数理方程第二章分离变量法课件

1、第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论7/26/20221基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦的自由振动7/26/20222令代入方程：令代入边界条件1、 求两端固定的弦自由振动的规律7/26/20223特征

2、（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 7/26/202247/26/202257/26/202267/26/20227分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 7/26/202282 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：7/26/20229例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：7/26/2022107/26/2

3、02211于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/2022127/26/202213解：例2求下列定解问题7/26/2022147/26/2022157/26/202216初始条件7/26/202217例3 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202218这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为7/26/202219例4 求下列定解问题令代入方程：解：7/26/2

4、022207/26/202221于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/2022227/26/2022237/26/202224二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：7/26/202225由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为满足方程于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/202226令代入方程：令例5 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202227于是得到一系

5、列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/202228例6 求下列定解问题解：令7/26/2022297/26/202230于是得到一系列分离变量形式的特解7/26/202231若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为若7/26/202232分离变量流程图7/26/202233三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202234于是得到一系列分离变

6、量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/2022357/26/202236例7 求下列定解问题解：由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202237于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/2022387/26/202239例8 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202240于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程

7、的叠加原理，设原问题的解为7/26/2022412 圆域内的拉普拉斯问题7/26/202242例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题7/26/202243(欧拉方程) 令周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202244（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/202245例10 求下列定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题7/26/202246欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。

8、由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/202247其他为零7/26/202248例11 求下列定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为（自然边界条件）7/26/202249（由自然边界条件）7/26/202250例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202251于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/202252例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令7/26/202253解法二：令由例1中的方法

9、知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为7/26/202254于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为7/26/202255常用特征值问题周期特征值问题7/26/202256四 非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？思考7/26/202257由线性方程的叠加原理，令：7/26/202258令：为什么？非齐次方程的特征函数展开法7/26/202259用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题7/26/202260例13 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题其特征值和特征函数为7/

10、26/2022617/26/202262例14 求下列定解问题解：令其特征值和特征函数为7/26/2022637/26/202264用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题7/26/202265例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题7/26/202266非齐次方程的特征函数展开法7/26/2022677/26/202268例16 求定解问题周期特征值问题7/26/202269非齐次方程的特征函数展开法7/26/2022707/26/202271五 非齐次边界条件的处理解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令取其中辅助函数满足7/26/2022727/26/202

11、273常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。7/26/202274例17 求下列定解问题解：令可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。7/26/202275若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x)此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出!7/26/202276例18 求下列定解问题解：令请与例17比较，研究其优缺点。7/26/202277例19 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。7/26/202278例20 求定解问题解：令可以用分离变量法求解以上问题。7/26/202279例21 求定解问题解：令7/26/202280定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征函数展开法应用分离变量法求解定解问题的步骤