等的实数 根，且关于X的方程（2）/-21+2口-1 = 0没有实数根，问a取什么整数时， 方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1）, （2）条件的d的取值范围中筛选符合条件的 a的整数值。解：.方程（1）有两个不相等的实数根,/二-0-2*，-4(/- 3) 。13解得4 ;方程（2）没有实数根,.2(-2尸-4(21)。1 （ 口 M 于是，同时满足方程（1） , （2）条件的Q的取值范围是4其中,d的整数值有a二2或a二3当a : 2时，方程（1）为/ +/+1 = 0,无整数根;当仪二3时，方程（1）为/+51+ 6=0,有整数根解得：二所

8、以，使方程（1）有整数根的a的整数值是。二3说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定 a的 取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出a-3,这也正是解答本题的基本技巧。、判别一元二次方程两根的符号例1：不解方程，判别方程2X+3i-7 = 0两根的符号分析：对于。/+8+匕=0（4=0）来说，往往二次项系数，一次项系数，常 数项皆为已知，可据此求出根的判别式,但只能用于判定根的存在与否， 若 判定根的正负，则需要确定11人或11+M的正负情况。因此解答此题的关键是： 既要求出判别式的值，又要确定 占 或11+占的正负情况解：; 2工，治-7 =

9、 0 , .=4X 2X( 7)=650.方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为十%7再演二一.20原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定，另外由于本题中可&0,仍需考虑工1+M的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程-61+苏-2冽+5=0的一个根为2,求另一个根及朋的 值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把 1二2代入原方程, 先求出期的值，再通过解方程办法求出另一个根； 二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及 朋

10、的值。解法一：把不二2代入原方程，得:22 -6x2+ffl3 -2w+5 = 0gpm3 - 2w-3 = 0当啊=3,= T时，原方程均可化为:za-6x+8 = 0,方程/-61+/-2溺+5=0的另一个根为4,用的值为3或一1解法二：设方程的另一个根为根据题意，利用韦达定理得:甬+为二 -(-6) = 6,而 = “一加+5.可二2, .把&=2代入可+为二(-6) = 6,可得：马二4.把=4代入11，/ 二僧2-2次+5,可得:.方程/-61+幽-2掰+5=0的另一个根为4,期的值为3或一1说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单例3：已知方程/+2(阳-2)x+/+

11、4 = 0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21,求朋的值分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为关于帆的方程，即可求得册的值。解：:方程有两个实数根，. :.：；：- i/1 - ll解这个不等式，得加0 0设方程两根为二则再+为=-2(t2),瓦为=/+4.,J-，-；,_,_ 一. 整理得：.解得：二 ,-.说明：当求出网二U，咫=-1后，还需注意隐含条件期W0,应舍去不合题意的阴二17。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知工1、士是关于丫的一元二次方程4 +40-1）1+/=0的两个非 零实数根，问工和能否同号？若能同号，请求出

12、相应的 州的取值范围；若不 能同号，请说明理由，解：因为关于X的一元二次方程4- +4（加-1）1+加=。有两个非零实数根,则有 A =4（用-1）F一4*4汹3 =-3加+162。又 工1、是方程4户+4（班-巾+ /=。的两个实数根，所以由一元二次 方程根与系数的关系，可得：4 +与=-（耀- 1）, 占万二m假设工1、办同号，则有两种可能：（D a 。，/ 。，ao4 +xa 0若了1 0 , / o ；-（ 1） 0即有：4解这个不等式组，得; 1那匕一2时方程才有实树根，此种情况不成立。X + x3 0若网0 ,电0 ,则有：储- 一（加- 1） 0附 0即有：4解这个不等式组，得掰

13、1;又丁2 , 当2时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具， 也是计算有关一 元二次方程根的计算问题的重要工具。 知识的运用方法灵活多样，是设计考察创 新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高， 应是同学们 重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题例：已知值、E是方程/+2八5 = 0的两个实数根，求+&+2值的值分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根 后，再带入的方法，力求简解。解法一：由于，是方程/+2一 = 0的实数根，所以

14、6+2-5 = 0设侬+2M,d+口+2w与6+2介5相加，得:/ = (+的+2+(f+2-5)二（&口 + 6）+ 2+向 + &-5=3+向，2（口+）-口一5 （变形目的是构造B+E和磔）根据根与系数的关系，有：j=-2,珈=-5于是，得：, ： 二1=4-4+5-5 = 01.；-二。：二0解法二：由于翼、是方程/+2工-5 = 0的实数根，a+=-2.盘，+麒+2&二 &（借+向+2比=以乂（-2）+2a=0说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解 题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时, 如果方

15、程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简 的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力， 多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题例8：已知两方程/-楣t+5+用=0和/一（7幽+ 1）1+13梆+7 =。至少有一 个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为 值时，根据根的意义，可以构成关于 值和情的 元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为根据根的意义,-沼 w+5+/= 0/ -（7溺 + 1）q+13必 + 7 = 0两式相减，得二 二：4当前+1二。时，阴

16、二飞,方程的判别式,1 .11 58二(一掰)-A(m +5)=(- -)2 - 4(- - + 5) = - -0,&0,|瓦一面I二工1 一万二- A +为一2金，/652x(2)二一 r42；设可- = -2 m0,则可一=再+跖二一再莅二5、提示：由韦达定理得：物，掰,用二-2, ,%2 = 3, .(+严=(-2=-86、提示：设网二i一亚,由韦达定理得：工什二一应,工1广a，.二1-也+二-也，解得：=-1,产a二(一物止1”出，即。二亚。7、提示：设力=2+抠,由韦达定理得：.+/=4 ,瓦/:k , 2+也+=4 ,：,二2g ,.工办=k=(24)(2+月二18、提示：设所求

17、的一元二次方程为/+q = 0 ,那么看+二一P ,砧电，.-2二(2+渡)+(2-#)=4 ,即P = -4； ”Q+#)(2-#) = -2 ； .设所求的一元二次方程为：二 ，2-1二、求值题：_31、提示：由韦达定理得：1,2,1”2 ,工：与+就；=瓦皿；+Q=*购+十一2亚厂% + 2寸二-2而+/二一 苞 /2、提示：由韦达定理得：1 23,1=（兀+）（而-乙）,=（%+犷网+4-你活广守山3/ L 64-4x(-)=一381_33、提示：由韦达定理得：Q”一5,及为二一2,.一 一 ,一:一 . 1 i _1_ 1. . _:_1=%）相+以-%引=（-孙（-京中号4、提示：

18、设这两个数为十 %于是有可+后=6,用马=4,因此11、X?可 看作方程/+/+a = 的两根，即用+%=-P = 6,今办二产4,所以可得方 程：V-6x+4=0,解得：% = 3+芯,=3一有，所以所求的两个数分别是 3+下,3-也。5、提示：由韦达定理得vn-阳+ 1犷行广工口，.+-4西二1,22，化简得：”-10用-11=0;解得：的二11,啊二-1；以下分两种情况：_耀T当州=11时，Q亏一,可一工2=1,组成方程组：X + / = 5(i)% - 3了巧二】；解这个方程组得： 离二2 ；+ 幽-1当啊=T时，+/ 一,&一演二1,组成方程组：xL + xa - -1 (i)工1-

19、/ = 1；F1=。解这个方程组得：二-16、提示：设/+怙+4 = 0和？-佃-2)-16 =。相同的根为I=a ,于是可 得方程组：厘+4掰+ 4 = 0炉一名幽 2）-15 =。；+得：/+”6二0,解这个方程得:4 = -3，%= 2 ；_13以下分两种情况：（1）当5二-3时，代入得的 3 ； （2）当的=2时, 代入得啊二一4。所以9+颇+4 = 0和X（那-2）1一6 = 0相同的根为例二-3,的二2,加的_13值分别为眄一百，啊二一4。三、能力提升题:1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备： 判别式0；11”?0,工1 + M0;于是可得不等式组:5 Jt-1-0解这个不等式组得：上1/+（喀-2）x + -加-3 = 02、提示：（1）2的判别式4=W -4第二（加-2），- 4（-/?- 3）二毋一6溶+ 16二施-3)+7 0,所以无论朋取什么实数值，这个方程总有两 个不相等的实数根。(2)利用韦达定理，并根据已知条件可得：解这个关于的方程组，可得到：西二2潴-1与=3-3潴 由于而-七二)汹-3-m-3= (2m