数字电子技术第一章 逻辑代数与EDA技术的基础知识资料

1、第一章 逻辑代数(dish)与EDA技术的基础知识共八十七页模拟电路电子电路分类数字电路 传递(chund)、处理模拟 信号的电子电路 传递(chund)、处理数字信号的电子电路数字信号时间上和幅度上都断续变化的信号 模拟信号时间上和幅度上都连续变化的信号数字电路中典型信号波形一、数字电路与数字信号 共八十七页输出信号与输入信号之间的对应逻辑关系逻辑代数只有高电平和低电平两个取值导通(开)、截止(关)便于高度集成化、工作可靠性高、抗干扰能力强和保密性好等研究对象分析工具信 号电子器件工作状态主要优点二、数字电路特点(tdin) 共八十七页数制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的

2、方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位(o wi)的进位规则称为进位计数制，简称数制。基 数：进位制的基数，就是(jish)在该进位制 中可能用到的数码个数。三、几种常用的数制 位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这 一位的权数。权数是一个幂。共八十七页十进制 D二进制 B八进制 O十六进制 H基数(N)102816数字符号090、10709,A,B,C,D,E,FN进制数的一般(ybn)表的形式：DN=KiNi 按权展开式(101.11)2 122 021120121122 (5.75)10(2A.7F)1

3、6 216110160716115162(42.4960937)10共八十七页共八十七页1.500 1 整数(zhngsh)0.750 01. 各种( zhn)数制转换成十进制 2. 十进制转换为二进制 例 将十进制数 (26.375)10 转换成二进制数 26 6 1 3 01 10 12(26 )10 = (11010 ) 2 2 21.000 1.37522220.375 2一直除到商为 0 为止 余数 13 0按权展开求和整数和小数分别转换 整数部分：除 2 取余法 小数部分：乘 2 取整法读数顺序读数顺序 .011四、不同数制间的转换共八十七页 每位八进制数用三位二进制数代替(dit

4、)，再按原顺序排列。八进制二进制3. 二进制与八进制间的相互(xingh)转换 二进制八进制(11100101.11101011)2 = (345.726)8 (745.361)8 = (111100101.011110001)2 补0(11100101.11101011)2 = ( ? )8 11100101.11101011 00 345726 从小数点开始，整数部分向左 (小数部分向右) 三位一组，最后不足三位的加 0 补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数 。补01110010111101011共八十七页 一位十六进制数对应(duyng)四位二进制数，因此二进制数四位为一组。4. 二

5、进制和十六进制间的相互(xingh)转换 (10011111011.111011)2= (4FB.EC)16 (3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2 (10011111011.111011)2 = ( ? )16 10011111011.11101100 4FBEC0 十六进制二进制 :每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。二进制十六进制 : 从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右) 四位一组，最后不足四位的加 0 补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数 。10011111011111011共八十七页五、几种常用(chn y

6、n)的编码 我们常用的数字1、2、39、0 通常有两大用途：表示大小： 10000（一万）， 8848米。表示编码：000213班， 8341部队。 我们习惯使用十进制，而计算机硬件是基于二进制的，因此需要用二进制编码表示十进制的09十个码元, 即BCD (Binary Coded Decimal) 码。至少要用四位二进制数才能表示09，因为四位二进制有16种组合. 现在的问题是要在16种组合中挑出10个，分别(fnbi)表示 09，怎么挑呢？不同的挑法构成了不同的BCD码。 共八十七页 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码(shm)，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421

7、 BCD码。2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个(lin )码字，仅有一位代码不同，其它位相同。共八十七页共八十七页逻辑(lu j)代数：用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 (Boole Algebra)或开关代数。逻辑(lu j)：事物因果关系的规律逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态一种状态另一状态高电平低电平真假是非有无10011. 1 逻辑代数基本概念、公式和定理共八十七页1. 1. 1 基本(jbn)和常用逻辑运算一、三种(sn zhn)基本逻辑运

8、算1. 基本逻辑关系举例功能表灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY（1）电路图：共八十七页或逻辑关系开关A开关B灯Y电源功能表灭亮亮亮断断断合合断合合ABY非逻辑关系开关A灯Y电源R亮灭断合AY功能表共八十七页（2）真值表：经过设定变量和状态赋值后，得到(d do)的反映输入变量与输出变量之间因果关系的数学表达形式。功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABY与逻辑关系真值表（Truth table）000100011011ABY共八十七页功能表灭亮亮亮断断断合合断合合ABY亮灭断合AY功能表真值表011100011011ABY或逻辑关系非逻辑关系真值表1001AY共八十七页

9、与逻辑(lu j)：当决定(judng)一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。（3）三种基本逻辑关系： 或逻辑：决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。 非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。共八十七页二、逻辑变量与逻辑函数(hnsh)及常用复合逻辑运算1. 逻辑变量(binling)与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是 1 就是 0 。逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函

10、数。并记作原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：共八十七页真值表逻辑(lu j)函数式与门（AND gate)逻辑(lu j)符号（1）与运算：ABY&000100011011ABY2. 基本逻辑运算有 0 出 0；全 1 出 1 共八十七页（2）或运算(yn sun)：或门（OR gate)真值表逻辑(lu j)函数式逻辑符号011100011011ABYABY1（3）非运算：真值表1001AY逻辑函数式逻辑符号非门（NOT gate)AY1有 1 出 1；全 0 出 0 共八十七页(1) 与非运算(yn sun) (NAND)(2) 或非运算(yn su

11、n) (NOR)(3) 与或非运算 (AND OR INVERT)(真值表略)11100 00 11 01 1AB&10003. 几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2 的真值表AB1AB&CD1共八十七页(4) 异或运算(yn sun)(ExclusiveOR)(5) 同或运算(yn sun)(ExclusiveNOR)(异或非)AB=101100 00 11 01 1 AB=1= ABABY410010 00 11 01 1ABY5共八十七页三、基本和常用(chn yn)逻辑运算的逻辑符号曾用符号(fho)美国符号ABYABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB1共八十七页国标符号

12、(fho)曾用符号(fho)美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB1共八十七页或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：二、变量(binling)和常量的关系(变量：A、B、C)或：A + 0 = AA + 1 = 1与:A 0 = 0A 1 = A 非：1. 1. 2 公式(gngsh)和定理一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 )共八十七页三、与普通(ptng)代数相似的定理交换律结合律分配律例 1. 1. 1 证明(zhngmng)公式解方法一：公式法共八十七页例 1. 1. 1 证明(zhng

13、mng)公式方法(fngf)二：真值表法 (将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中) A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等解共八十七页四、逻辑代数的一些(yxi)特殊定理同一律A + A = AA A = A还原(hun yun)律例 1. 1. 2 证明：德 摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 100 0 1 111011 0 0 10101110011110001000相等相等德 摩根定理共八

14、十七页 将Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量(binling)换成反变量，反变量换成原变量五、关于等式(dngsh)的两个重要规则1. 代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知(用函数 A + C 代替 A)则2. 反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号 乘 加注意:共八十七页例如(lr)：已知反演规则(guz)的应用：求逻辑函数的反函数则 将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号 与 或不属于单

15、个变量上的反号应保留不变共八十七页六、若干(rugn)常用公式推广共八十七页公式(gngsh) (4) 证明：推论公式(gngsh) (5) 证明：即= AB同理可证AB共八十七页一、标准(biozhn)与或表达式1. 2 逻辑函数(hnsh)的化简方法1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项最简式例 1. 2. 1共八十七页1. 最小项的概念(ginin)： 包括(boku)所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。( 2 变量共有 4 个最小项)( 4 变量共有 16 个最小项)( n 变量共有 2n 个最小项)( 3 变

16、量共有 8 个最小项)共八十七页对应(duyng)规律：1 原变量 0 反变量2. 最小项的性质(xngzh)：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意两个最小项的乘积为 0 ；(3) 全体最小项之和为 1 。变量A、B、C全部最小项的真值表共八十七页3. 最小项是组成(z chn)逻辑函数的基本单元 任何逻

17、辑函数都是由其变量的若干个最小项构成(guchng)，都可以表示成为最小项之和的形式。例 1. 2. 2 写出下列函数的标准与或式：解相同最小项合并 标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个最小项之和的表达式。共八十七页函数(hnsh)的标准与或式也可以由其真值表直接写出：例如(lr)，已知 Y = A + BC 的真值表A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100011111函数的标准与或式Y方法：将使得输出取值为1的对应最小项相加即可共八十七页4. 最小项的编号(bin ho)： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就

18、是该最小项的编号(bin ho)，用 mi 表示。对应规律：原变量 1 反变量 00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7共八十七页例 写出下列函数(hnsh)的标准与或式：m7m6m5m4m1m0m8m0与前面(qin mian)m0相重共八十七页二、逻辑(lu j)函数的最简表达式1. 最简与或式：乘积(chngj)项的个数最少，每个乘积(chngj)项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。例如：2. 最简与非 与非式：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非 - 与非式。例 1. 2. 3

19、写出下列函数的最简与非 - 与非式：解共八十七页3. 最简或与式：括号(kuho)个数最少，每个括号(kuho)中相加的变量的个数也最少的或与式。例 1. 2. 4 写出下列(xili)函数的最简与或式：解4. 最简或非 或非式：非号个数最少，非号下面相加的变量个数也最少的或非 或非式。例 1. 2. 5 写出下列函数的最简或非 或非式：解共八十七页5. 最简与或非式：非号下面相加的乘积(chngj)项的个数最少，每个乘积(chngj)项中相乘的变量个数也最少的与或非式。例 1. 2. 6 写出下列(xili)函数的最简与或非式：解结论：只要得到函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可

20、以获得其它几种类型的最简式。而最简与或式一般需要经过化简才能求得。已知共八十七页1. 2. 2 逻辑(lu j)函数的公式化简法一、并项法:例 1. 2. 7例（与或式最简与或式）公式定理共八十七页二、吸收(xshu)法：例 1. 2. 8例例共八十七页三、消去法：例 1. 2. 9例例共八十七页四、配项消项法：或或例 1. 2. 10例 1. 2. 11冗余(rn y)项冗余项共八十七页综合(zngh)练习：共八十七页1. 2. 3 逻辑(lu j)函数的图形化简法一、逻辑(lu j)变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图：1. 二变量 的卡诺图最小项方格图(按循环码排列)(四个最

21、小项)ABAB0101AB0101共八十七页2. 变量(binling)卡诺图的画法三变量(binling) 的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着行或列的两头对折起来位置重合逻辑相邻：两个最小项只有一个变量形式不同逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7共八十七页五变量(binling) 的卡诺图：四变量(binling) 的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110 当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000

22、001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项共八十七页3. 变量(binling)卡诺图的特点：用几何(j h)相邻表示逻辑相邻(1) 几何相邻：相接 紧挨着相对 行或列的两头相重 对折起来位置重合(2) 逻辑相邻：例如两个最小项只有一个变量不同化简方法：卡诺图的缺点：函数的变量个数

23、不宜超过 6 个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。共八十七页4. 变量(binling)卡诺图中最小项合并的规律：(1) 两个相邻最小项合并可以(ky)消去一个因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946共八十七页(2) 四个相邻(xin ln)最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810共八十七页(3) 八个相邻最小项合并可以(ky)消去三个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001

24、111000011110571315B02810151394612142n 个相邻(xin ln)最小项合并可以消去 n 个因子。总结：共八十七页二、逻辑(lu j)函数的卡诺图 根据函数(hnsh)的变量个数画出相应的卡诺图。 在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填 1 ，其余位置填 0 或不填。1. 逻辑函数卡诺图的画法2. 逻辑函数卡诺图的特点用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。优点：缺点：当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。共八十七页例 1. 2. 12画出函数(hnsh)的卡诺图3. 逻辑(lu j)函数卡诺图画法举例解

25、根据变量个数画出函数的卡诺图ABCD0001111000011110 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填 1 。m0、m1、m2、m31111m12、m13、m14、m151111m0、m4、m8、m1211共八十七页例 1. 2. 13画出函数(hnsh)的卡诺图解 根据(gnj)变量个数画出函数的卡诺图ABCD0001111000011110 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填 1 。m4、m51111m9、m11共八十七页三、 用卡诺图化简逻辑(lu j)函数化简步骤(bzhu): 画出函数的卡诺图 合并最小项： 画包围圈 写出最简与或表达式例

26、 1. 2. 14ABCD000111100001111011111111解共八十七页ABCD000111100001111011111111画包围圈的原则(yunz)： 先圈孤立项，再圈仅有一种合并(hbng)方式的最小项。 圈越大越好，但圈的个数越少越好。 最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。不正确的画圈共八十七页例解 画函数(hnsh)的卡诺图ABCD000111100001111011111111 合并(hbng)最小项： 画包围圈 写出最简与或表达式多余的圈注意：先圈孤立项利用图形法化简函数共八十七

27、页利用(lyng)图形法化简函数例解 画函数(hnsh)的卡诺图ABCD00011110000111101111111111 合并最小项： 画包围圈 写出最简与或 表达式共八十七页例用图形(txng)法求反函数的最简与或表达式解 画函数(hnsh)的卡诺图ABC010001111011110000 合并函数值为 0 的最小项 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式共八十七页例 已知某逻辑函数(hnsh)的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解： 0 方格很少且为相邻项，故用圈 0 法先

28、求 Y 的最简与或式。1111111111共八十七页例 已知函数真值表如下(rxi)，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意(zh y)：该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果未必唯一。解：(1)画函数卡诺图ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1(3)化简(2)画圈Y = 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 共八十七页1. 2. 4 具有约束的逻辑(lu j)函数的化简一、 约束(yush)的概念和约束(yush)条件(1) 约束：输入变量取值所受的限制例如，逻

29、辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。ABC 的可能取值(2) 约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值0010101000000111011101111. 约束、约束项、约束条件共八十七页(3) 约束条件： 在逻辑表达式中，用等于(dngy) 0 的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成(guchng)的值为 0 的逻辑表达式。约束项：约束条件：或2. 约束条件的表示方法 在真值表和卡诺图上用叉号()表示。例如，上例中 ABC 的不可能取值为共八十七页二、 具有约束的逻辑(lu j

30、)函数的化简 化简具有约束(yush)的逻辑函数时，如果充分利用约束(yush)条件，可以使表达式大大化简。1. 约束条件在化简中的应用(1) 在公式法中的应用： 可以根据化简的需要加上或去掉约束项。例化简函数 Y = ABC，约束条件解问题：当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束项应该加上，哪些应该去掉。共八十七页(2) 在图形(txng)法中的应用： 根据卡诺图的特点（逻辑(lu j)相邻，几何也相邻），在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。例化简函数 Y = ABC，约束条件解 画出三变量函数的卡诺图ABC0100011110 先填最小项，再填约束项，其余填 0 或不填。1000

31、利用约束项合并最小项，使包围圈越大越好，但圈的个数越少越好。 写出最简与或式共八十七页2. 变量互相排斥(pich)的逻辑函数的化简互相排斥(pich)的变量：在一组变量中，只要有一个变量取值为 1，则其他变量的值就一定是 0。ABC01000111101011 画出该函数的卡诺图 画包围圈，合并最小项 写出最简与或表达式例 1. 2. 16 函数 Y 的变量 A、B、C 是互相排斥的，试用图形法求出 Y 的最简与或表达式。解根据题意可知约束条件共八十七页例 化简逻辑(lu j)函数化简步骤(bzhu): 画函数的卡诺图，顺序 为：ABCD0001111000011110先填 1 011100

32、0000 合并最小项，画圈时 既可以当 1 ，又可以当 0 写出最简与或表达式解三、 化简举例共八十七页例 化简逻辑(lu j)函数约束条件解 画函数(hnsh)的卡诺图ABCD00011110000111101111 合并最小项 写出最简与或表达式合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。注意：共八十七页1.3 逻辑函数的表示方法(fngf)及其相互之间的转换1. 3. 1 几种表示(biosh)逻辑函数的方法一、真值表将变量的各种取值与相应的函数值，以表格的形式一一列举出来。1. 列写方法ABCY0 0 00 0 1

33、0 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111例如函数2. 主要特点优点：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。共八十七页三、逻辑(lu j)表达式优点(yudin)：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。二、卡诺图ABC010001111011110000优点：便于求出逻辑函数的最简与或表达式。缺点：只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。真值表的一种方块图表达形式，要求变量取值必须按照循环码的顺序

34、排列。用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子。例如共八十七页四、逻辑图ABYC&优点(yudin)：最接近(jijn)实际电路。缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。&1用基本和常用的逻辑符号表示函数表达式中各个变量之间的运算关系。例 1. 3. 1画出函数的逻辑图共八十七页五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间(shjin)变化的波形。ABY优点(yudin)：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。共八十七页1. 3. 2 几种表示(biosh)方法之间的转换一、真值表函数(h

35、nsh)式逻辑图 例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。 真值表函数式 将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得 Y 的逻辑函数式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111共八十七页函数(hnsh)式卡诺图化简ABC010001111011010000 函数(hnsh)式逻辑图ABY&C&1共八十七页真值表函数(hnsh)式二、逻辑图0110ABY00011011BA&共八十七页第一章 小 结一、数制和码制1. 数制：计数方法(fngf)或计数体制（由基数和位权组成）种 类基 数位 权应 用备 注十进制0 910i日常二进制0 ，12i数字电路2 = 21八进制0 78i计算机程序8 = 23十六进制0 9，A F16i计算机程序16 = 24 各种数制之间的相互转换(zhunhun)，特别是十进制二进制的转换，要求熟练掌