有关抛物线焦点弦的弦长公式补充

1、关于抛物线焦点弦的弦长公式补充高县中学吴伦红在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：已知：抛物线的方程为J2 = 2px (p 0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为。，求弦AB的长。解：由题意可设直线AB的方程为y = k(x - p (0；)将其代入抛物线方程整理得：4k2X2-(4pk2 + 8p)x + p2k2 = 0，且k = tan0p2x x =-设A,B两点的坐标为(X，y ),(X，y) 则：x + x = pk2+ 2p，112212 k 2I AB 1=：i + k 2.(

2、 x 1+x 2)2 - 4 x. x2 p(sin o )2兀-当0=3时，斜率不存在，sin0 = 1，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽一样。现在我们来探讨这个问题。已知：抛物线的方程为x2 = 2py(p 0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点， 直线AB倾斜角为0，求弦AB的长。解：设A,B的坐标为(x,y ),(x ,y)，斜率为k(k = tan0 )，而焦点坐标为(0,p)，11222故AB的方程为y - p = kx，将其代入抛物线的方程整理得：2x2 - 2 pkx - p2

3、 = 0,从而 x + x = 2 pk, xx =-p2，1212弦长为：I AB I=：1 + k 2；( x1+x 2)2 4 xx =2 p(cos0 )20= 0,cos0 = 1,I AB I= 2p，即为通径。而y2 = -2px与(1)的结果一样，x2 = -2py与 的结果一样，但是(1)与(2) 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下：已知：抛物线的方程为y2 = 2px (p 0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A，B 两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为0，求弦AB的长。解：由题意可设直线AB的方程为y = k(x - P

4、) (3丰?)将其代入抛物线方程整理得:4k2X2 - (4pk2 + 8p)x + P2k2 = 0，冗若倾斜角以一,则以=3,k = tan以=tan3 ；2兀若倾斜角以 项以=兀-3,k = tan以=tan(兀-3)。 2设A,B两点的坐标为(X, y ),(X , y)1122贝 h x + x = pk 2 + 2 p，x x = P12k 2124I AB I = J1 + k 2 J( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x. x=2 p(p k 2 + 2 p )2 - p 2 k 4一(sin 以)2而sin3 = sin以，sin(兀0) = sin以，故| AB I=

5、7 .2p、；(sin3 )2，兀.当3=号时，sin 3 = 1，|AB|=2p.即为通径。而y 2 = -2 px与(3)的结果一样同理：(4)已知：抛物线的方程为x2= 2py(p 0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B 两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为3，求弦AB的长。解：设a,b的坐标为(x,y),(x,y)，若倾斜角为a，斜率为k，1 12 2则k = tana，而焦点坐标为(0, p)，2故AB的方程为y - p = kx，将其代入抛物线的方程整理得：2x2 - 2 pkx - p2 = 0,从而 x + x = 2 pk, xx =-p2，12122p(cosa )2弦长为：I AB I= ：1 + k2：，(x+x2)2 - 4 x x =则 a = :-3 ,cos a = cos( 2 -3) = sin 3+ 9) = - sin 9兀- 兀当倾斜角以 一，则以=一+9,cos以=22所以1演|=湍苏恒成立。兀.当 9=了 时，sin 0 = 1, |AB|=2p.即为通径。而X2 =-2 py与（4）的结果一样。故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为9，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公