薛老师材料物理学第5.1-2混沌

1、2022/7/28材料物理学第5章讲稿1一 线性系统与非线性系统线性系统的特点：系统的运动方程确定之后，运动的最终状态决定其初条件，将来是必然的，牛顿力学、薛定谔方程等都是线性系统的运动方程。非线性系统的特点：没有解析方程，对初始条件敏感;叠加原理不成立。20世纪60年代后发现了大量的非线性系统主要表现在三个方面：混沌理论、耗散结构系统和分形理论。5.1.2 混 沌2022/7/28材料物理学第5章讲稿2二 混沌现象逻辑斯谛差分方程 logistical differental equation xn+1=xn(1-xn) x 0,1 0 4 当 = 4时出现混沌，表现出对初始条件的敏感性。2

2、022/7/28材料物理学第5章讲稿32. Logical方程的解4，x0=0.1, x0=0.10000001X2=0.9216, X2=0.9216000358. . X52=0.634955928, X52=0. 2022/7/28材料物理学第5章讲稿43. 倍周期分叉当3前是一种稳定态。xn=xn+1=C0。=3出现二个分叉，Xn,xn+1交替为稳定的两个常数。=3.449后出现四个分叉。=4后出现主许多分叉，系统进进入混沌。2022/7/28材料物理学第5章讲稿54. 相空间相空间：坐标和速度的空间2022/7/28材料物理学第5章讲稿65.奇怪 吸引子吸引子 ： 是系统的最后归宿（

3、终态集）在相空间中用点或点集表示，经典理论的吸引子有不动点、极限环和二维环面。吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。奇怪吸引子：对有耗散性的混沌系统,其长期行为稳定在相空间的一个点集上，这个点集的运动是极不稳定的，称奇怪吸引子。而奇异吸引子则通过诱发系统的活力,使其变为非预设模式,从而创造了不可预测性。 2022/7/28材料物理学第5章讲稿7三 混沌1.两种随机性（1）外在随机性由于受到外界诸因素的影响而产生。人们对其中的某些因素的作用的原因通常是不清楚的。系统在任何时刻即使是很短时间内其状态也是不确定的，因而是不可预报的。只能对系统进行统计描述，给出概率性的分布规律。2022/7/

4、28材料物理学第5章讲稿8系统在短期内按确定规律演化，且可以有预报的期限，只是在足够长的时间后系统才变得不确定。内在随机性是指和系统的足够长的时间后的行为。内在随机性存在于大量的保守系统与耗散系统中，它是在完全确定论的方程中不需要任何附加随机因素亦可出现类似的随机行为，导致混沌的出现。（2）内在随机性2022/7/28材料物理学第5章讲稿92. 什么是混沌？混沌一般指在确定性的动力学系统的“无规则的运动”或“不确定性行为”。这些“无规则的运动”或“不确定性行为”集中表现于非线性动力学系统运动规律所具有的内存随机性。在非线性系统中，确定性系统可能呈现长期行为的不可预测性和对初始值的敏感性，确定系

5、统中的内在随机性和蝴蝶效应。2022/7/28材料物理学第5章讲稿10(1)内在随机性。描述混沌系统的演化方程确定,但演化行为不确定;系统短期行为确定,但长期行为不确定。 (2)对初值的敏感依赖性。 “蝴蝶效应”。系统对初值敏感性依赖的根源仍然在于系统内的非线性相互作用,对于一维迭代系统就表现为非线性迭代方程。 (3)奇异性。从整体上看系统稳定;从局部上看系统不稳定。 2.混沌的三要素：2022/7/28材料物理学第5章讲稿113. 混沌说明了什么？世界本质是非线性的，线性的只是极少数。一些线性的系统实际上是简化的。自然界只有一个，但描述它有两条途径：决定论描述和概率论描述。牛顿力学是决定论的代表：已知系统的运动方程和初始条件就可决定今后的状态。统计物理和量子力学是概率论的代表：它们对大量偶然随机事件作统计性描述。决定论与概率论是两种对立描述自然界的途径。2022/7/28材料物理学第5章讲稿12混沌理论认为在完全决定论系统中可以出现随机行为，使复杂系统的理论开始建立在更符合客观实际的