高考数学第一轮点拨复习之直线平面问题易错点分析测试题

1、直线、平面问题易错点分析直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不清、 主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考一、概念不清例1如图1-1,二面角a - AB - P为锐角，E、F为两个面上的两点，E w a , F w P ,若E、F到棱AB的距离EC=FDo求证：EF与平面a,P所成的角也相等。错解如图1-1 ,在平面口，日内，分别过 E、F作 ECAB、FDLAB,垂足为 C、Do 连结 ED、FD。 EC=DF ,CD=CD ,RtAECDRtAFDCo /.ED=FC ,又 EF=EF , .ECFA FDE

2、。 ./ EFC=Z FEDo即EF与平面a, P所成的角相等。辨析由题意，EC只垂直AB,而不垂直于平面 P ,根据直线与平面所成角的定义知,ZEFC不是EF与平面P所成的角，而/ FED也不是EF与平面口所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。正解垂足。连结如图 1-2,作 EG ot , G、H 为GF、EH,则/ EFG、/ FEH 分别是EF与P、口所成的角。连结CG、DH。. AB XEC,由三垂线定理的逆定理，得ABXCGo / ECG 是二面角 a AB P的平面角。同理，/ FDH也是二面角口 AB P的平面角。ECG=/HDF。贝

3、U RtA EGFRtAFHEo 则/ EFG= /FEHo故EF与平面口，P所成的角也相等。二、主观臆断例2角，求顶点错解矩形ABCD中，AB=3 , BC=4,沿对角线 AC折成直二面 B和D的距离。如图2,在直二面角的面 ADC内，自D作DEL AC于E,连BE、BD ,贝U BD为 所求的距离。; DEXAC,DE、BE同为两个 全等直角三角形斜边 AC上的高，DE=BE=(AD DC )： AC= (4X3) : 5=1；。.平面 ADC _L 平面 ABC , . / DEB=90 0BD= . BE2 DE2 = ,2DE= 12 25辨析 错解中认为BE是 Rt ABC斜边上的

4、高，而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。正解 作 BF=DE= 12 , EC=DC 2 : AC= 9 , EF=AC-2EC=5- 18=-。在 RtA BFE555 5中，BE = BF2 EF2广 ，在 RtBED 中，BD=jBE2+DE2。三、随意使用“同理可证”例3如图3,已知平面ct 平面P ,线段AB分别交u、P于M、N ,线段AD分别交0、P于C、D ,线段BF分别交0、P于F、E ,若错解aJP，平面AND分别交a、 P于MC、ND 。MC ND。同理MF 口 EN , FC ED。由等角定理,得.FMC =END,/MFC =/NED。FMCF

5、MEND。AM图 AN mAM =m , BN =n , MN = p ,求 END 和 FMC 的面积之比。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 22$ END _ EN _ m P2 一2 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document SA FMCFMm辨析 在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用“同理可证”。上述证明中，平面AND于a、P交于MC、ND ,得MC LND ，平面BFM于a、P交于FM、EN ,得FM EN ,可用“同理可证”，但 FC LED就不能用“

6、同理可证”，因为 BF、AD可能共面，也可能异面，故 fc Led不一定成立，则两个三角形不一定相似。正解aJP，平面AND分别交a、P于MC、ND。 MC 哑 。同理MF 口 EN。M NE BNN MF BMN D=。M A MmP M oC二EB BFnnc1SAned = ND NE sin . END 2MC MF sin. FMCn m pSA FMC m n pEND n mEND和 F M C的面积之比为四、作图有误例4如图4 1 ,设二面角 P-EF-Q ,从点A分别作AB，平面 P,作AC，平面Q(B,C 为垂足)，若 AB=3, AC =1 , N BAC = 600.求

7、二面角 P EFQ 的度数。错解 过A,B,C三点的平面和平面P,Q分别交于BD、CD o /EFAC , EFXABo . EF,平面 ABDC。 为所求二面角的平面角。 由/ BAC=60 平面角P-EF-Q的度数为120。辨析满足条件：AB=3 , AC=1 ,BD EF, CDXEF,故/ BDC ,故/ BDC=120 ,即二面角的/A=60 , / BDC=120 的四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不， 而是 在二面角外，由于作图有误，导致计算错误，正解 如图4-2,过点A、 B、C的平面与 EF垂直，故/BDC 为二面角。 AD 为 A 至ij EF 的距离

8、，; RtAADB、RtAACD 在同一平面内，且 AD为公共边，A、C、B、D四点公圆。，/ BDC= / BAC=60 0 ,故所求二面角 P-EF-Q两度数是600。五、考虑不周例5在直二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一条射线和棱成450角，求这两条射线间的尖角。错解 如图5-1 ,直二面角d-豆-P , AE ot ,且/ BAD= / CAD=45取 AB=AC 过 B 作 BC, a 交 AC 于 C,连ZBD-RtA BDA RtA CDA.RtABDC,AB=AC=BC .则 BAC 为正三角形。 . / BAC=60辨析 解题时，因考虑不周， 只考虑了 AC、AB同向

9、的情况，而漏 掉了反向的情况。正解 （1）如图5-1,当AB、AC同向时，/ BAC=60(2)如图5-2,当AB、AC反向时，取 AB=AC=m ,作BDa于D , CEa 于 E。这里/ BAD= / CAE=45 ,在 BDA 中,BD=AD=在 DACACBFD图4- 1oAT E图5-1B图5-2220 J10DC= VAC2 +AD2 -2 AC AD cos1350 =-m。2在 RtABDC 中 BC= BD2 +DC2 =v3m,AB2 AC2在 ABC 中 COS / BAC=-BC22 AB AC/ BAC=120 。故所求两射线间的夹角为 60。或120。六、特殊代替一般例6 已知平面a /平面P ,线段AA 、BB夹在两平行面之间，若E、F分别是线段AA 、BB的中点。求证：EF /平面a , EF/平面P1图6-1图6-2A1 BE :.FO F错解如图6-1,平面 a / 平面 P ,AB / A B 。四边形A A B B是梯形; EF为梯形A A B B 的中位线，EF/AB, EF/A BEF / 平面 a , EF/ 平面 P 。辨析 一般来讲，AB与A B是异面直线， 于是A A 与B B不平行， 四边形 A A B B是空间图形，因此