高中数学好题速递400题第201-250题,版,含答案解析

1、好题速递201题解析几何模块4.已知曲线C的方程一+寸=1, A(-2,0),存在一定点B(b,o)(bw-2)和常数4,对曲线C上的任意一点M(x,y),都有|MA| = 4MB|成立，则点P(b到直线 （m+ n）x + ny + 2n + 2m = 0的最大距离为解法一：由 |MA| = 4MB| 得（x + Zy + yljx bf + y2W（l2-l）x2+（-l）y2-（2b22+4）x = 4-A2b22+4 = 0故“4-纪 b?, 将 ba? = 2 代入 4 /b =万1 得 2b2 + 5b + 2 = 0 ,= 4=2;=12A2-l线(m+n又直线(ill + n)

2、x + ny + 211 + 2m = 0恒过定点(-2,0),所以由几何性质知点 )x+ ny + 2ii + 2m= 0的最大距离为点(-2,0)与P ,2 j的距离为二、2 )2解法二：作为小题，由知是阿氏圆轨迹，故取圆CV + yl直径上的两个点(一1,0%(1,0),即可得 言 二1-b=4,解得.b = L, 4=22好题速递202题解析几何模块5.已知M是x?=8y的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PM| = m|PN|,当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 解：作PPUMPL由抛物线定义|PP = |PN.1 PN

3、 PPl其中 6 = NMPP,=NNMPPM =mPN = = !；=cos0.11 m PM PM要使m取得最小值，即cos6最小,此时MP是抛物线的切线.即6=NNMP最大值，即NPMP=F-NMPP最小,没MP的方程为丫=人-2 ,与 X: =8y联立得 x2 -8(kx-2) = 0因为相切，故 = 64内-64 = 0,解得k = l故P(4,2), 2a = |PM|-|PN| = 4V2-4由 2c = 4 ,得 e = y/z +1好题速递203题bw解析几何模块6.已知斜率为1的直线1过双曲线M-E = l(a0,b0)的左焦点F,且与双曲线左、右支分别交于AB两点，若A是

4、线段BF的中点，则双曲线的离心率 为解：由题意知2yl = y?* _y _1a3- =(b2 - a2 )y2 - 2b2cy+b4 = 0 x = y- c2b-c 2% + 为=/5-=Y1 b-a-所以萨天、所以c2 = 18a2=e = 30好题速递204题解析几何模块7.已知点P是双曲线-4=l(aD,b0)上的动点，耳已是其左、右焦 C - V -|OP|点，O坐标原点，若粤华i的最大值是京，则此双曲线的离心率是 解：设pFj = m,|PF2| = n 9 则 2(m2 +n2 )= 4OP2 +FjF22 =m2 +n2 = 2OP2 +2c2又 m-n = 2a ,所以 n

5、i? - 2mn + n2 = 4a3所以 2mn = 2Op2+2(：2-4a2 (m+n)2 = 2OPJ + 2c2 + 2OP2 + 2c2 - 4a2 = 4OP2 +4所以但把丫=4+空I OP ） OP2所以吧巴的最大值在OP = a时取到，所以4 +q=5 OPa-所以2b2 =炉，即。=渔0好题速递205题解析几何模块8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-l）+（y-l，=9,直线l:y = kx+3与圆C相交于AB两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与 圆C总有公共点，则实数k的取值范闱是.解：两圆有公共点的充要条件是1WCM05,而CMS5恒成立，

6、故只要时两圆必有公共点.由平面几何知识可知，为点C到直线1的距离d,所以d =华工1之1, 收+1解得kN-24好题速递206题解析几何模块9.己知点A（1-i】l0），B（1 + i以0）,若圆C及 + y-Bx-gy+B公。上存在一点P,使得PAP = O,则m的最大值为解：由无:同=0得P在以AB中点M（l,0）为圆心，AR把为半径的圆上，所以P的轨迹方程为 2（x-l）2 + y2=m2,所以圆M的半径为同，又由P在圆C , CY + V-Bx-gy+blnO 的圆心 C（4,4）,半径为1,当圆M与圆C内切时，|MP|最大为|MC| + |CP| = 5 + 1 = 6好题速递207

7、题立体几何模块1.如图，在正方体ABCD-A6GD1中，E是棱 CG的中点，F是侧面6BCC1上的动点，并且AF”平面 AED一则动点F的轨迹是（）A.圆 B,椭圆 C.抛物线 D.线段解：如图，取B%的中点M, 31cl的中点N,显然可证明平面 AMN平面AED,当F在线段MN上时，均有AF”平面 AED,即动点F的轨迹是线段MN。点评：善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“而 面平行”：考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行” 或“线面平行在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，

8、因为要找平行 线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位理看起来 比较特殊，例如中点，中位线之类。好题速递208题立体几何模块2.如图，在三棱柱ABC-ABiG的侧棱怏与BB上各行一个动点P , Q,且满足AP = BQ, M是棱CA上的动点，则一把里的最大值是Vabc-ab, -m-abqp解法一：设Vabc-梗q = V，则 Vmtqp = VN_BBA BC-AB -%-MQP V _工_2%-ABQP Y.3解法二：设%QP=V, V_abc =%为定值，则f（V）=L 是关于V的增函数 M - v所以f(v)s%-MQPVj-Yz-abqp -1% 2好题速递209题立体几何模块3

9、.已知线段AD/a,且AD与平面仪的距离为4,点B是平面仪上的动 点，且满足AB = 5,若AD = 10,则线段BD长度的取值范围是解：如图，将线段AD投影到平面a上，得到射影A，D3将空 问问SS平面化，则动点B的轨迹是以A，为圆心，半径为 力?-个 =3的圆,又BD = JDD2+BD , 10-3BD10 + 3, DD = 4.同f以 J49 + 16 0BDSS69 + 16 , RR 765 BD V185好题速递210题立体几何模块4.己知P为正方体ABCD -平1。口对角线BD上的一点，旦BP = IBDj/le (0,1)，卜面结论： AiD_LCP；若BQ J_平面PAC

10、 ,则;1 =：若APAC为钝角三角形，则;I e(04)；若4 d 则APAC为锐角三角形.其中正确结论的序号为.解：在正方体ABCD-ACiDi中，AR JL平面ABC Qi ,又QP u平面阳5口，故 ADJ_GP ,正确；由题可知BD1J.AC,若BDJ_平面PAC,则BDCP设正方体的楼长为1,则BC = 1, CDi = 0, BD = 4，在RtABCD中，BC? = BP BD所以BP = ,所以BP=gBD正确；在正方体ABCD-ABGDi中，以AB为x轴，AD为y轴，AA为z轴建系，设楼长为2,则 A(0O2),B(2,0,2),C(2,2,2),Di(0,2,0)设 P(

11、x,y,z),由而=7 函，得 x=2-2y=2/z = 2-U filfPA=(21-2.-2/l,21), CP =(-2,-2 +2.-2), CA=(-2,-2,0)若APAC为钝角三角形，则/APC为钝角，PAPC = 122-80,所以APAC为锐角三角形，正确。所以正确结论为好题速递211题立体几何模块5.如图，在棱长为1的正方体ABCT-A6C1D1中，若点P是棱上一点，则满足PA+PC = 2的点有个.解：点P既在以AC】为焦点，长轴为2的椭球上，又在正方体的 4枝上。因为BA+BCi = l + g2,故点B在以AC1为焦点，长轴为2的 椭球外，所以椭球必与线段AB相交(交

12、点就是AB的中点)，同理在AD.AA.C.CA.CxC上各有一个交点满足条件头/Ci又若点 P 在 BB上，则 PA+PC = J1 + BP、J1 + B1P2 2 ,故 BBj上不存在满足条件的点P，同理DD】,CD，ABi.BC.AD1上也不存在满足条件的点P。好题速递212题立体几何模块6.将一个长宽分别为a,b(Oba)的铁皮的四个角切去相同的正方形，然 后折成一个无盖的长方体的盒子(不计粘合处)，若这个长方体的外接球的面积存在最小值，则2的取值范用是 b解：设切去的小正方形的边长为x,长方体的外接球的半径为R则 4R2 = x2 4-(a - 2x)3 +(b- 2x)2 = 9x

13、2 -4(a +b)x + (a2 +b)(0 x ?)2(a+b) b因为长方体的外接球的面积存在最小值，所以-5,解得0 b 0)上任取A B两点，则OA面的最小值为解：记人(4,为)上(叼,力)，则OAOB = jqx?+为力且xf-y： = 2(% 0)，xj-yj = 2(x3 0) 同时满足力 |yj(i = 1,2),即9+ %0, -Yj 0(i = 1,2)GA 而=3 + yiy2 = -(jq + Yi )(X2 + y2)+(jq f )(x：j - y?) 一之；2 J( Xl + % ) ( X? + y2 ) (Xi - X) (X2 - y2) 二J(城一y；)

14、(xy；) = 2当且仅当均=xy=-y2时取得“=，故亦丽的最小值为2.好题速递215题都有已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 xf (x + l) = (x + l) f (x),则 f.解：令x=-1，则所以 f(g)=o令x=0,则 f(0)=0当 xwO 时，由 xf(x + l) = (x + l)f(x)得 f (x + l) =三2 f (x) X53则呜”唱胃同封咱故内目卜(。)=。22好题速递216题己知实数abc,设函数f(x)= + _L + _L的两个零点分别为应M2区乂2),则X- a x - b x-c卜列关系中恒成立的是( (A) a5

15、qx2bc)(B) abx2c(C) ax1bx3c(D) aXj bc 又 avbvc,所以 g(b)vO 即函数g(x)的零点一个大于b, 一个小于b,且g(a)0, g(c)0 所以根据“一上一下，中间一点”的原则，可知aXibX2c,选C好题速递217题已知点A(l,2)在抛物线F：y2 = ?px上，若AABC的三个顶点都在抛物线上，记三边AB,BC,CA所在直线的斜率分别为及,匕凡，则 看国与解：F:y2=4x,设B(手为，C与，力y? i y? y? 6 i_4_44 I 4% - 2 y-yi y-yi+3 yi + y2 | Yz + -.1 4 4-4点评：抛物线题目的计算

16、量相对于椭圆、双曲线要小一些，主要是基于抛物线上的点的设法在化简过程中利用好平方差公式，可以使得计算简便。这个过程要做到比较熟 12P )练。a2 + 2ab + 2ac + 4bcb2 - 2bc + c2好题速递218题已知函数f(x)=3x + a与函数g(x)=3x + 2a在区间(b,c)上都有零点,则的最小值为.r七、2a 解：由题意知，L 、八，两式相力n得a +2b 0 3b + 2a 03c + 2a 0，两式相加得a + 2c0所以a2 + 2ab + 2ac+4bcb - 2bc+c“(-a-2b) + (a + 2c)(a + 2b)(a + 2c)(-a - 2b)(

17、a + 2c)2=- -(b-c)2(b-c)2-(b-c)2-1当且仅当-a - 2b = a + 2c时取得等号。点评：这里用到了基本不等式，如果一卜子看不出来，也可以先利用齐次化思想，将分子分母同除以a?,令x = P.y = 2,将式子简化，就容易发现了。 a a好题速递219题已知函数f(x)=a + 4bx + smx + bxcosx(a立2,若f (x)在R上既有最大值又有最小值, 4 + cosx且最大值与最小值的和为4,则3a - 2b =f(x) =4bx + sinx+bxcosx4 + cosx=a +bx +sin x4 + cosx已知f(x)在R上既有最大值又有

18、最小值，故b = 0又+ E是奇函数且最大值与最小值的和为4,则皿，一故 3a-2b = 6好题速递220题对于函数y=f(x)，如果存在区间同时满足下列条件:(x)在皿“内是单调的；当定义域是m,n时，f(x)的值域也是则称5,n是该函数的“和谐区若 f(x) =a +10)存在“和谐区间”,则a的取值范围是解：因为f(x) = ?-(a0)在(-oo,0)和(0,用)上是增函数，所以m,nk(-oo,0)或 mtnc (0,+oo),且 f (m) = m , f (n) = n因此nn是方程巴-2.= x的两个不相等且同号的实数根，即ax2-(a+l)x + a = 0有两个不 a x相

19、等且同号的实数根又 q + x,=t匚 0 且 = = 1,故只需 A = (a +1/-4a? 0 ,解得一L a 0.故 Ovavl好题速递221题己知以T = 4为周期的函数，其中m0,若3f(x)=x恰有5 l-|x-2|(l x 3)个实数解，则m的取值范围是.解：当xe-Ll时，原函数式化为方程x?+二= l(yNl),表示一个半椭圆，当xwl,3 nT时，是两线段y=x-l(lx2)和y = 3-x(20)无交点时，方程3f (x)= X恰有5个实数解， nT由方程组(x-4)2+= 1 m-9m* +1 )x2 - 72m2x + 35m2 = 0(y0)消去yy-101357

20、 Vx由A0,解得1孚由方程组,(y NO)消去 y 得(9nT +1 |x- - 144m-x +567m- = 0 x-8)3+ = 1m-由(),解得 0m/7, filf W m -jl好题速递222题(2015重庆理科第16强)若函数f(x) = |x + l| + 2|x-a|的最小值为5,则2= .解法一：按照a 0)的图象有且仅有两个不同的公共点A(和力), B(x2,y3)且看叼，则/ =.丫2解：f(x) = L与g(x)=ax2+bx(a0)的图象有且仅有两个不同的公共点=方程L = ax2 + bx有两个不同的实数根应,X、 x=方程axbxJ。有两个不同的实数根和与三

21、次方程仅有两个实根，故必有一个是一次根，一个是重根。= 方程 ax3 +bx2 -1 = a(x-Xj厂(x- x2)或 ax3 +bx2 -1= a(x-胃)(x-x2)2劝于第一种情况，等式两边展开比较系数得b = a(-%-),4+2x = 0, -aq叼=7 故西+ 2町=0，因为%X2，所以均0X2，河=一?与Y1町 1=丫2均 2对于第二种情况，等式两边展开比较系数得b = a(f-%), X5+2X1X2 = O, -ax昌=-1故2%+叼=0,因为均 0 ,与a0,向0矛 盾，故舍去。点评：本题是自山东高考题改编而来，解法中运用了三次方程求根的因式分解，奇次根穿过与偶次根反弹的

22、问题。浙江高考曾多次考过类似的问题，值得注意。例如：(2014 浙江文 7)已知函数 fCOuY + aM+bx+c，fi.0 f(-l)= f(-2)= f(-3)3 ,则A. c 3 B. 3c6 C. 69解：方程 f(x) = x3 + ax?+bx+c = t(0,3的三个根为一1,_2,-3 ,故 x； + ax? + bx+c-t = (x + l)(x + 2)(x + 3)比较系数得c-t = 6，故c = t + 6e(6,9(2012 浙江理 17)设 aER,若x 0 时均有(a-1b一162 - ax-l) 20 ,则?1=.解：x2-ax-l = (x-x1)(x-

23、x2),且马 0恒成立，则x = _】必是二重零点a -1代入得：f1 -一一1=0,解之得：a=OnJca = -,舍去a=O,得答案：a = -U-1J a-122(2013 浙江文 16)设 a,beR,若 x 2 0时恒有 0 K x，-+ ax +b -1/,则 ab =。【解析】当x=l时，有04a+b0,所以得b = -a,代回原式x4-x3 + ax + b = x4-x3 + ax-a = (x-l)(x3 + a)0故x=l必定是重根，即x3 + a中必有因子x-1,所以a=-l,b = l,所以ab = -l点评：这三道题都是加深零点意义理解的好题。零点就像是x轴上的守门

24、员，关系着函数 正负性变化的重任，”奇重零点穿过，偶重零点反弹”。好题速递225题设x,y是正实数，且x+y = l,则 J +二的最小值是,x+2 y+1解：设x + 2 = m, y + l = n,则题目变为“已知m + n = 4,求处二3- +空上的最小值。(m-2)2 n-1)2 m n4 1V、1 f 4n m 八 c、9 、+ I (m+n) - 一 = + + 5 一一之一一一=nJ41m n J 4当且仅当m=2n,m + n = 4,即m = *n = g,即x=g.y = 1时取得等号 点评：本题还是分母换元使得式子简化，次活运用均值不等式。好题速递226题(隶庆高考题

25、)函数f(x) =,Sinx_1 (0 X 2)的值域是 J3 - 2 cos x- 2 sin x解：3- 2cos x- 2sin x = (1- cos x) +(l-sin x)设l-sinx = a.l-cosx = b ,则问题变为求y =厂;十的值域 Va2+b2解法一：当a=0时，有y = 11 ,将3视为圆(a-l)2+(b-l)2 = l上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知N0,所以lWy0, 当a = 0 时，y = 0 综上可知,ye -1,0解法二：注意到丫=，联想其结构特征与三角函数中的于是设直线OP的倾斜角为8,则正余修定义式相似所以 y = -co$8w-L0

26、好题速递227题已知a = x6 + yc(x,y w R),卜卜忖=2 , c = 1 , ( a - c) = 0 ,则卜-B的取值范围是 解法一？考虑向量模的几何意义B的终点C必在以AB为直径的圆6上 又13=1,故2的终点C必在以。为圆心,1为半径的圆上反:由卜=同=2和(a-c).(E-c)= 0 ,由作出图形所以问题转化为口 0,与口。IabI 注意到口 cr的半径为一=la-所以两圆相交需满足且有E+1 =2作一个整体换元，设+6卜问题转化为规划问题，已知如图可得解法二：代数方法由 G-j 二)=0 得讪-(所以 a + l = (a+U) c = a +bBP(+i)2i2 +

27、 2；i+b2 =1or（半径为1的小圆）有交点J今 i ,圆心距100 | = |a +b 1 1b la +ba -bl2 -1+ 2a ,） = 16x f a -b| = yx3 + y2 = 16/求y的取值范围。:/ /二 r+/ vOf,因此只需求二15的取值范围/ 1、a +6户+ 丁 = 0|c cos| ab | = AB = 2 MC = l(x-V)2 + y2 = 2-7x2 + y2 - 2x+l = 2-1 + x- 2x + l =5- 2x .由(*)知，匕EwxW匕立， oo1，击-24 Wj5-2xWj8 + 2,即-1 W/?=WV7 + 1.* y/l

28、 - 1 S 卜-6卜 y/1 +1 .好题速递228题已知实数a,b,C,满足y+少=2巧，2a+2b+2c=2a4b4c,则0的最大值是解：记y = xd = # = z,则+丫=与x + y + z = xyzZ = 3 = 1 + _Lxy-1 xy-1因为 x + y=xyN ?J = xy 2 4故 z=3 = l +，Jxy-1 xy-1 3即c的最大值是log2 g好题速递229题设函数f (x)=3，g(x) = cos2x+kcosx 若对任意的应wR ,总存在x. wR ,使得 X-+1-g(x?)=fE)成立，则实数k的取值范围是.解法一：由题意知f(x)的值域是g(x

29、)值域的子集，易得f(x)的值域是卜2,2St = cosx,则g(x)的值域为的值域，再通过分类讨论进行解答-1 4 h(-l)S-2或，h。)“-8 -k- 令 t$-2或8h“0 - 1 4h。) 一M1)“解得 k e (-a,-20u2O+o)解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。故 从数形结合的角度，利用函数图象给出解法二。f (x)的值域是-2,2,设弋=cos开x e -1,1则问题可以转化为对任意实数mw卜2,2,关于t的方程2t2+kt-l = m在卜1,1上有解,即对任意实数me卜2,2,总存在k,使得直线y = ki-l与y = m-2t?在卜1是有公共点

30、,即直线y = ki-l与一簇函数y = m-2t2 a卜11皿七卜2,2个个都有公共点,从图象上显然看到，只要直线丫 =匕-1与函数y = T-2F,te卜1有公共点即可，于是求得 k/5u2/I刈)好题速递230题在AABC中，AB边上的中线8=2,若动点P满足思=sin?/AQ + cos? 8芯(8 w R),则 (PA+PB)TPC的最小值是.解：因为丽=加2&N6 + cos28无(8wR),系数之和为1,故C,PQ三点共线，且 sin3cos2e0,l,所以点 P 在线段OC 上，设|瓦卜 t(t w 0,2),故(瓦+瓦悭=2 远近= 2t(2-t)(-l)= 2t2-4t当t

31、 = l时，取最小值-2好题速递231题max)an414f设数列aj满足a1=l,a)= 2 ,且an+- =,则6匕=4an解：找规律.易知知=max1maxmax4x14x216a5 =116 4max8 4.1-X16max 1.1 4=2,故数列E是周期为5的数列，所以a刈5 = a$好题速递232题设数列aj 满足 a =19 =7,且 an+，= ，则 a$ =.an+1解._ ajNf + ax _ (141+1)2-11-1 +1)一1* n+2% + 1- an + 1- an+l即=2+1 =%等an+l令bn = an+ l,则b2bn = b3，即数列是等比数列，且可

32、=2=8,故b5=4,即好题速递233题已知 9k1 ,函数f(x) = px-l|-k的零点分别为x1,x2(xix2),函数 g(x)= 2X-1|- k的零点分别为乂3，勺(町 x3 = log- =log9- 2k + l-2k + 】r - 2k+l由得(X3)+(l) = M 然(*3) 因为!Wkvl,故(X4-X3)+(X? - )Nlog23好题速递234题已知函数f (x)= ax2 + 2(2a-l)x+4a-7 ,其中a w N* ,设飞为f (x)的一个零点，若卬eZ,则符合条件的a的值有 个.解：f (x)= ax* + 2(2a-l)x + 4a-7 = 0na

33、=r(x 工 - 2)5+ 2厂因为aeN*,故三乙21,解得-3 1(xh-2)伐+ 2广由殉 e Z 知,xq = -3,-1,0,17当飞=-3时，a = 1 ；当%=-1时，a = 5 ：当勺=0时，a =(舍去)；当殉=1时，a = 1综上，符合条件的a =1或a = 5,有两个值。好题速递235题已知。是 AABC 的外心，AB=2a , AC = -(a 0) , ZBAC = 120* ,若 a75 = aAB + /?AC(a,/?eR),则a + 的最小值为.解：因为AO =aAB3 I /?AB 武 = AOAC = a 屈iAC2 + 尸记2a =4aa-2，4la解得

34、 口 =二+, /? = - + 3 3a233故 a+ = ;点评：这里又是三角形外心与向量的常见结合题，“外心点积转边投影”是正道。fa(x),fa(x) fj,(x)4(x)(x)n(x)好题速递236题已知函数 4(x) = (x-t/-t,t wR ,设 a b a,解得b-a2 + /好题速递237题在AABC中，若AB=2, AC2+BC3 = 10,则AABC的面积取得最大值时，最长的边长等于.解法一：设CH=h, AH =x,由题知 a2+ = 10, c = 2, =ch = h一因为 h? = b2 -F = a2-x)2 =h2 = -x2 + 2x + 3 = -(x

35、-l)2+4/aC2 BC2-9-11 = 一一故 AC BDe -4,一000。1111解法二：投影角度ac:bd = |ac| |ce|要求aS而显然在|欣|确定的情况卜，|c|最大。如图，当DEI AE H.DE1 AE与圆相切时，|玩|最大。此时设|而卜!4iJ|df| = x.|of|=1-x, |ac|=2(1-x)所以 ACBD = |AC| |ct|=2x(1-x) + (cos -1)令1 = Jl-cos夕则旭丽g0t-t20 2- 2COS P + (cos y-1)AC： BD = J(cos 2-1)2 +sin2 0 cos (a + -2-2005 P + (co

36、s 尸-1)令 t = J-cosAw0,V?+-4 (当且仅当t = J5时取得等号)解法四：利用竞赛知识设NAOC = a, NCOD =尸，ZBOD = %则4+7=AC：BD=(OC-OA)OD-OB)= ociw-oa6B-ocb+oa6b=cos fl-cos (a+P)-cos(P + 7)-l=cos 尸 + cos 7 +cos 2 -1在竞赛中证明过一个不等式，在AABC中，cos A+cosB + cosC 一先证明cos A+cosB + cosC = 2cos Bcos 人 B- A+B A-B=2 coscos2 coso，A+B ,+ 19cos(A+B)= l

37、+ 2cosi,4 A+B.A.B,.A.B.CB-CB+CAcoscos22 )=l+4cossin sin = 1+4 sinsin sin 一 TOC o 1-5 h z D .A.B.C1.A乂 sin sin - sin - = - sin ooooo( A A sin- + l-sin-所以 cos A+ cosB + cosC - 这里用了三角的积化和差、和差化积公式，属于超纲内容。所以 AC BD = cos + cos/ + cosa-l I2 +2 + 2A,/.i cos = 1(这里的8就是向量夹角，由于三点不同，故cosdc(-l.l) 当加 0 时有 22 + /P

38、 -22/z -1 2-/z 1当0 时有 I3 +p2 + 2/1 -1 4 + 4 2 9 当 4+oo,故(4-31+2 解法二：OC-AOA= /OB =-2Acos + 1 = 于是解法三：丽+玩=。可以构造三角形法则(4一3+ 2 = (4-3)2 + 42-2；1cos 8 + 1= 2(以一cos + 3|故设5n = 4咏嬴=丽，则冈，|川.1构成AOMC边(否则AB,C三点中至少有两个点重合)，如图所示 加1川1于是满足网+1|川，画出可行域，后续如解法一。川+1忸好题速递240题已知二次函数f(x)=ax2+bx + c(ba0)为非负，则3土的最小值为b-a根据条件有a

39、 (), 0 0 ,m h a +b + c因此丁解法一：齐次化思想E 1 m.a+b + c t*+2 3 2t 19/- = t -,则1 += -+3Va 2 b-a 2t-l 244(2t-l)当且仅当t = 2及？=时取得最小值，即b = c = 4a时取得。解法二：根据条件有a 010 0,则cN匕 4a,b2故 a+b + c J+ +不 b-a b-a令6 = 2+30)得6 +(：+6 + 42 =3+里 + 工23 b-a b-a 2 4t 4a当且仅当t = 3a及c = 时取得最小值，即b = c = 4a时取得。 4a解法三：令 a+b + c = 0),得c = t

40、(b-a)-(b + a), KAA = b2-4act 化尚为(l+t)a+(l-t)b + cN0Xx2a+xb + c0故比府系数得 = l+t,x=l-t ,得(l-t = l+t,即t=3,此时x = -2即因为 f(-2)0,所以4a 2b + cN0 = a+b + cN3(b-a)因为ba,所以但上工3b- a好题速递241题已知a,bcR+, a2+b2-ab = 3,则2a+b的最大值是解法一：判别式法令t = 2a+b , b = t-2a RA a2+b2 - ab = 37a2 -5at+t2 -3= 0关于a的一元二次方程有解得A = 25t2-28(r-3)0,即

41、t% 28fill 以 t = 2a+b42 近,当且仅当a = t = (2a +b)1414 n2a +b = 2 J7a = _5_了时取得等号。解法二：化齐次式c 3(2a+b)2 n4a2+4ab+b2 4 + 4t+t2 J5t + 3(2a+b)-5-=3-5=，- = 1 +ga-+b-ab a-+b-ab 1-t+t- I 1-t+t-令 5t+ 3 = u,t =上？故片如+不卜3”号28当且仅当u = 7.t = 3时取得等号。设 m= v3cos = VJsin 8 ,则 a = sin 8 +Vicos8.b = 2sin 6故 2a+b = 4sind+26cos8

42、= 2/7 sm( + )解法四：利用余弦定理构造三角形设AABC的三边分别为a,b,c = 5 由a? +b? - ab = 3得C = 60。由正弦定理一-=2 故 a = 2sin Ab = 2sin B sin A sin B sin C故 2a +b = 2(2sin A+2sinB) = 4sin A+4sm(120,- A)= 5sin A+/3 cos A= 2/7 sin (A+g)其中tan3=V字，故取夕3+A. .-. + cos a =+ sin- a = sin a+ 1 + 1-cos- a = 2 sin asin a评注：这里用了 1的逆用，简化了计算，当然也

43、可以把smacosa都算出来，不过计算最 比较大。好题速递243题(2015全国联赛4)在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,边DC上(包含D,C)的动点P与CB的延长线上(包含点B)的动点Q满足|衣卜|武卜则踹血的最小值为解：不妨设A(0,0),B(2,0),D(0,1),则P(t,l)(0tS2),则由回卜网得Q(2,-t),PAPQ = (-t)(2-t) + (-l)(-t-l) =评注：坐标法解决向量问题是常见方法。好题速递244题(2015全国联赛 6 )在平面直角坐标系xOy中，点集K=(x,y)|(|x|+|3y卜6)(|3x田y|-6)S0所对应的平面区域的面积为.解：设=(

44、x,y)|x|+|3y|-6S0 先考虑K在第一象限中的部分，此时行x + 3y46,故这些点对应于图中的AOCD及其内 部，由对称性知，K】对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部同理设K2=(x,y)|3x| + |y|-640,则电对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部。由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被Ki , K?中恰好一 个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S 由直线 CD:x + 3y = 6 ,直线 GH:3x + y=6 得交点 由对称性知，2 = 82 =8xlx4x = 24好题速递245题(2015全国联赛7)设G为lE实数，若存在a,b(;r0 a b 0 %),使得sinoa+ sin0b = 2 ,则 3的取值范围是.解：由 sin ya + sin 0b = 2 知,sin ya = sin pb = 1而麻,加引wr,2M,故题目条件等价于：存在整数