重积分的应用课件

1、 三重积分的计算方法方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”方法3. “三次积分”具体计算时应根据三种方法各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. 三重积分内容小结 利用柱面坐标（柱坐标）计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.利用球面坐标（球坐标）计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有适用范围:1) 积分域表面

2、用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系 说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;二、立体体积 三、曲面的面积 四、物体的质心 五、物体的转动惯量 重积分的应用 一、平面图形面积 1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点(25字） 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问

3、题的方法 解 在极坐标系下一、平面图形面积二、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为选用极坐标系被圆柱面柱面内的)立体的体积. 所截得的(含在例2. 求球体0 xy解:三、曲面的面积 设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 dA 无限积累而成. 设dA在 D 上的投影为 d ,故有曲面面积公式即(称为面积元素)若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为 则有若光滑曲面方程为隐式则且例3. 计算半径为 的球的表面积.解:设球面方程为 球面面积元素为利用球坐标方程.xy解: 先求上半部分的面积.四、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质

4、点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 分别位于为为采用 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可导出其质心坐标公式.将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点同理可得则得形心坐标：若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩例5. 求位于两圆和的质心. 解: 利用对称性可知而之间均匀薄片例6. 求占据区域 D 的平面薄片的重心，其密度函数 练习五、物体的转动惯量设物体占有

5、空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例7. 求半径为 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,的转动惯量.解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)练习1提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则(用极坐标) 由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全