高中数学1空间向量及其运算同步练习新人教A版选修1

1、-1a b1, c HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 21/a b . c HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 2新课标高二数学同步测试一（21第三章3.1 ）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74分，第二卷76分，共150分；答题 时间120分钟.、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1 .在平行六面体 ABCDABGD中，M为AC与BD勺交点，若人招二a,AD1 = b , A,A = c.则下列向

2、量中与B1M相等的向量是 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document -11_A. -a, b - cB. HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document _1 _1,_C.-a-bcD. HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 22.在下列条件中，使 M与A、B、C一定共面的是OM =2OA-OB -OCOM Joa Job Ioc532C. MA MB MC

3、= 0D. OM OA OB OC = 0.已知平行六面体ABCD ABCD中，0AB=4, AD=3, AA =5 , B. BAD =90 ,/BAA =/DAA =60,则 AC等于D. 50A. 85B. . 85C. 5 24.与向量a = （1,3,2）平行的一个向量的坐标是A. ( 1 , 1, 1)B. ( - 1, - 3, 2)3C. ( , , 1)D. ( ,12 , - 3, - 2 V2 )225.已知A( 1, 2, 6), B (1, 2, 6) O为坐标原点，则向量 OA,与OB的夹角是(A. 0nB.一2C.二D.6.已知空间四边形ABCD, OA = a,

4、OB=b,OC =0点“在 OA,且 OM=2MAN 为 BC中点，则MN =A.12 1 1 -a-b -cB.21 -1 1一一 a b c7.8.9.C. 1a - 1b _ 1c222D.设A、日C、D是空间不共面的四点，且满足aB AC = 0, AC aD = 0, AB aD = 0,则；BCDA.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定空间四边形 OAB值,_ _0OB=OC /AOBNAOC=60,贝U cosA.已知A (1, 1,A.B 2B.2C.D. 01)、 B (2, 2, 2)、C (3, 2,4),则4ABC的面积为B. 2 3C.D.、6.已知 a=

5、(11,1 t,t),b=(2,t,t),则 |ab|的最小值为55555P 3.55D.115二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分，共24分).若a=(2,3,1), b=(2,1,3),则a,b为邻边的平行四边形的面积为.已知空间四边形 OABC其对角线为 OB AC, M N分别是对边 OA BC的中点，点 G在线段MNLh,且MG =2GN ,现用基组Oa,Ob,Oc表示向量OG ,有OG=xOA + yOB+zOC,则 x、y、z的值分别为13.已知点 A(1 , -2, 11)、B(4 , 2, 3),C(6, 1, 4),则 MBC的形状是14.已知向量 a =(2,3

6、,0), b=(k,0,3),若 a,b成 1200的角，则三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15.(12分)如图，已知正方体 ABCD - ABCD的棱长 为a, M为BD的中点，点N在AC上，且| AN | = 3| NC|,试求 MN勺长.k=16.0),(12分)如图在空间直角坐标系中BG2,原点O是BC的中点，点A的坐标是(点 D在平面 yOz上，且/ BDC90 , / DCB30 .(1)求向量OD的坐标;(2)设向量AD和BC的夹角为。，求cos。的值图（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直.（12分）四棱锥P

7、ABCDK底面ABC虚一个平行四边形， AB =2 , -1, -4, AD =4 , 2, 0 , AP = - 1 , 2, - 1.（1）求证：PAL底面ABCD（2）求四棱锥P-ABCD勺体积；（3）对于向量 a =x1, y1, Z1, b=x2, y2, Z2, c =X3, ys, Z3,定义一种运算：f -*f1-（ax b） . c=X1y2Z3+X2ysZ1+xsy1Z2 X/3Z2X2y1Z3xsy2Z1,试计算（AB x AD ） AP 的绝 对值的值；说明其与四棱锥 P-ABC咻积的关系，并由此猜想向量这一运算（ABxAD）AP 的绝对值的几何意义.（14分）如图所示

8、，直三棱柱 ABC-ABC中，CA=CB=1, / BC盒90 ,棱 AA=2, M N分 别是A1B1、AA的中点.(1)求BN的长；(2)求 cos 的值;(3)求证：A1BCM（14分）如图，已知平行六面体ABCDABGD的底面 ABCD是菱形且/ CCB=Z GCD=ZBCD60 .(1)证明：CiC，BD3(2)假定CD=2, CC=，记面CBD为a ,面CB加3 ,求二面角a BD- 3的平面角的余弦2值；CD(3)当的值为多少时，能使 AC，平面CBD请给出证明.CCi参考答案 TOC o 1-5 h z 1一、1 . A；解析：B1M =B1B + BM =AA+ (BA+BC

9、) = c + ( a + b)=- HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 2a+1 b + c.评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本2题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.A;解析：空间的四点P、A B、C共面只需满足 丽=乂取十丫05 + 2玩,且*十丫+2 = 1 既可.只有选项A.2B；解析：只需将 AC = AB+AD+AA,运用向量的内即运算即可，|AC|=AC.C;解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b = 0,ab ：= a = b .C;

10、解析：cos 9 = br ,计算结果为1 .|a| |b|1 2kB；解析：显然 MN -ON -OM =1(OB OC) -OA23B;解析：过点 A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形.d；解析：建立一组基向量 oA,oB,oC,再来处理oA eC的值.AR ACD；斛析：应用向重的运算，显然 cos =sin ,从I AR|AC |而得 S = 1 I AR II AC I sin :二 Ab,Ac,.2C; TOC o 1-5 h z . 6 J5 ；解析：cos =a-b = -2 ,得 sin =亘勺，可得结果. IaIIbI 771 1 1 -OA OB

11、OC 633解析：12 -= -OA -(ON -OM)-1 2 -OG =OM MG OA -MN 23 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 211OA -(OB OC) OA HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 322 HYPERLINK l bookmark112 o Current Document 111JOA1OB1OC633 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 22213.直角三角形；解析：利用两点间距离公式得:2k.13 9k2I A

12、B I2 =I BC I2 I AC I2 .a b. 一J39 ;斛析： cos =-IaI IbI.解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,所以B (a, a, 0),A (a, 0, a), C (0, a, a), D (0, 0, a).aaaaa由于M为BD的中点，取 AC中点O,所以M( , , -), O (-, , a) .因为 22222I AN I=3I NCI，所以N为AC的四等分，从而 N为a 3O C 的中点，故 N ( 一 , a , a). HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 44根据空间两点

13、距离公式，可得IMN 尸居-茨，(|-争 +(a-a)216.解：(1)过D作DELBC垂足为E,在 RtBDC中，由/ RDC90 ，/DCB30 , RO2,得 RD=1, CD： 73 ,DECD- sin30 八11OE=O5 BE=O5 BD- cos60 =1 -=2 2.D点坐标为(0, - 1 2 2一.一 13),即向量ODTX一的坐标为0 , - - .2 2一 . . 3(2)依题意：OA=.21 、1 ,0, OB=0,-1,0, OC =0,1,0,2所以 AD =OD -OA = -.3,3、：二-1, , BC = OC - OB = 0,2,0.2设向量AD和B

14、C的夹角为AD BCcos 0 =. _|AD|BC|.330 (-1) 2022J；2 (干 I；2 42-02110 .51 一证：如图仅 SA = r1, SB = r2, SC = r3 ,则 SE, SF, SG, SH, SM, SN 分别为一r1 ,2Li 22由条件EH=GH=MN:1 -r22(23 -:1)2 =(匚r3)2(132)2*-F展开得1 0 =23 =13.1 （3 一2） =， .1 寸。，3 一2 毛。，1，（3 -2 ）即 SA，BC.同理可证SB AC SCI AB.(1)证明：. AP AB=22+4=0, . API AB又. AP AD =-4+

15、4+0=0,APLADAB AD是底面ABCDt的两条相交直线，二. AP,底面ABCD（2）解：设AB与AD的夹角为0 ,则 TOC o 1-5 h z AB AD8-23cos 0 =|AB| | AD| .4 T 16 16 4,105V=l| AB| - | AD| sin 0 | AP |= 2 J1051 - 71 十4+1 =1633,105(3)解：| ( AB X ad ) AP|=| -4-32-4-8|=48 它是四棱锥 P-ABC咻积的 3 倍.猜测：| ( ABx AD) AP|在几何上可表示以 AB AD AP为棱的平行六面体的体积(或以AB AD AP为棱的直四棱

16、柱的体积).评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、 空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 19.如图，建立空间直角坐标系O xyz.(1)依题意得 B (0, 1, 0)、N (1, 0, 1)棱锥的体积公式等.主要考查考生的运(2)依题意得(0, 1, 2)A (1, 0, 2)、B (0, 1, 0)、C (0, 0, 0)、BiBA =-1,1, 2, CBi =0 , 1, 2, , BACBi =3,| Cb1 |= . 5cos= BA1 CB1 =1 . 30 .|BA|CB/

17、101 1(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M(,2 21,2, CiM =12,110. A|B , C1M + - +0=0, A B，C M ,AB GM评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.| BN |= . (1 10)2(01 1)2(1 10)2 = 3 .20. (1)证明：设 CB = a , CD =b , CC1 =c,则| a |=| b | , BD = CD CB =b BD - CC1 = ( b a) c=b c a c=| b | | c|cos60| a | - | c |cos60二0,.Cd BD(

18、2)解：连 AC BD设AS BD=O,连OC,则/ GOC为二面角a -BD- 3的平面角.- 1 11.CO = (BC+CD) = (a+b), CQ=COCC1= (a + b) - c 22211 CO , GO = - (a + b),-(a + b) - c=1 ( a2+2a b + b2)4=1 (4+2 2 2cos60 4+4)3。cos6022 - - cos60 2则i co|= 73, C1O,. cosGOeP 吧|CO| |GO| TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark79 o Current Document CD2(3)解：设=x, CE=2,则 CC=.CC1x BD