随机事件详解课件

1、第1章 随机事件1.1.1随机试验与事件1、试验 对现象进行观察、测量、实验 随机试验概率论中一般研究随机现象，以后 提到的试验均指随机试验， 简称试验符号E例1 抛一枚质地均匀的硬币 在相同的条件下，可以反复不断地抛； 每次抛之前，不知会出现什么结果； 但是，we知道它所有可能的结果。例2 掷一颗匀称的骰子 在相同的条件下，可以反复不断地掷； 每次掷之前，不知会出现几点； 但是，we知道它所有可能的点数。1.相同的条件下可以重复进行2.每次试验有多种可能的结果，不能 预知哪一结果会发生 3.在试验前可以确定所有 可能的结果 E的三个特点：2、将E的所有结果放在一起，构成一个 集合，就是样本空

2、间。记为3、这个集合中的每一个元素（每一个结 果）样本点。记为 集合样本空间 元素样本点KP2：例题分析 练习：1.（1）投篮两次，观察其命中的次数； （2）投篮两次，观察其命中与否的结果。2. KP22 习题1.1(1)、(2)、(4) 样本空间 既然是一个集合，那么，它就有子集。4、样本空间的任意一个子集称为一个随机 事件，简称事件。 一般用大写英文字母A、B、C等表示。例：在0、1、2、9中任取一数。 A表示取到0，B表示取到5， C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。它们都是随机事件。全集必然事件不可能事件空集特别的，若一个事件只含有一个结果 基本事件即将每个样本点（ 中的每一个元素）单

3、独构成一个集合。5、发生在试验中，当事件（集合）中的 一个样本点（元素）出现时，称这一事件 发生。例1.1.1例1.1.2小结1、本小结共5个概念，必须非常熟练 试验E，样本空间，样本点，事件（必然事 件、不可能事件、基本事件），发生2、we要看到一个本质 E的一个结果、样本点元素 样本空间、事件集合提问1、举例试验E2、事件是否无非这3种？（必然事件、不可 能事件、基本事件）不能分解为其它事件的事件称为基本事件。 如A,B能分解为其它事件的事件称为复合事件。 如C,D为了研究的方便，可以用点集来表示事件，也可以用文氏图表示。1.1.2事件的关系与运算 研究“事件”，即研究“集合”。所以标题应

4、为集合的关系与运算，这是we熟悉的内容。 在此，we主要是回顾8种关系，利用“面积”（文氏图）这一工具分析。1、包含若A发生则B必然发生 即属于A的也属于B,则称B包含A。等价的说法是：B不发生，则A也不发生。例如A=4,B=2,4,6,则A B记作B A或A B对任何事件A,有 A A用图形表示，即B2、相等若A B且B A， A=B 。掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或2则A=BAB=BA,(AB)C=A(BC)AB A,AB BA=A,A=3、事件的并（和） A发生或B发生，记作A+B或AB用图形表示，即AB A、B至少有一个发生 A1,An中至少有一个发生，称为 A1,An的

5、和。记作A1+An或A1An A1,A2,An,中至少有一个发生，称 为A1,A2,An,的和。推广到多个的情形例：若A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4 则A+B+C=1,2,3,4,5注：和（并）关系中“+”的含义不同于四则混合 运算中 “+”的含义 A+A2A 而是 A+A=A此处“+”只是形式上的，无实质含义！4、交（积）A发生且B发生，即A与B同时发生，记作AB或AB用图形表示，即BA注：同和关系“+”一样，积关系“”也只是形式上的，无实质“乘”的含义！交与并运算还满足分配律：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)运算律：AB=BA (AB)C=A(BC)

6、AB A AB BA= A=A推广到多个的情形KP45、互斥特别的， AB=，即A、B不能同时发生称A与B互不相容或互斥。基本事件间是互不相容的。用图形表示即AB与任意集合均互斥与任意非空集合均不互斥问题： 如果AB= ，说明什么？ 如果AB= ，说明什么？6、事件的差A发生但B不发生记作A-B，即“属于A且不属于B的部分”如：A=1,2,3,B=1,3,5则A-B=2,B-A=5A用图形表示即B注：差关系“-”是形式上的，不同于四则混合运算中“减”的含义。7、对立事件特别的，-A称为A的对立事件(补事件)。记作如掷骰子例中A=1,2,3,=4,5,6A用图形表示 A = A+ = =-A =

7、 A易见小结：1、并（和） “或” 交（积） “且” 差中的“但” “且”（注意其常用的转换公式）2、互补与互斥的关系 互补必互斥 互斥不一定互补3、本节出现的符号及含义符号集合含义事件含义全集样本空间，必然事件空集不可能事件 集合的元素样本点单点集基本事件A 一个集合一个事件A B A的元素在B中A发生导致B发生A=B 集合A与B相等事件A与B相等AB A与B的所有元素A与B至少有一个发生AB A与B的共同元素A与B同时发生 A的补集A的对立事件A-B 在A中而不在B中的元素A发生而B不发生AB= A与B无公共元素A与B互斥符号、关系、规则如此多，如何记住？ 多做题！作业： KP22 1.2

8、：(1)(2)(3)(4) 1.31. 从一批产品中每次取出一个产品进行检验，事 件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运算 表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至 少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合 格品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品三次中至多有一次取得合格品补充题2.设A,B,C是任意三个事件，则下列结论中正确的是（ ） （A-B）B=A （AB）-B=A-B （AB）-C=A （B-C） AB=A B补充：8、完备事件组若A1,An两两互斥，且A1 + An ， 称

9、A1,An构成一个完备事件组。A与构成一个完备事件组。若1，2，3，4，5，6则A1=1,2,3,A2=4,6,A3=5是一个完备组用图形表示如A1A2A3A4 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小。事率件概的概率的直观意义1.2事件的概率 在n次重复实验中，事件A出现m次，则n次实验中，事件A出现的频率fn(A)=m/n抛硬币实验频 率实验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200059810.4984皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.

10、4998频率有什么规律？可见，掷的次数越多，频率越接近0.5 概率是事件本身固有的，试验只是帮助我们了解它。实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋 向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率。如上表说明硬币出现正面的概率为0.5 试验次数n1,n2,ns 充分大时，事件A出现的频率总在一个定值附近波动. 而且，试验次数越多，波动越小. 频率 某个值 说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是随机现象的统计规律性。频率稳定性例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m

11、发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.频率的性质：(1) 0 fn(A) 1(2)fn()1； fn( )=0(3)可加性：设A1，A2，An两两互不相容,即AiAj(ij) i , j1, 2, ,n 有 fn ( A1 A2 An ) fn(A1) fn (A2)+. +fn(An)1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每 一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) 非负性：P(A) 0；(2) 规范性：P()1；(3) 可列可加性：设A1，A2，两两互不相容，即 AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1)

12、 P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。概率公理化定义(2)有限可加性： 2.概率的性质(1)(3)互补性：P(A)1 P(A); 设A1，A2，An 两两互不相容，即AiAj (ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+P(An)差关系的转换公式 对任意两事件A、B，有 P(B-A) P(B) -P(AB) P(A-B) P(A) -P(AB)(4) 事件差：A B，则P(B-A)=P(B)-P(A) P(B)P(A) (单调不减性)123无条件(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式

13、可推广到任意n个事件的情形；三个事件：四个事件：P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) -P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC)P(A1+A2+A3+A4)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)掌握1.某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸。没有人同时订甲丙或乙丙报纸。求从该市任选一人,他至少订有

14、一种报纸的概率。解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报2.P(A)=0.6，P(B-A)=0.2 当A与B互斥时，P(B)= ? 3.若A、B同时发生，C必发生。则正确的是( )A. P(C)=P(AB) B. P(C)=P(AB) C. P(C) P(A)+P(B)-1D. P(C) P(A)+P(B)-1 练习KP23 1.6 1.8作业KP23 1.7 1.9 1.10 有限性 每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是个有限集 等可能性1.3 古典概率模型 若事件A由其中某m个基本事件组成，则事件A的概率为例1 抛

15、一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率。例2 掷一颗匀称的骰子例1.3.1（自己看）例1.3.2简单的we能直接说出结果，但若碰到复杂的事件呢？必须掌握好理论和方法。补充内容组合与排列组合（无序） 从n个元素中随机抽取k个，共有 种取法。 把n个元素分成k组：n1,n2, nk 其中 n1+n2+nk=n，则不同的分组法有 n! n1!n2!nk!种。排列（有序） 放回抽样 从n个元素中，有放回地抽取k个进行排列: 种 不放回抽样 从n个元素中，无放回地抽取k个进行排列: 种例1 从编号为1、2、3、4、5的5件产品中 任意取两件 （1）观察取出的是哪两件产品 （2）观察抽取的情况 a）有放回地

16、b）无放回地加法、乘法公式例2 从广州去北京有3种方式： 火车（8），飞机（5），汽车（10） 则共有 种方案例3 从广州到北京必须中转武汉一次，广州 到武汉有3趟火车，从武汉到北京有2次 航班，则从广州去北京有 种方案分类完成：“+” 事情已完成（如例2）分步完成：“” 事情未完成（如例3）8+5+1032=6加法公式： 设完成一件事可有两种途径，第一种途径有 n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件 事共有n1+n2种方法。（可推广到若干途径）乘法公式： 设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（可推广到若干步）这两公式的思想贯穿

17、着整个概率问题的求解。1.例1.3.2 另解2. 货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲，3件来自产地乙。现从15件商品中随机地抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率。3.有三极管6只，4只属甲类，2只属乙类。试求事件A，B，C，D的概率，这里 A=抽到两只甲类三极管 B=抽到两只同类三极管 C=至少抽到一只甲类三极管 D=抽到两只不同类三极管抽取方案 （1）放回抽样 （2）不放回抽样投球入盒问题把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。 A=每个盒子中至多有一个球abcde生日问题某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）。分析此问题可以用投球入盒

18、模型来模拟50个学生365天50个小球365个盒子某班有n个学生，设一年N天,则他们的生日各不相同的概率为至少有两人生日相同的概率为 n1020233040500.120.410.510.710.890.97 可能吗？ 没问题！相似地有分房问题 人 小球房子 盒子 白色乒乓球12只，黄色乒乓球3只，随机分装在3个盒子中，每盒5只。 A=每盒中恰有一只黄色球 B =三只黄色球都在同一盒中求P(A)，P(B) 把n个元素分成k组：n1,n2, nk 其中 n1+n2+nk=n，则不同的分组法有 n! n1!n2!nk!种。练习： 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组

19、有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组古典概型习题1一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。2.房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率。3.设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房 间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。 1.解 （1）设5只全是好的，则 （2）设5只中有两只坏的，则 2.解:设 B=至少有两个人的生日在同一个月，则或3.解：设A=恰有5个房间中各有一个人每人进入各房间等可能基本事件总数为 个P(A)= 或=条件概率

20、1.4 本节介绍条件概率，以及与其有关的3个重要的公式，这是本章的重点内容。 1.4 条件概率何谓条件概率？ 顾名思义，在“B发生”的条件下，A发生的概率。 记为P(AB)或PB(A). 读作：在B发生的条件下，A发生的条件概率。例 xx3 符号 “”后面是条件。 现从100件产品中任取一件，每件被抽到的可能性相同。求：(1) 抽到次品的概率(2) 抽到不合格品的条件下，产品是次品的概率例1设 A=抽到的产品是次品 B=抽到的产品是不合格品 P(A)= P(AB)=可见，P(A) P(AB)但二者一定有联系，从B身上找原因。 P(B)= P(AB)= P(AB)=定义设、B是两个事件，且P(B

21、)0,则称为在事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。条件概率?“条件概率”是“概率”吗？概率定义 若对E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：P(A)0； P()1;(3)可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。验证（1）非负性（2）规范性（3）可加性证明略，见课本。 因此，条件概率也是概率。只是we熟悉的内容加了个“条件”而已。 概率的5条性质对条件概率也同样成立。即例2 有外观相同的三极管6只，按电流

22、放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类，不放回地抽取三极管两次，每次只抽一只。求在第一次抽到甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三极管的概率。解：令Ai=第i次抽到甲类三极管，i=1，2 解法一：由条件概率定义 解法二：直接求解 关于条件概率，有3种运用很广泛的公式，we来一一学习。 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式乘法公式由条件概率公式：当P（B）0时，有 P(AB)P(B)P(A|B)当P（A）0时，有 P(AB)P(A)P(B|A) 即为事件A、B的乘法公式。注：1、P(A|B)与P(B|A)可以相互转化2、体会乘法公式推广到三个事件的情形： P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P

23、(A3|A1A2) 一般地，有下列公式： P(A1A2An) P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)条件？ 例3 一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余为正品。作不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到正品的概率。解：令Ai=第i次取到正品，i=1，2，3， A=第3次才取到正品例4 袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回，并再放入同颜色、同型号的小球c个。若B=第一、 第三次取到红球，第二次取到黑球，求P（B）.解：设Ai=第i次取到红球，i=1,2,3,练习 某人射击3次，第一次射击时击中目标的概率为2/3; 若第一次射击未击

24、中目标，则第二次射击时击中目标的概率为3/5; 若前两次射击均未击中目标，则第三次射击时击中目标的概率为3/10.求此人三次射击均未击中目标的概率。解：设A=三次射击均未击中目标 Ai=第i次射击未击中目标，i=1,2,3 P(A)=P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =1/32/57/10 =7/75做做KP23 1.17先介绍一个概念划分。定义 事件组B1，B2，Bn ，称为样本空间的一个划分，若满足：（1）两两互斥（2）B1 B2 Bn= 全概率公式用图形表示如B1B2B3Bn每次试验，B1，B2，Bn中必有一个发生，且仅有一个发生。 与we学过的哪个概念有

25、关系？ 设B1，, Bn是的一个划分，且P(Bi)0,(i1，n),则对任何事件A 有 上式称为全概率公式。定理当P(A)不易求，而所有 P(A|Bi)易知，则用此公式。B1B2BnB1B2BnB1B2BnAB1B2BnB1B2BnB1B2BnAB1B2BnB1B2BnB1B2BnA例5 一批同型号的螺钉由编号为，的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%，40%和25%，各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%，2%和1%。求该批螺钉的次品率。A定理 设B1,Bn是样本空间的一个划分，且P(Bi)0(i1,n)，任意事件A,P(A)0,有 称该式为贝叶斯公式。贝叶斯公式(

26、Bayes)分析 条件概率+乘法公式+全概率公式当P(Bi|A)不易求,而P(A|Bi)往往已知,则用此公式。例6 一批同型号的螺钉 : 35% 3% : 40% 2% : 25% 1%现抽到一颗次品，试问这颗螺钉由，号机器生产的概率各是多少？例7 8支步枪中有5支已校准过，3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求所用的枪是校准过的概率。解：令B1=使用的枪校准过， B2=使用的枪未校准， A=射击时中靶条件概率 小结框架概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 小结注意点5条公式：条件概率定义

27、公式、乘法公式(2)、 全概率公式、Bayes公式全概率公式：P(A)不易求,但容易找到一个划 分,A在此划分下的条件概率易知Bayes公式：要求的条件概率未知，但反过来 的条件概率却已知1.5 事件的独立性we知道，一般P(A) P(AB)， 但若 P(A)=P(AB)，则表示B的发生并不影响A发生，即二者互不相干， we称相互独立。定义 设A、B是两个事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。 乘法公式：P(AB)P(B) P(AB)= P(B) P(A) P(AB)P(A) P(BA)= P(A) P(B)注意必然事件与任何事件独立不可能事件与任何事件独立 在实际应用中

28、，往往不是依据定义来判断独立性，而是根据两个事件的发生是否相互影响来判断。 比如，抛硬币，每次的结果都会出现正面或反面，互相之间不会受到影响；掷骰子同样如此，从而来判断是独立的。 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？例如答: 是独立的请问：如图的两个事件是独立的吗？ 即: 若A、B互不相容，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不是互不相容的.P(AB) P(A)P(B)假设 P(A) 0， P(B) 0由于 故 A、B不独立定理 以下四组事件等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。例1 甲乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求每人射击一次后,目标被击中的概率。解：设A=甲击中目标 B=乙击中目标 一般地，设A1