高中数学解三角形知识点汇总及典型例题1

1、解三角形的必备知识和典型例题及详解b、c分别表示A、B、C的对边。-WORDB式-可编辑-、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系:三边之间的关系:(1)锐角之间的关系:(2)边角之间的关系:(3)cosOc在 ABC中，A、B、C为其内角,a、ba的两倍bca1acsin B ；a3c aha、hb、hc分别表示2 =2 =.三角形的面积公式：11BA= sin B =b c a2 +2 2 cos ；c bc Asin A sin B sin C2= 2+ 2 2 cosc2.斜三角形中各元素间的关系:2R ( R为外接圆半径)在 ABC 中,C= 90bhb=21(1)三角形内角和：

2、A+ B + C=兀。a sin A= cos B=,absin C = bcsin A = 222AB= c, AC = b, BC = a。1chc (2(锐角三角函数定义)b, tan aJ ba2+ b2=c2o (勾股定理)(1) S = ah a=A+ B = 90 ;2+ 2 2 cos ob ab Ca、b、c上的高)；(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边) A求其他未知元素的问题叫做

3、解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平 分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型:(1)两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角 .-WORDB式-可编辑-第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。(1)角的变换因为在& ABC 中，A+B+C=兀*;所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A

4、+B)= tanC。sin cos , cos B sin ； 2222(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.求解三角形应用题的一般步骤：(1)分析：分析题意，弄清已知和所求；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，弁画出示意图；(3)求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1 :正、余弦定理 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 例 1. ( 1)在 ABC 中，已知 A 32.0 0 , B 81.8 0 , a

5、42.9 cm,解三角形； As.0(2)在 ABC中，已知a 20 cm, b 28 cm, A 400 ,解三角形(角度精确到1 ,边长精确到1cm)。.一M .解：(1)根据三角形内角和定理，C 180 0 (A B) 180 0(32.0 0 81.8 0) 66.2 0 ;asin B 42.9sin81.8 0 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 根据正弦定理，；b sin A sin32.0 080.1(cm)asinC 42.9sin66.2 0根据正弦7H 理c sin A sin32.0 074.1(cm).0.8999.(40

6、0 64 0 ) 760,(2)根据正弦定理，sin B bsin A 28sin400二- aar 20因为 00 V B v 1800，所以 B 640 ,或 B 1160.当 B 64 0 时， C 1800 (A B) 180 0-WORDB式-可编辑-c asin C sin A20sin76 0 30(cm).-0sin40当B 1160时,C 1800 (A B)000180 (40116 )0 asinC24 , c sin A20sin24 0013(cm).sin40点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形;(2)对于解三角形中的

7、复杂运算可使用计算器题型2:三角形唯积ABC工例2.在sin A cos A解法一：先解三角方程，求出角2，AC 2 , AB 3，求tan A的值和 ABC的面积。2A的值。sin A cos A 2 cos(A45 )1 cos(A 45 ).A 45105.tan A tan(45160 ) 1sinA sin105sin(45 60 ) sin45 cos60 cos45 sin60SABC1ACAB sin A 12解;二：由 sin Acos A计算它的对偶关系式sin A cos A的值。sin A cos A2(sin A cos A)2sin Acos A另解(sin 2As

8、in A 0,cos A 0.1)2-WORDB式-可编辑-(sin A cos A) 21 2sin A cos A 32V * v6sin A cos A2 + 得 sin A .4 2 164一得从而tan AcosA 2 L f 厂4一=4 工sin A 264cosA 4262 3以下解法略去点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3.在 ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知 a、b、c成等比数列，且a2c2=ac

9、 bc,求/ A的大小及b sin B的值。分析：因给出的是2b由b2=ac可变形为c解法一：: a、Eca、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理。二a,再用正弦定理可求b sin B的值。cc 成等比数列，b2=act又 a2 c2=acbc,b2+c2 a2=bcosin = b sin A，= b2=,Baca在 ABC中，由余弦定理得：./ A=60。在4 中，由正弦定理得 ABC/ A=60 ,b sin B b 2 sin 60cac解法二：在 ABC中，b 2 c 2 a 2 bccos A=2bc 2bc3=sin60 =2-WORDB 式-

10、由面积公式得bcsin A= acsin B。22; b2=ac, /b sin BA=60,bcsin A=b2sin B。=sin评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4:正、余弦定理判断三角形形状例4.在 ABC中，若2cos Bsin A= sinC ,则4 ABC的形状一定是（A.等腰直角三角形B,直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin Acos B= sin C =sin ( A+ B)=sinAcosB+cosAsinB. sin ( A-B) = 0, A= B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质

11、,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5:三角形中求值问题例5. ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cos AB2cosC取得最大值，弁求出这个最大值。B+C兀B+C解析：由 A+B+C=兀，得-2 - = 2cos 2AO=sin 2B+CA1 2cosA+2cos2 =cosA+2sin 2 =1 2sin2 + 2sinB+C2= 2(sin 2 2)+ 2；当 sin 2 =2,即 A= 3 时,cosA+2cos2取得最大值为2。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为三于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的 性质求得结果。题型6:正余弦定

12、理的实际应用例6. （ 2009辽宁卷文，理）如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为750300 ,于水面c处测得B点和D点的仰角均为 600 ,AC=0.1km 。试探究图中 B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求-WORDB式-可编辑-62.449 )B, D的距离（计算结果精确到0.01km,2 1.414 ,解：在 ABC 中，/ DAC=30 , /ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/ BCD=180 60 60 =60 ,在 ABC中,故CB是 CAD底边AD的

13、中垂线，所以 BD=BA J V TOC o 1-5 h z ABACACsin603 26sin BCA Sin AB C 即 AB= sin 15203 260.33km o因此，BD= 20故B, D的距离约为 0.33km 。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低， 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中 基本的数量关系即可过关。三、思维总结.解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C）,由A+B + C =兀求C,由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c

14、）,应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C =兀，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A）,应用正弦定理求 B,由A+B + C =兀求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由A+B+C =兀，求角C。2.三角学中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A ,3.两内角与其正弦值：在 ABC中，A 二B sin A sin B -4.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”O J三、课后跟踪训练

15、1. （ 2010上海文数18.）若 ABC的三个内角满足sin A : sin B : sin C 5:11:13 ，则 ABC （）(D)5:11:13解析由余弦定理得1153bcABC273sin BA=(150A由正弦定理得c23b2R2R3bc23bc32bc2bc2bc2余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。cos Ba=15,b=10,A=603A633D15aasin Asin603B(20104sinC=131sin Asin Asin 60260aC72 a所以cosA=【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦若 a=1,b=【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应

16、用A,B,C的对边分别是sin C 2A+C=2B 及 A+ B+ C=18022180 30A 303 , A+C=2Ba,b,c一定是锐角三角形 一定是钝角三角形B A【解析】根据正弦定理6 ,故D正确一定是直角三角形 .,能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2010天津理数及正弦定理得 a:b:c=5:11:130,所以角c为钝角60 90 , sin C sin 90 1180 A B3001200c 2 3b600故B为锐角，所以cos1 sin 2 Bb2B 213 2sin A : sin B : sin CB=60 .由正弦定理知3,又因为b1122+c2010湖北理数）3.在A

17、 ABC2 2a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C所对的边23bc c10解得sin Bsin B0所以A=30b/口可得sin B5 2 cos c2-WORDB式-可编辑-5 （ 2009湖南卷文）_在锂用-ABC % BC1, B2 A,AC则的值等于的取值范围为解析.由母弦定理得cos AAC sin 2BCsinAC2cosAC cos2.由锐角二ABC 得 09018039030故3045cosAC2cos(2,3).6. ( 2009全国卷I理)在 ABC中,内角A、B、C的对边长分别为c2 2b ,且 sin AcosC 3cos Asin C,分析：此题事实上比较简单

18、，但考生反应不知从何入手.对已知条件a2-c2 2 b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件（2）sin A cosC _ 3cos Asin C,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分解法：在 ABC中则sin A cosC 3cos A sin C,由正弦定理及余弦定理a2b2 c2b2c2 a2（角化边）2ab3 2bc化简弁整理得:b 4或b 0（舍）解得7.在 ABC中，已知A、B、求c,2(a2c*) b2 .又由已知a2c2 2b 4bb2C成等差数列,A tan2C tan23 tan t

19、an 的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又A + B+ C =180所以A +C= 120A C从而A C=60 ，故 tan 2MF3 .由两角和的正切公式，得Atan2tanA tan2C tan-WORDB式-可编辑-所以tan tan3 3 tanA tan CAtantan3 tan tan点评：在三角函数求值问题中的解题思路,A同时结合三角变换公式的逆用；般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解,B为锐角，角 A、B、C所对的边分别为 a、 b、c,且b、 c的值。8. ( 2009 用H卷文)在 二一ABC 中，A、sin A，sin B10510B的值；（II ）若a解（

20、I）丁 A、 B为锐角，sin A5,sin B5cos A 1 sin2 A 255,cos B =%i1010 Vsin2 B 3 1010cos(A B) cos A cos B sin A sin B3 105V V 710105102. A B4(II )由C 3 sin C4由asin Asin Bc得sin C5a 10b2c ,即 a 2b,c5b2b ba = 2, c9. （ 2010陵西文赘17，（本小题满分一 12 分)在 ABC中，已知AD=10,AC=14,DC=6 解在 ADC中， 由余弦定理得B=45 ,D是BC边上的一点, ,求AB的长.AD=10,AC=14

21、,DC=6,cosAD2DC 2 AC2 2AD DCADC=120=100 36 1962 10 6在 ABD 中,AD=10,ADB=60B=45ADB=60-WORDB式-可编辑-由正弦定理春sinABADB1ADsin B一 AB=AD sin ADBsin B10sin 60sin 4531025 62210. （ 2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在ABC中7a、b、c分前为内角*A、B、C的对边,且 2asin A(2 bc)sin B (2cb)sin C（I）求A的大小;（n）若 sin Bsin C 1,试判断ABC的形忧.解：（i）由已知,根据正弦定理得2a 2(

22、2b c)b (2c b)c即 a2b2bc盅余弦定理得故1cos A =2a2 b 2 c22bc cosAsin2 a 用 sin2 B. 2sinC sin BsinC.又 sin B sinsin C2因为 0 B90 ,0 C 90故B C11. ( 2010辽宁理数)在 ABC 中，a, b, c所以(17)Abc是等腰的钝角三角形。12分)分别为内角A, B, C 的对边，且2asin A (2a c)sin B (2c b)sin C.（I ）求A的大小；（n）求sin B sin C的最大值解：（I ）由已知，根据正弦定理得2a2 (2b c)b (2c b)c即 a2b2

23、c2bc由余弦定理得a2b2c2 2bc cosA故 cos A1,A=120,6分2（n）由（i）得:sin B sin C sin B sin(60B)10-WORDB式-可编辑-1sinBB)有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面积 S可由以下公式求得:3cosB22sin(60故当B=30 时，sinB+sinC取得最大值1。补充:海伦公式:而公式里的 p为半周长（周长的一半）：基本关系转化:倒数关系:tall A dDiiimaCOSrtit,一人una sin pc。31ns co i OS0 + sinn sinew=Hanti tanpmiwflL-lanrt tanp

24、 tan( - tan 6coin cot D-WORDB式-可编辑-cotficotp i 1“=电廨 BljtoQpyHOI。si n 尸 CQBTWCQt，sia|r i n n sinp sin iIB CCIfl C0bSQM) i . g iiMi 的40Vp = r sin僧*410尸” L -a 】r,一AMBS1H= -|sin (C+f)Bin(0-p) ：ib0110001901+0011L. 一 i. 事 lABl p a sC0S(tt4HOi(fl -伽 倍角公式 4二倍角7 1书 =坪 fy”,三倍角 , 3sina-4sinA3aI -tair(1=sin(a+2a)12-WORDB式-可编辑-=sin2acosa+cos2asina=2sina ( 1-sinA2a)+( 1-2sinA2a)sina =3sina-4sinA3a cos3a f 4cosA3a -3cosa=cos (2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosA2a-1 ) cosa-2 ( 1-cosA2a)cosa=