有限元和阻抗

1、有限元法有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域， 常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分 方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础 发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类 场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加 权余数法中的迦辽金法（Galerkin）或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可 应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛

2、函的极值问题有 所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。1原理将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的 表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值 插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。2运用步骤步骤1：剖分：将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意 的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单 元的顶点称为节点（或结点）。步骤2：单元分析：进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形

3、状函数及离散网 格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数。步骤3：求解近似变分方程用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问 题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件； 连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是 只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体 的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散 方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种 有限元模型，如协调、不协调、混

4、合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、 应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限 元法也被用于计算机辅助制造中。有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的 分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的 尝试是在1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹 性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。I960年，Clough进 一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了有限单元法，使人们认识到它的功效。50年

5、代末60年代初，中国的计算数学刚起步不久，在对外隔绝的情况下，冯康带领 一个小组的科技人员走出了从实践到理论，再从理论到实践的发展中国计算数学的成功之路。 当时的研究解决了大量的有关工程设计应力分析的大型椭圆方程计算问题，积累了丰富而有 效的经验。冯康对此加以总结提高，作出了系统的理论结果。1965年冯康在应用数学与 计算数学上发表的论文基于变分原理的差分格式，是中国独立于西方系统地创始了有 限元法的标志。有限元法常应用于流体力学、电磁力学、结构力学计算，使用有限元软件ANSYS、 COMSOL等进行有限元模拟，在预研设计阶段代替实验测试，节省成本。派生从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则

6、称为三维单元。如有限条法、边界元法 杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。有限元分析有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几 何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的 未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为 有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求 解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而 是近似解，因为实际问题被较简单的问题

7、所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而 有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世 纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但 作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器 的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴 趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工 程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并

8、且实用高 效的数值分析方法。基本特点编辑编辑有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的 子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形 象地将其描绘为：有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法 的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的 Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四 边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于 其他近似方法的原因之一。2

9、步骤方法 编蛆z 编辑对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体 公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限 个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的 近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限 元法的核心技术之一。第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状 态变量边界条件的微分方程式表示，为适

10、合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形 式。第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包 括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系， 从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是 应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低， 而且有缺秩的危险，将导致无法求解。第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似 求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结 点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的 求解可用直