2022-2023学年人教A版2019高中数学 必修1 4.3.2 对数的运算 第2课时 换底公式

1、第2课时换底公式学习目标1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值一、对数的换底公式问题1上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？提示设log48x，故有4x8，即22x23，故xeq f(3,2)，而log283，log242，于是我们大胆猜测log48eq f(log28,log24)，同样log93eq f(log33,log39) .问题2是否对任意的logab都可以表示成logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1；b0；c0，且c1)？说出你的理由提示依据当a

2、0，且a1时，axNlogaNx推导得出令eq f(logcb,logca)x，则logcbxlogcalogcax，故bax，xlogab，logabeq f(logcb,logca).知识梳理1对数换底公式：logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论(1)logaNeq f(1,logNa)(N0，且N1；a0，且a1)(2) (a0，且a1，b0)(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)注意点：(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对

3、数或自然对数，即logabeq f(lg b,lg a)或logabeq f(ln b,ln a).例1(1)计算：(log43log83)(log32log92)；(2)已知log189a，18b5，用a，b表示log3645的值解(1)原式eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,lg 4)f(lg 3,lg 8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,lg 9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,2lg 2)f(lg 3,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,2

4、lg 3)eq f(5lg 3,6lg 2)eq f(3lg 2,2lg 3)eq f(5,4).(2)方法一log189a，18b5，log185b.log3645eq f(log1845,log1836)eq f(log1895,log18182)eq f(log189log185,1log182)eq f(ab,1log18f(18,9)eq f(ab,2a).方法二log189a，18b5，log185b.log3645eq f(log1895,log18f(182,9)eq f(log189log185,2log1818log189)eq f(ab,2a).延伸探究若本例(2)条件不

5、变，求log915(用a，b表示)解因为18b5，所以log185b.所以log915eq f(log1815,log189)eq f(log1835,log189)eq f(log183log185,a)eq f(log18r(9)b,a)eq f(f(1,2)log189b,a)eq f(f(1,2)ab,a)eq f(a2b,2a).反思感悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧跟踪训练1(1)eq f(log89,log23)的值是()A.eq f(2,3) B.eq f(3,2)C1 D2答案A解析方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即eq f(log89,log23)eq

6、f(f(lg 9,lg 8),f(lg 3,lg 2)eq f(2lg 3,3lg 2)eq f(lg 2,lg 3)eq f(2,3).方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即eq f(log89,log23)eq f(f(log29,log28),log23)eq f(2log23,3log23)eq f(2,3).(2)计算：eq f(log5r(2)log79,log5f(1,3)log7r(3,4).解原式eq f(log5r(2),log5f(1,3)eq f(log79,log7r(3,4)eq f(1,2)log323log23eq f(3,2).二、对数运算性质的综合

7、运用例2(1)设3a4b36，求eq f(2,a)eq f(1,b)的值；(2)已知2x3y5z，且eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)1，求x，y，z.解(1)方法一由3a4b36，得alog336，blog436，由换底公式得eq f(1,a)log363，eq f(1,b)log364，eq f(2,a)eq f(1,b)2log363log364log36361.方法二由3a4b36，两边取以6为底的对数，得alog63blog64log6362，eq f(2,a)log63，eq f(1,b)eq f(1,2)log64log62，eq f(2,a)eq f(1,b

8、)log63log62log661.(2)令2x3y5zk(k0)，xlog2k，ylog3k，zlog5k，eq f(1,x)logk2，eq f(1,y)logk3，eq f(1,z)logk5，由eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)1，得logk2logk3logk5logk301，k30，xlog2301log215，ylog3301log310，zlog5301log56.反思感悟利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化(2)对于连等式可令其等于k(k0

9、)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解跟踪训练2已知3a5bc，且eq f(1,a)eq f(1,b)2，求c的值解3a5bc，c0，alog3c，blog5c，eq f(1,a)logc3，eq f(1,b)logc5，eq f(1,a)eq f(1,b)logc15.由logc152得c215，即ceq r(15)(负值舍去)三、实际问题中的对数运算例3某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq f(1,3)，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(已知：lg 20.30

10、1 0，lg 30.477 1)()A6 B7 C8 D9答案C解析设至少需要过滤n次，则0.02eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)n0.001，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)neq f(1,20).所以nlg eq f(2,3)lg eq f(1,20)，即n(lg 2lg 3)lg 20，即neq f(lg102,lg 2lg 3)eq f(1lg 2,lg 3lg 2)7.4.又nN，所以n8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求反思感悟关于对数运算在实际问题中的应用(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入

11、，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算跟踪训练3标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近eq f(3361,10 00052)的是(lg 30.477)()A1037 B1036 C1035 D1034答案B解析根据题意，对eq f(3361,10 00052)取常用对数得l

12、geq f(3361,10 00052)lg 3361lg 10 00052361lg 352435.8，则eq f(3361,10 00052)1035.8，选项B中的1036与其最接近1知识清单：(1)换底公式(2)对数的实际应用2方法归纳：换底公式、转化法3常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆1eq f(1,2)log23log34的值为()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C1 D.eq f(3,2)答案D解析原式eq f(1,2)eq f(lg 3,lg 2)eq f(lg 4,lg 3)eq f(1,2)eq f(lg 3,lg 2)eq f(2lg 2,l

13、g 3)eq f(3,2).2已知2x3，log4eq f(8,3)y，则x2y的值为()A3 B8C4 Dlog48答案A解析由2x3得xlog23，x2ylog232log4eq f(8,3)log23eq f(2log2f(8,3),log24)log23(3log22log23)3.3已知lg 2a，lg 3b，则log36等于()A.eq f(ab,a) B.eq f(ab,b)C.eq f(a,ab) D.eq f(b,ab)答案B解析log36eq f(lg 6,lg 3)eq f(lg 2lg 3,lg 3)eq f(ab,b).4已知2a5bM，且eq f(2,a)eq f(

14、1,b)2，则M的值是_答案2eq r(5)解析因为2a5bM，且eq f(2,a)eq f(1,b)2，所以alog2M，blog5M，所以eq f(1,a)logM2，eq f(1,b)logM5，所以eq f(2,a)eq f(1,b)logM4logM5logM202，所以M220，又M0，所以M2eq r(5).1化简得log832的值为()A.eq f(1,2) B2 C4 D.eq f(5,3)答案D解析log832eq f(log232,log28)eq f(log225,log223)eq f(5,3).2log29log34等于()A.eq f(1,4) B.eq f(1,

15、2) C2 D4答案D解析方法一原式eq f(lg 9,lg 2)eq f(lg 4,lg 3)eq f(2lg 32lg 2,lg 2lg 3)4.方法二原式2log23eq f(log24,log23)224.3已知x，y为正实数，则()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x2lg y答案D解析2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy)故选D.4已知正实数a，b，c满足log2alog3blog6c，则()Aabc Bb2acCcab Dc2ab答案C解析由题意，令log2

16、alog3blog6ck，则a2k，b3k，c6k，c6k(23)k2k3kab.5.等于()Alg 3 Blg 3 C.eq f(1,lg 3) Deq f(1,lg 3)答案C解析原式=.6(多选)若实数a，b满足2a5b10，则下列关系正确的有()A.eq f(1,a)eq f(1,b)1 B.eq f(2,a)eq f(1,b)lg 20C.eq f(1,a)eq f(2,b)2 D.eq f(1,a)eq f(2,b)eq f(1,2)答案AB解析由题意知，alog210，blog510，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,log210)eq f(1,log510)lg

17、 2lg 51，故A正确；eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(2,log210)eq f(1,log510)lg 4lg 5lg 20，故B正确；eq f(1,a)eq f(2,b)eq f(1,log210)eq f(2,log510)lg 2lg 25lg 50，故C，D不正确7若ln 3a，则log9e_.答案eq f(1,2a)解析因为ln 3a，则ea3，所以log9eeq f(ln e,ln 9)eq f(1,lnea2)eq f(1,2a).8设log23log36log6mlog4(2m8)，则实数m_.答案4解析左边eq f(ln 3,ln 2)eq f(ln 6,

18、ln 3)eq f(ln m,ln 6)log2mlog4m2，所以m22m8，解得m4或m2(负值舍去)9计算下列各式的值：(1)；(2)(log2125log425log85)(log52log254log1258)解(1)原式log535log550log514log5eq f(3550,14)log55312.(2)方法一原式eq blc(rc)(avs4alco1(log253f(log225,log24)f(log25,log28)eq blc(rc)(avs4alco1(log52f(log54,log525)f(log58,log5125)eq blc(rc)(avs4alco

19、1(3log25f(2log25,2log22)f(log25,3log22)eq blc(rc)(avs4alco1(log52f(2log52,2log55)f(3log52,3log55)eq blc(rc)(avs4alco1(31f(1,3)log253log5213log25eq f(log22,log25)13.方法二原式eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 125,lg 2)f(lg 25,lg 4)f(lg 5,lg 8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 5)f(lg 4,lg 25)f(lg 8,lg 125)eq blc(rc)(

20、avs4alco1(f(3lg 5,lg 2)f(2lg 5,2lg 2)f(lg 5,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 5)f(2lg 2,2lg 5)f(3lg 2,3lg 5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(13lg 5,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3lg 2,lg 5)13.10设xaybzc，且eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，求证：zxy.证明设xaybzck，k0，则alogxk，blogyk，clogzk.因为eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，所以eq

21、 f(1,logxk)eq f(1,logyk)eq f(1,logzk)，即logkxlogkylogkz.所以logk(xy)logkz，即zxy.11设log83p，log35q，则lg 5等于()Ap2q2 B.eq f(1,5)(3p2q)C.eq f(3pq,13pq) Dpq答案C解析log83eq f(lg 3,lg 8)eq f(lg 3,3lg 2)p，lg 33plg 2.log35eq f(lg 5,lg 3)q，lg 5qlg 33pqlg 23pq(1lg 5)，lg 5eq f(3pq,13pq).12若eq f(1,m)log35，则5m5m的值为()A.eq f(8,3) B.eq f(10,3) C.eq f(24,5) D.eq f(26,5)答案B解析由于eq f(1,m)log35，所以mlog53，.13根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36230.则下列各数中与eq f(M,N)最接近的是()(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)A.eq f(1,10) B.eq f(1,100)C.eq f(1,1 000) D.eq f(1,10 000)答案B解析汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂