高中物理竞赛教程3抛体运动

1、体运动3. 1、曲线运动的基本知识轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。图2-3-1表示一质点作曲线运 动，它经过 P点时，在P点两旁的轨迹上取a1、b1两点，过a1、P、bl三点可作一圆，当图 2-3-1这两点无限趋近于 P点时，则圆亦趋近于一个 定圆，我们把这个圆叫 P点的曲率圆，曲率圆 的半径叫P点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P图 2-3-2点的曲率中心，曲率半径的倒数叫 P点的曲率。 如图2-3-1 ,亦可做出Q点的曲率圆。曲率半 径大，曲率小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径 小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为 是曲率半径为无穷大的曲线。质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿

2、该点的切线方向。如图 2-3-2所示，质点在 t时间内沿曲线由A点运动到B点，速度由VA变化到Vb,则其速度增量 AV为两者之矢量差,AAV =VB-V ,这个速度增量又可分解成两个分量：在Vb上取一段AC等于V ,则4 V分解成 V1和4V2 ,其中 V1表示质点由A运动到B的速度方向上的增量， 4V2表示速度大小上的增量。法向加速度an表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A点的曲率圆的 向心加速度:anlim %Q ：t其方向指向A点的曲率中心。切向加速度aT表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢,方向亦沿切线方向，其大小为总加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。2. 3

3、. 2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此, 抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是将抛体运 动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。如图2-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为 x轴，竖直方向为y轴。则抛体运动的 规律为：ax =0Vx = Vo cos 9Vy = Vo sin 8x =v0 cos比八 12y = vo s

4、in 世gt L2其轨迹方程为g2v2 cos2 f这是开口向下的抛物线方程。在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T,射程R和射高H分别为丁2V0 sin -T 二gR = v； sin 2igv2 sin2 1H 二2g抛体运动具有对称性， 上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上） 相等（- 般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。下面介绍一种特殊的抛体运动 平抛运动：质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方 向上的匀速运动（速度为 V

5、0）与竖直方向上的自由落体运动的合成。速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得:vx = V0vy = gt，其合速度的大小为0 ）,可见，当tT 8时,v *（gt）2 ,其合速度的方向为 （设水平方向夹角为Vt gt2T n/2,即表示速度趋近于自由落体的速度。2 o位移：仍按上述坐标就有，X-Voty-gt /2。仿上面讨论也可得到同样结论，当时间很长时，平抛运动趋近于自由落体运动。加速度：采用水平和竖直方向直角坐标系有ax =0，ay = g ,用自然坐标进行分解,如图2-3-4其法向加速度为an =gcos6 ,切向加速度为ai = gsin6,。为速度与水平向方的夹角，将速度在水平与竖

6、直方向的坐标系中分解可知:sin 二VygtVv2g2t2cos 二VxV。VV。2g2t2由此可知,其法向加速度和切向加速度分别为:angVoV。2g2t2a.二g2tV。2g2t2图 2-3-4由上两式可以看出，随着时间的推移，法向加速度逐渐变小趋近于零，切向加速度趋近 于定值g,这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到，平抛物体的远处时就接 近竖直下落了。运动的轨迹方程:2V。2从方程可以看出，此图线是抛物线，过原点，且Vo越大，图线张开程度大，即射程大。抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿V。方向的速度根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的

7、竖直上抛 运动来处理，但有时也可以用其它的分解分法。为Vo的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运 动。如图2-3-5所示，从A点以V。的初速度抛出一个小球，在 离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BG要求小球能越 过B点。问小球以怎样的角度抛出，才能使 V。最小?将斜抛运动看成是Vo方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图 2-3-6所示。在位移三角形ADB用正弦定理1 .22gtDV。AC图 2-3-6轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运由式中第一个等式可得t _ 2vo sin a g sin :将式代入式中第二个等式2v2。sin

8、agsin2 ：sin(a :)2v；glsin2 ：sin(a .)sin agl sin2 :- cos(2a -) cos :当.cosQa +外有极大值i时，即2a + P = n时，v。有极小值。因为2a+P=n 2a+5+2 = n所以sin a sin : sin(a :)式代入式：我们还可用另一种处理方法以AB方向作为x轴（图2-3-7）这样一取，小球在 x、y方向上做的都是匀变速运动了, v0和g都要正交分解到 x、y方向上去。小球运动的方程为 TOC o 1-5 h z ，1 Jx =Voxt - gxt1（2y = Voy -2gyt2v0 sin a1. 2v0 sin a 2x = V0 cos a- gsin ()g cos 2 g cos :2v0 sina g cos2(cosa cos -sinasin )2 V02 sinacos(a ) gcos :2一v。2sin(2a ) - sin 1gcos2 _xg cos20 sin(2a ) -