高中数学课程内容主线运算主线解读

1、高中数学课程内容主线（三）一 运算主线知识结构框图:对数学最朴实的理解是：数学就是 算，即 运算“。运算”包括两方面，一 个是 运算的对象”，一个是 运算的规律。数“、字母”（代数式）、指数”、对 数”、三角函数”、向量”等等都是运算对象。 结合律”、“a+a）=0（即加一项， 减一项）、交换律”、各种 分配律”等等都是运算规律。 运算”几乎渗透到数学 的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数 学课程中，发挥着不可替代的作用。.对运算的认识运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条 重要线索。从小学开始，学生接触的运算在不断地扩充，从整数到分

2、数，从正数 到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式。数的运算，字母运算， 向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等，都是数学运算。从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。数的运算可以用来刻画具体 问题中的数量关系，解决一个一个有关数量的具体问题。 而字母运算则可以刻画 蕴涵规律的一类问题，解决一类问题。例如，a+（b+c） =（a+ b）+c ,就刻画了数运算的一个规律一一结合律。同时，字母运算也是表达函数关系、刻画普遍规 律的工具。从数运算进入字母运算，使学生数学学习的一次质变，学生对运算的 理解也会产生一个跳跃。从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。运算是一类映射，

3、 在代数中，最常见的运算是这样的映射 Am At A,它是二元映射，实数的加法 和乘法就是二元映射，但是，并不是二元映射都是运算，实际上，大部分二元映 射不是运算，只有满足规律的二元映射才可以成为运算，即代数运算。数的运算、 多项式运算都是Am At A型的代数运算，例如，就加法运算来说，它们满足结 合律，有零元，a+(a)=0,还满足分配率。在初中阶段，所有的数学内容都 离不开运算，例如，代数基本公式，因式分解，方程，不等式，函数等。向量是 可以“算”的，向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得 到第三个向量，也满足结合律，有零元，a十(-手)=0,所以向量的加法、减法运算是

4、属于Am At A型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向 量通过数乘运算得到一个向量，它满足一系列运算规则，例如，结合律： (ab) =a(b),分配率：a( + P) =aa+aP ,等。所以，数与向量的数乘也是 一种运算，是属于AmBt B型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向量通 过数量及运算得到一个数，同样，它也满足一系列的运算规则，例如，分配率： vd+5)=v.or+v5 ,等，所以向量的数量积也是一种运算，是属于 am At B型的代数运算。向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代 数运算。与数的运算相比，向量的运算扩充了运算对象。向量运算更加清晰地展 示了三

5、种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律，这对于学生进一步理解其他数学运算、 增强学生的 运算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量运算，是学生数学学习的又一 次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。指数运算、对数运算、三角运算、导数运算等，从形式上看，它们都是 Am At A型的映射，但是，它们满足一些运算规律，例如，指数满足：ax4y =ax ay等规律。通常把具有规律的映射称为“算子”,又称之为一元运算。 例如，导数运算也是一种运算，它满足两个函数和的导函数等于先求导再求和， 这是运算规律，当然，它还满足其他的规律。这是对运算的认识的有一

6、次飞跃。在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学 生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统 中的作用，奠定了基础。运算时贯穿于整个数学课程的主线之一。用这种思想认识高中的数学对提 高数学素养，提高解决问题的能力是非常有用的。.运算的作用(1)运算与推理运算本身是代数研究的重要内容， 项武义教授认为代数问题就是运用运算和 运算法则解决问题，这样概括是有道理的。某种意义上来说，在中学阶段，解方 程问题，解不等式问题，一些函数性质的研究，等等，都是代数问题。代数问题 的基本特点是不仅要证明在什么条件下“解”存在，而且，要把“解”具体的构 造出来，

7、这是一种构造证明，运算和运算规律是构成代数推理的基本要素。 例如， 讨论二元一次方程组时，不仅要证明在什么条件下二元一次方程组无解、有解， 而且，还会把“解”具体地构造出来；又如，利用向量证明问题时，可以把要证 明的问题结果“算”出来。在运算过程中，每一步运算都要依据运算规律，运算规律的作用类似于几何 证明中的公理，它是代数推理的前提和基本依据。 运算过程本身就是代数推理的 过程。因此，运算与推理有着密切的联系，可以说，运算也是一种推理，运算可 以“证明问题”，这是高中数学学习需要“留给学生”的最重要的思想，因此， 运算的学习对于学生的逻辑推理能力同样具有重要作用。(2)运算与算法在一定意义下

8、，算法是通过计算机解决问题的，算法有计算机实现，构成算法的基本要素是运算。计算机能完成的运算主要包括：算术运算(+5),逻辑运算(与、或、非等)，关系运算( ,=,三之产等)，函数运算，等。因此，运 算时算法的基本要素，算法的设计要以运算和运算律为依据。使用各种运算和运 算规律对于理解算法、选择算法、优化算法具有重要作用。(3)运算与恒等变形在解决数学问题的过程中，需要进行各种工各样的包等变形，把复杂问题变 成简单问题，例如，在解决一元二次方程时，我们通过配方法，实现了降幕的目的，把一元二次方程变成一元一次方程， 配方法是通过恒等变形完成的， 这些包 等变形是通过反复利用运算规律实现的。 又如

9、，在三角函数等内容的学习中，无 论是证明，还是求解，都是在运用各种三角函数基本运算法则进行恒等变形，通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题。因此，运算和运算法则的学习，对于理解恒等变形的原理，提高恒等变形的能力是非常重要的。3.运算内容的设计在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算： 指数运算；对数 运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运 算；等。高中数学课程在必修4和选修21中安排了平面向量与空间向量的内容； 在选修1-2和选修2-2中安排了熟悉扩充与复数的引入的内容；在必修的指数函 数、对数函数、三角函数中也安排了有关的运算，在选修 1、

10、选修2中安排了导 数的运算。保持运算的封闭和保持基本运算法则成立是熟悉扩充的动力之一。例如，为了保持除法的封闭性，促使我们把整数拓展到分数；为了保持减法的封闭性，促 使我们把正数拓展到负数；保持开方等运算的封闭性是促使实数系扩充到复数系 的原因之一。每进行一次数的拓展，我们都需要讨论：在新的数中，原有的数的 运算规律在新的数中是否保持？例如， 从正数拓展到负数，为了保持乘法对加法 的分配率成立，我们需要定义：(1/1 = 1, 1m(1) = 1, (_1)M(1) = 1。复数保持实数的运算规律。但是，实数是有序的，复数是无序的。在指数、对数、三角函数等内容中，蕴含着一些新的运算法则。掌握这

11、些特 殊的运算规律，是理解相关数学概念的基础。指数运算满足的最基本的运算规律是ax* =ax ay ,若用f(x)表示指数函数，即f(x)=ax,则上述性质可表示为f (x + y) = f (x) f (y)。这一运算规律表 明指数运算把加法运算变为乘法运算， 这正是指数函数增长快的原因。指数函数 的性质，特别是指数函数的增长性质就是由这一运算规律决定的。 指数运算的运x算律还有：(ax)y = axy ; (a，b)x = ax bx;(9)x =亘？。(其中，a0, a#1)b b对数运算满足的最基本的运算规律是log a(x ,y) = log a x + log a y。若用g(x)

12、表示对数函数，即g(x) =log a x ,则上述性质可表示为g(x ,y) = g(x)+ g(y)。这一运算规律表明对数运算把乘法运算变为加法运算，这正是指数函数增长慢的原 因。对数函数的性质，特别是对数函数的增长性质就是由这一运算规律决定的。指数运算的运算律还有：x.xloga(-) =log a x -log a y ; log a a =x,(其中，a 0,a #1) y运算规律loga ax = x表明了对数运算与指数运算的关系,极对数运算与指数运算互为逆运算。因此，指数函数与对数函数互为反函数。三角运算，以正弦运算为例，它所满足的基本运算律是：sin(x + y) =sin xcosy +cosx