数学竞赛专题讲座组合数学课件

1、数学竞赛专题讲座组合数学数学竞赛专题讲座组合数学数学竞赛专题讲座组合数学 数学竞赛中 的组合问题 数学竞赛中 的组合问题 （一）主要类型1、组合计数问题 包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等一、概论（一）主要类型1、组合计数问题包括： 问题类型：主要有：有限集合元素的计算、子集的计算、集合分拆的计算解题方法：主要有：代数恒等变形、二项式定理、组合等式、递推、组合分析、容斥原理、数学归纳法。一、概论（一）

2、主要类型2、组合设计问题 其基本含义是，对有限集合，按照性质来作出安排，有时，只是证实具有性质的安排是否存在、或者验证作出的安排是否具有性质（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则需把具体安排（或具体性质）找出来（称为构造型问题）；进一步，还要找出较好的安排（称为最优化问题）一、概论（一）主要类型2、组合设计问题：对集合A，按照某种性质P来作出安排，包括问题类型主要有：存在性问题，构造性问题，最优化问题解题方法：主要有：构造法、反证法、抽屉原理、染色方法、 递推方法一、概论（二） 发展特点 以组合计数、组合设计为基础，与数论、几何交叉，形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热

3、点 ，突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决”特征这三方面之所以成为热点，从思维方式、解题技巧上分析，是因为其更适宜数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系；从技术层面上分析，还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目一、概论有个定义、9个定理：定义 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列相异元素排列数的计算公式为： 二、基础知识 定义 从n个不同的元素中取出m个，并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合相异元素组合数的计算公式为：二、基础知识 定理 （加法原理）定理2 （乘法原理）定理3 组合恒等式(1)(2)(3)(4)

4、二、基础知识 定理4 （二项式定理） 定义 从n个不同的元素中取出m个，按照一定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列（或循环排列、圆排列）相异元素的 圆排列数公式为：二、基础知识 定义 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n个相异元素允许重复的m元排列相异元素的可重复排列数计算公式为：定义 从n个不同的元素中，允许重复取出m个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n个相异元素允许重复的m元组合 相异元素的可重复组合数计算公式为：二、基础知识 定义 若n个元素中，有n1个a1， n2个a2个a，且，则这个元素的全排列，称为不尽相异元素的全排列不尽相异元素的全排列公

5、式为：定义 如果是一个元有限集合，那么，它的子集组成的集合叫做的一个子集系二、基础知识 定理5 元集合中含有个元素的子集有个；集合的所有子集共有个定理6 （抽屉原理）（1）把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 （2）把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。 （3）把（mn1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。 二、基础知识 举例说明抽屉原理例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.解 从三种

6、玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.举例说明抽屉原理例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=22+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色.举例说明抽屉原理例3 从自然数1，2，3，99，100这100个数中随意取出51个数来，求证

7、：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.解设第一个抽屉里放进数：1，12，122，123，124，125，126；第二个抽屉时放进数：3，32，322，323，324，325；第三个抽屉里放进数：5，52，522，523，524；第二十五个抽屉里放进数：49，492；第二十六个抽屉里放进数：51.第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.定理7 （容斥原理）设集合 ，记 为 对于全集的补集，则(1)(2)定理8 （自然数的良序性）自然数的任一非空子集中，必有一个元素是最小的 二、基础知识 定理9 设A,B是两个有限元集合，

8、分别是两集合的元素个数，f是A到B的一个映射（）若f是单射，则 ；特别的，f是单射而非满射，则 （）若f是满射，则 （）若f是一一映射（双射），则 二、基础知识 （二）、高中数学竞赛大纲 中组合问题的要求1、圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式2、组合计数，组合几何 3、抽屉原理4、容斥原理 5、极端原理6、图论问题 7、集合的划分8、覆盖9、平面凸集、凸包及应用*（加试中暂不考，但在冬令营中可能考）二、基础知识 1、计数问题三、题型举例 1、计数问题三、题型举例 2、染色问题三、题型举例 3、存在性问题三、题型举例 4、组合构造三、题型举例 5、组合数论三、题型举例 6、操作性问题三、题型举例 7、最值性问题三、题型举例 8、图论9、组合方法10、综合问题三、题型举例 在高中数学联赛的所有题目中，相信最让大家头痛的莫过于组合题了，有些同学觉得做组合题很容易就绕晕了，不知道如何下手；有些同学看了答案总是会说，这个题想法太怪了，不可能想不出来；有些同学好不容易想出了答案，却经常因为表达不清楚而得不到分。确实，组合题对数学思维的要求非常高，它经常作为联赛二试的最后一题出现，会比另外几块内容难上很多，但也并不是无迹可寻的