高职应用数学模块线性代数初步课件

1、高职应用数学模块（线性代数初步） B引例第 五 节 可逆矩阵逆矩阵的定义矩阵可逆的条件可逆矩阵的性质一、引例二、逆矩阵的定义1. 可逆的定义定义 1. 10 对于数域 F 上的矩阵 A ，如果存在数域 F 上的矩阵 B，使得AB = BA = E (1.6)则称矩阵 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为A 的逆矩阵，记作A-1 = B .2. 定义的几点说明由定义公式 AB = BA = E 可以得到如下结论：1) A 与 B 可交换，因此可逆矩阵一定是方阵.换句话说，如果一个矩阵不是方阵，则它一定不可逆.并且与 A 可交换的矩阵 B 是与 A 同阶的方阵.2) 如果矩阵 A 可逆，则

2、 A 的逆矩阵一定是唯一的.3) 当 A 可逆时，B = A-1 也可逆，并且B -1 = ( A-1 ) -1 = A .例 1 单位矩阵 E 可逆.因为 EE = E，即E -1 = E .例 2 设验证 B 是 A 的逆阵 .三、矩阵可逆的条件现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？为此先引入非奇异矩阵和伴随矩阵的概念.1. 非奇异矩阵的定义定义 1. 11 如果 n 阶矩阵 A 的行列式det A 0，则称 A 是非奇异矩阵(或非退化矩阵)，否则称A 是奇异矩阵(或退化矩阵) .2. 伴随矩阵的定义定义 1. 12 设 A = ( aij ) n

3、 n ，Aij 为 A 的元aij 的代数余子式 ( i , j = 1 , 2 , , n )，则矩阵称为 A 的伴随矩阵.由可以得到即AA* = ( det A ) E类似可得A*A = ( det A ) E由此我们得到3. 矩阵可逆的充要条件定理 1. 5 矩阵 A = ( aij ) n n 可逆的充分必要条件是 A 为非奇异矩阵.并且当 A 可逆时，有推论 设 A，B 均为 n 阶矩阵，并且满足AB = E，则 A，B 都可逆，且 A-1 = B，B -1 = A .显然，利用这个推论来判断 B 是否是 A 的逆阵，比利用定义要简单一些.不仅解决了如何判断一个方阵是否是可逆的问题，

4、同时还给出了一种求逆矩阵的方法，我们称之为伴随矩阵法.例 3 设试判定当 a , b , c , d 满足什么条件时，A 可逆. 又当 A 可逆时，求 A-1 .由这个例子可以看出，当 2 阶矩阵可逆时，利用伴随矩阵法，很容易求出其逆阵.对于2 阶矩阵可用的方法求其逆矩阵. 例 4 利用矩阵的求逆模型求下列矩阵的逆阵 例 5 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵四、可逆矩阵的性质可逆矩阵有以下性质：性质 1 如果 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则AB 也可逆，并且( AB ) -1 = B -1A -1 .性质 1 可以推广到多个可逆矩阵相乘的情况：即如果 n 阶矩阵 A1 , A2 , , At 都可逆，则A1 A2 At 也可逆, 且(A1 A2 At)-1 =At-1 A2-1A1-1 .性质 2 如果矩阵 A 可逆，则其转置矩阵 AT也可逆，并且( AT ) -1 = ( A -1 ) T.性质 3 如果矩阵 A 可逆，则对于非零常数 k, k A 也可逆，并且性质 4 如果矩阵 A 可逆，则例 6 设有分块矩阵其中 A11 , A22 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵 ( 注意：本题中的 Aij 是子矩阵而不是代数余子式)，A12 为s r 矩阵，O 为 r s 零矩阵.试证明 A 可逆，并且特别