概率与概率分布课件

1、第 3 章 概率与概率分布3.1 随机事件及其概率3.2 随机变量及其概率分布3.3 大数定律与中心极限定理第1页，共55页。3.1 随机事件及其概率随机试验与随机事件随机事件的概率概率的运算法则第2页，共55页。随机试验与事件随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。随机试验：对随机现象的试验或观测，它必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。第3页，共55页。随机事件（事件）：在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果。试验

2、的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为 (i=1,2,，n)。集合 =1 ,2 , ,n称为样本空间，中的元素就是样本点。第4页，共55页。例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以=1，2，3，4，5，6为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一事件就不是简单事件，它是由基本事件1，3和5组合而成的。我们通常用大写字母A，B，C，来表示随机事件，例如，设A

3、表示“出现点数是奇数”，则A=1，3，5；设B表示“出现点数是偶数”，则B=2，4，6。第5页，共55页。概率的定义概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率，是对随机事件发生可能性的度量。 进行n次重复试验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为：P(A)=p。在古典概型场合, 即基本事件发生的概率都一样的场合:第6页，共55页。例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。(1) 从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有多大？ (2) 从中随机摸出2只

4、球，一问2只球都是白球的概率有多大? 二问2只球一白一黑的概率有多大? 三问2只球都是黑球的概率有多大? 解：(1) 由于摸出的任何1只球都形成一个基本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即A=白球，白球，有利场合数m=2。因此，刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4第7页，共55页。 (2) 由于摸出2只球才成一个基本事件，所以样本点总数为 故P(A)=P(2只球都是白球)=1/ =1/10P(B)=P(2只球一白一黑)=23/10=6/10P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10NOTE: P(A+B+C)=1第8页，共55页。概率的

5、基本性质性质1 1P(A)0。性质2 P()=1。性质3 若事件A与事件B互不相容，即AB=，则P(AB)=P(A)+P(B)。推论1 不可能事件的概率为0，即：P()=0。推论2 P( )=1-P(A), 表示A的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。第9页，共55页。概率的运算法则加法公式用于求P(AB)“A发生或B发生”的概率互斥事件（互不相容事件）不可能同时发生的事件没有公共样本点P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )互斥事件的加法公式 ABP ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )第10页，共55页。互补

6、事件互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件互补事件的概率之和等于1AA例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6 。第11页，共55页。相容事件的加法公式 相容事件两个事件有可能同时发生没有公共样本点相容事件的加法公式 （广义加法公式 ）ABP ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) ABAB 事件的积（交）AB 事件的和（并） 第12页，共55页。概率的运算法则乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。也即 “A发生且B发生”的概率 P(AB) 先关注事件是否相互独立 第13页，共55页。（1）条件概率条件

7、概率在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B)条件概率的一般公式：乘法公式的一般形式： 其中 P(B) 0 P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B) 第14页，共55页。P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了（1）条件概率一旦事件B已发生ABABBAB第15页，共55页。事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B)独立事件的乘法公式： P(AB) P(A

8、)P(B)推广到n 个独立事件，有：P(A1An)P(A1)P(A2) P(An) 第16页，共55页。概率的运算法则全概率公式完备事件组事件A1、 A2、An互不相容，AA2An且P(Ai ) 0（i=1、2、.、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、 A2、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：第17页，共55页。概率的运算法则贝叶斯公式全概率公式的直观意义：每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai 导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai 引发的概率的总和 相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率贝叶斯公式（逆概

9、率公式） （后验概率公式）第18页，共55页。贝叶斯公式若A1、 A2、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有： 计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率 第19页，共55页。3.2 随机变量及其概率分布 一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布第20页，共55页。一、随机变量的概念随机变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写

10、字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举第21页，共55页。二、随机变量的概率分布 1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度 3. 分布函数第22页，共55页。1. 离散型随机变量的概率分布X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质： （1） pi0，i=1,2,n； （2）第23页，共55页。离散型概率分布的表示：概率函数：P(X= xi)= pi分布列：分布图X = xix1x2xnP(X =xi)=pip1p2pn0.60

11、.300 1 2 xP( x )图3-5 例3-9的概率分布第24页，共55页。2. 连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f (x)和分布函数F (x) 图 形概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f (x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示第25页，共55页。概率密度f (x) 的性质（1） f (x)0。概率密度是非负函数。（2）所有区域上取值的概率总和为1。 随机变量X在一定区间（a，b）上的概率： f(x)xab第26页，共55页。3. 分布函数

12、适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义： F(x)PXx连续型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 F(x)f(x)xx0F ( x0 )分布函数与概率密度第27页，共55页。三、随机变量的数字特征 1. 随机变量的数学期望 2. 随机变量的方差和标准差 3. 两个随机变量的协方差和相关系数第28页，共55页。1. 随机变量的数学期望又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量 X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X 的数学期望： 第29页，共55页。数学期望的主要数学性质若k是一常数，则 E (k X) k E(X) 对于任意两个随机

13、变量X、Y，有 E(X+Y)E(X)E(Y) 若两个随机变量X、Y相互独立，则 E(XY)E(X) E(Y) 第30页，共55页。2. 随机变量的方差方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：第31页，共55页。方差和标准差标准差方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若两个随机变量X、Y相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y) 第32页，共55页。3.两个随机变量的协方差和相

14、关系数协方差的定义 如果X,Y独立（不相关），则 Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X) E(Y) 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。 第33页，共55页。相关系数相关系数具有如下的性质：相关系数是一个无量纲的值 0| | 0当=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当 | |=1，两个变量完全线性相关 第34页，共55页。 四、常见离散型随机变量的概率分布 1. 二项分布 2. 泊松分布 3. 超几何分布第35页，共55页。1. 二项分布n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都

15、是 p n 次试验相互独立。第36页，共55页。1. 二项分布在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为 X B(n , p)二项分布的概率函数： 二项分布的数学期望和方差： n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）第37页，共55页。二项分布图形p0.5时，二项分布是以均值为中心对称p0.5时，二项分布总是非对称的p0.5时峰值在中心的右侧随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示第38页，共55页。2. 泊松分布 X 服从泊松分布，记为XP(）:E(X)=D(X)=当 很小时，泊松分布呈偏态，并随着增大而趋于对称当为整数时

16、， 和（-1）是最可能值第39页，共55页。泊松分布（应用背景）通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数服从泊松分布的现象的共同特征在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计当n很大而 p又很小时，二项分布可用参数np 的泊松分布近似第40页，共55页。3. 超几何分布 N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X

17、服从超几何分布，记为XH(n,N,M ) 数学期望和方差:N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N)第41页，共55页。五、常见的连续型概率分布1. 均匀分布X只在一有限区间 a，b 上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：X 落在子区间 c，d 内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关f(x)a c d b xP(cXd)第42页，共55页。2. 正态分布XN (、 2 )，其概率密度为：正态分布的均值和标准差 均值 E(X) = 方差 D(X)= 2 - x 3 的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在 - 3，+ 3 区间内广泛应用:产品质量控制判断异常情况图3

18、-12 常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中） -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 z -3 -2 - + +2+3x99.73%95.45%68.27%第46页，共55页。用正态分布近似二项分布XB (n，p) ，当n充分大时， XN (n p，np(1-p)用正态分布近似二项分布的前提n很大，p不能太接近 0 或 1（否则二项分布太偏）一般要求np和np(1-p)都要大于5如果np或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似第47页，共55页。3.3 大数定律与中心极限定理 一、大数定律 二、中心极限定理第48页，共55页。独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。独立同分布大数定律设X1, X2, 是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)和方差D(Xi ) 2（i=1,2,），则对任意小的正数, 有： 第49页，共55页。独立同分布大数定律该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望的偏差任意小的概率接近于1。 该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。 第50页，共55页。贝努里大数定律设m是n次独立重