安徽省黄山市2020届高三数学第二次质量检测试题文(含解析)

1、黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测数学（文科）试题注意事项：答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答第n卷时，必须使用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字迹工整/笔记清晰.做题图可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出， 确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚 . 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效

2、，在试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交 参考公式：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的设集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求定义域得集合 A,再解分式不等式得集合B,最后根据补集定义得结果.【详解】因为，所以，选A.【点睛】本题考查指数函数定义域、解分式不等式以及集合补集定义，考查基本求解能力, 属基础题.已知复数 z 满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为(A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】 A【解析】【分析】

3、化为的形式，由此确定所在象限 .【详解】依题意，对应点在第一象限，故选 A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题 .设且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 D【解析】【分析】根据对数函数单调性化简不等式，再判断充要关系【详解】因为 ,所以当时， ; 当时， ;因此“”是“”的既不充分也不必要条件，选 D.【点睛】本题考查对数函数单调性以及充要关系定义，考查基本分析判断与化解能力，属基础题.4.2020 年，晓文同学参加工作月工资为 7000元，各种用途占比统计如下面的条形图 . 后

4、来晓 文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图. 已知目前的月就医费比刚参加工作时少 200 元，则目前晓文同学的月工资为 ( )A. 7000B. 7500C. 8500D. 9500【答案】 C【解析】【分析】 根据两次就医费关系列方程，解得结果【详解】参加工作就医费为， 设目前晓文同学的月工资为，则目前的就医费为， 因此选 C.【点睛】本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题 .已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B 两点，则 l 斜率的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】 根据双曲线渐近线的斜率，求得直线斜

5、率的取值范围 .【详解】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点 . 当直线斜率大 于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；点直线斜率小于零时，要与双曲线左支 交于两点，则需斜率 . 故选 B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和双曲线交点问题，所以基础题 .已知向量满足，且，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】 D【解析】【分析】 先根据向量垂直得，再根据向量投影公式得结果 .【详解】因为，所以 因此在方向上的投影为，选 D.【点睛】本题考查向量垂直以及向量投影，考查基本分析求解能力，属基础题 .在九章算术中，将四个面都是直角三角形的

6、四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面， ，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】 作出异面直线所成的角，利用余弦定理计算出这个角的余弦值 .【详解】设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线 所成的角 . 根据鳖臑的几何性质可知 . 故，在三角形中，由余弦定理得，故选 C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的余弦值的求法，考查空间想象能力，考查中国 古典数学文化，属于基础题 .已知部分图象如图，则的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】 先根据图象确定的一个对称中心，再根据周期得

7、所有对称中心，最后对照选项作判断 . 【详解】由图得为的一个对称中心，因为 , 从而的对称中心为 , 当时为，选 A. 【点睛】本题考查根据图象求函数对称中心以及周期，考查基本分析求解能力，属基础题程序框图如图，若输入的，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】 执行循环，寻找规律，最后求和得结果 .【详解】执行循环，得，选 C.【点睛】本题考查根据流程图求输出结果，考查基本分析求解能力，属基础题 .已知数列和的前项和分别为和，且， ，若对任意的，恒成立，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B【解析】【分析】 先根据和项与通项关系得数列递推关

8、系式，根据等差数列定义以及通项公式得再根据裂项相 消法求，最后根据最值得结果 .【详解】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以 , 因为，所以 ,因此， ,从而 , 即的最小值为，选 B.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求 解能力，属中档题 .一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为 1的等腰直角三角形， 则此空间几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】先还原几何体，再根据各表面形状求表面积 .【详解】几何体为如图四面体，其中所以表面积为，选 D.【点睛】本题考查三视图以及四面体表面积，考查空间想

9、象能力与综合分析求解能力，属中 档题.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数 a的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时， ，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选 B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题 二、填空题（将答案填在答题纸上）已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆；以右顶点为圆心，椭圆的长轴长为 直径作圆，则圆与圆的公共弦长为 .【答案】【解析】【分析】 先根据条件得圆与圆的方程，再联立方程组解得

10、交点坐标，即得结果 . 【详解】由题意得圆： ，圆：， 相减得，因此圆与圆的公共弦长为【点睛】本题考查圆方程与公共弦长，考查基本分析求解能力，属基本题 .定义在上的函数满足，若，且，则 .【答案】 4【解析】【分析】 先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值 . 【详解】依题意，故为奇函数 . 故，所以 .【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题 .若整数x, y满足不等式组，则的最小值为 【答案】【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点 . 由图可知，在点处，目标

11、函数 取得最小值为 .【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为 整数，属于基础题 .满足，则面积的最大值为 .【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得，设 AB 边上的高再根据条件得之间等量关系，最后根据三角形面积公式以及 基本不等式求最值 .【详解】因为，所以由正弦定理得，设 AB 边上的高则 , 因为，所以 , 因为, 当且仅当时取等号， 所以面积，即面积的最大值为 【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求最值 . ，考查综合分析求解能 力，属难题 .三、解答题 (本大题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . )已知数

12、列的前项和， .(I)求数列的通项公式；(n)令，数列的前 n项和为，求证：对于任意的，都有.【答案】(I) () . (n)见证明【解析】【分析】(I)根据和项与通项关系可得，(n)根据裂项相消法求，即证得结果.【详解】(I)因为 ；当时，由 - 得，故又因为适合上式，所以() .(n)由(I)知，所以.【点睛】本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形（I）求证：平面；（n）若，求点到平面的距离.【答案】（I）见证明（n）【解析】【分析】（I）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（n）根据等

13、体积法求高，即得结果 .【详解】（I）连接，交于点，再连接，由已知得，四边形为正方形，为的中点，是的中点，又平面，平面，平面.（n）v在直三棱柱中，平面平面，且为它们的交线，又，.平面，又平面，且.同理可得，过作，则面，且 .设到平面的距离为 ， 由等体积法可得：，即，即.即点到平面的距离为 .【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题.19.2020 年全国“两会”， 即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商 会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2020 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召开 . 为了了解哪些人更关注“两会”，

14、某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，把年龄落在区间 15， 35）和35 ， 75内的人分别 称为“青少年人”和“中老年人” .经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为 19:21 其中“青少年人”中有 40人关注“两会” ， “中老年人”中关注“两会”和不关注两会”的人数之比是 2:1.（I）求图中的值；（H）现采用分层抽样在25 , 35）和45 , 55）中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2 人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少 ？（川）根据已知条件，完成下面的2X2列联表，并根据此统计结果判断 ：能否有99.9%

15、的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？关注不关注合计青少年人中老年人合计【答案】（I）（H）（川）见解析【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图列方程，解得结果，（n）根据枚举法以及古典概型概率公式求结果，（川）先根据条件列 2X2列联表，再根据公式求卡方，最后对照数据作判断【详解】（I）由题意得，解得（n）由题意得在25,35）中抽取6人，记为，在45,55）中抽取2人，记为.则从8人中任取2人的全部基本事件（共28种）列举如下：记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是，则 .（川）2X2列联表如下：关注不关注合计青少年人405595中老年人7035105合计11090200

16、所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.【点睛】本题考查频率分布直方图、古典概型概率以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题在中，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系(I)求动点的轨迹的方程 ；(n)已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线关于直线对称，求面积的取 值范围.【答案】(I)； (n).【解析】【分析】(I)利用正弦定理化简已知条件，根据椭圆的定义求得轨迹方程.(II )设出直线方程为,代入的轨迹方程，写出判别式和韦达定理，根据直线关于轴对称，列方程，化简后求得直线 过，求得的表达式，并利用单调性求得面积的取值范围【详解】

17、解：(I)由得：，由正弦定理所以点C的轨迹是：以为焦点的椭圆 (除轴上的点),其中，则，故轨迹的轨迹方程为.(n)由题，由题可知，直线的斜率存在，设的方程为，将直线的方程代入轨迹的方程得：.由得，且直线关于轴对称，艮卩.化简得：，,得那么直线过点，所以面积:设,显然，S在上单调递减,【点睛】本小题主要考查正弦定理，考查椭圆的定义和标准方程的求法，考查三角形面积公 式，综合性较强，属于难题 .已知函数，直线： .（I）设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若在上存在极值，求的取值范围；（n）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（川）试确定曲线与直线的交点个数，

18、并说明理由【答案】，（川）见解析【解析】【分析】（I）先根据斜率公式列再求导数及其零点，最后根据条件列不等式，解得结果，（n）设切点，根据导数几何意义得斜率，再根据点斜式得切线方程，最后根据切线过（0， -1 ）点列方程，解得切点坐标，即得的值；（川）先变量分离，转化为研究函数图象，利用导数研究其单调性，再结合函数图象确定交点个数 .【详解】（i）t,.，解得.由题意得：，解得 .（n）假设存在实数，使得直线是曲线的切线，令切点，切线的斜率切线的方程为，又切线过（0,-1 ）点，解得，（川）由题意，令，得令, ,由,解得 在（ 0,1 ）上单调递增,在上单调递减, , 又时,；时,时,只有一个交点；时,有两个交点； 时，没有交点 . 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究函数极值以及零点，考查综合分析求解能力， 属难题 .选修 4 4 ：坐标系与参数方程 设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的参数方 程为(是参数) ，直线的极坐标方程为(I)求曲线的普通方程和直线的参数方程；(n)设点，若直线与曲线相交于两