高考数学二轮复习专题五立体几何新人教版

1、【专题五】立体几何【考情分析】.立体几何内容既承担着对逻辑思维能力的考查，又承担着对空间想象能力的考查， 常以选择题、填空题的形式全面考查线线、线面、面面等空间位置关系，难度适中， 纵观历年的高考题一定有一个立体几何的解答题，考查平行、垂直的证明及面积、 体积的计算等，难度中等，理科还可以以空间向量为工具证明位置关系或求空间中 的角和距离等.高考的另一个新趋势是以立体几何为载体，考查函数、解析几何等 的知识交汇点的综合题.立体几何考查的重点有：空间几何体的结构特征、空间几何体的侧面积、表面积和 体积、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，三视图是新教材的内容，已经成 为了必考的重点知识点.等体

2、积转化法、割补思想是该部分考查的主要思想方法.【知识交汇】.充分、必要条件与点线面位置关系的综合高考对简单逻辑用语中的充分、必要条件的考查，主要通过与其它部分的综合问题出 现，而与立体几何相综合的问题最为普遍，通过这种形式主要考查对充分、必要条件 的理解和立体几何部分的几何体、点线面的位置关系等严密性问题.例1 .已知“，3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“a _L P ”是“ m _L P ”的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案：B解析：由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面口内的一条直线，m_L P ,则口 _L P ；

3、反过来则不一定.所以“ a _L P ”是“ m _L P ”的必要不充分条件.例2.设a, b是两条直线，a, 口是两个平面，则a _L b的一个充分条件是()(A) a_La,bP,aJ_P(B) a_La,b_L P,ot/P(C) a 二菖b _ ：-/-(D) a 二，b二 _ 1答案：C解析：由b_LP, a II P得b_Lu ,又a = u,因此可知b _L a ,故a _L b的一个充分条件是C,选C.解决此类问点评：此类题目主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.题的关键是弄清楚点线面之间的位置关系的判定.此类小题是很容易出错的题目，解答时要特别注意.三视图

4、与几何体的面积、体积的综合空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，新课标地区的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏易题.随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加.例3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）俯视图 正（主）视图侧（左）视图答案：D解析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，其表面及为：S =4冗父12+冗X12 M 2 + 2冗X1父3 =12冗.，故选D. TOC

5、 o 1-5 h z 点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积.既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法.例4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3.答案：18卜解析：该几何体是由两个长方体组成，下面体积为1 M 3 M 3 = 9,上面匚二|1I的长方体体积为3M3M1 =9,因此其几何体的体积为 18.1I点评：此题主要是考查了几何体的三视图， 通过三视图的考查充分体现u了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法.一健视图.几何体与线、面位置关系的综合以空间几何体为载体考查直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直的判

6、定与性质定理，能用判定定理和性质定理证明线线平行或垂直、线面平行或垂直、面面平行或垂直，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题.例5. 正方体 ABCD-ABiCD中O为正方形 ABCDW中心，M为BB的中点,求证：(1) DO/平面ABG;(2) DiO面 MAC证明：(1)连ZBDBR分别交 AC,ACO,O1在正方体ABCDABCiDi中，对角面BBiDiD为矩形：O,Q 分别是 BD,BQi 的中点二 BO/ DOi,四边形BOIDIO为平行四边形BOI/DIO：DiO 平面 ABG, BQ u 平面 ABCi二 DO 平面 ABG在正方

7、体ABCDABCIDI中，对角面BBDiD为矩形且(2)连结MO ,设正方体 ABCDABICIDI的棱长为a,BB =a,BD = .2aO , M分别是BD, BB的中点a.2.BM , BO =OD =aBM BO 二OD - DDI - 2Rt MBO 三 Rt QDD . BOM -DDpBOM +NDQD =90.，即: 在 RUODDi 中，NDDO 十NDOD =90”DIO_ M O在正方体ABCDABQIDI中DDI _L 平面 ABCD :. DDI .L AC又：AC_LBD, DD1nBD = D ，AC，平面 BBQQDiO 仁平面 BBDiD - AC -L DO

8、又 AC。MO = O - DiO -L 平面 MAC点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理.4.空间向量与空间角和距离的综合用空间向量解决立体几何问题的基本步骤：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之 间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）.例6.如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1cl D

9、中，底面 ABCD为等腰梯形，AB/CD, AB=4,BC=CD=2 AA 1=2, E、E1、F 分别是棱 AD AA1、AB的中点.证明：直线EE1平面FC。；求二面角B-FC1 -C的余弦值.解析：解法一：（1）在直四棱柱 ABCD-AB1c1D1中，取AB的中点F1,连接 AD, C1F1, CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD,/，一所以CD=AF1, A1F1CD为平行四边形，所以 CF1/A 1D,又因为E、EI分别是棱 AR AA1的中点，所以 EB/AQ,所以CF1/EE 1,又因为EE1辽平面FCC，CF1 U平面FCC，所以直线EE1/平面FCC .（2）因

10、为AB=4, BC=CD=2 、F是棱AB的中点，所以 BF=BC=CF BCF为正三角形, 取CF的中点 0,则OB CF,又因为直四棱柱 ABCD-AB1c1D1中，CCL平面 ABCD所以CCLBQ 所以0BL平面 CCF,过0在平面CCF内作0PLCF,垂足为P,连接BP,则/ 0PB为二面角B-FC1 -C的一个平面角,在 RtCCF 中， 0PSCCF, 1.0P 0FCC1C1F12 .0P= 2 = ，22 222在 BCF为正三角形中， 0B = J3 ,在 Rt OPF 中，BP = JOP2+OB2 = J,+3=14工 _cos ZOPB = 0P - -2 = -7

11、,BP , 1472所以二面角B-FC1-C的余弦值为解法二：（1）因为 AB=4, BC=CD=2F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF BCF为正三角形,因为ABCM等腰梯形，所以/ BAC=/ ABC=60 ,取AF的中点M,连接DM则DML AB,所以DML CD以DM x轴，DC为y轴,DD为z轴建立空间直角坐标系,则 D (0, 0, 0), A(事,-1 , 0), F ( J3, 1, 0), C(-1, 0), Ei (6，-1 , 1),2所以 ee1=（，-：，i），CF =(、.3,-1,0) , CG =(0,0,2) FCi=(，3,1,2)n CF = 0I ：3

12、x _ v = 0设平面CCF的法向量为n = (x, y,z)则0 T 所以4 y 0 n CCi =0. z = 0取 n=(1, J3,0),则 n31EE1 =13 10122=0,所以 n_LEE1所以直线EEi平面FCq.,K -R FB =0 ,y1 三0I -3x1 y1 2z1(2) FB =(0,2,0),设平面 BFC的法向量为 n1 =(%,%,乙)，则T 所以 n F 0,取 n1 =(2,0,，则 n n =2黑1 -730 + 073 = 2, 二0|n 尸由 +(石)2 =2,| n尸 &2 +0+(石)2 =/7, 所d 扁17 j由图可知二面角 B-FC1-

13、C为锐角，所以二面角 B-FC1-C的余弦值为 旦.点评：本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力， 以及应用向量知识解答问题的能力， 向量法求二面角是一种独特的 方法，因为它不但是传统方法的有力补充， 而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的 求二面角问题.向量法求二面角通常有以下三种转化方式：先作、证二面角的平面角T OAOBZAOB ,再求得二面角的大小为 arccos | I,；先求一面角两个半平面的法向重叫，n2g0B（注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面角的大小为arccos ” 或其补n1 In2角；先分别在二面角

14、两个半平面内作棱的垂线（垂足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角.【思想方法】【例1】在半径为13的球面上有A , B, C三点，AB=6, BC=8 CA=10,则球心到平面ABC 的距离为 .答案：12解析：由AABC的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过 A, B,C三点小圆的直径即为 10,也即半径是 5,设球心到小圆的距离是 d ,则由d2 +52 =132 ,可得d =12 .【分析】该题体现了方程函数思想的考查，构造方程求解立体几何中的几何量是考题中经常性的问题，其解法一般要根据题意构造方程来求解.【例2】已知二面角a -l- 3为60o ,动点P、Q分别在面a、3内，P

15、到3的距离为 J3 , Q到a的距离为2J3,则P、Q两点之间距离的最小值为（）A. 1 B . 2 C . 2V3 D . 4解 析： 如 图 分 别 作QA_La于A,AC _Ll于C,PB 1 P于B,PD _Ll于 D ,连 CQ,BD则/ACQ=/PBD =60：AQ=26bP = , AC=PD=2又PQ =、AQ2 AP2 = 12 AP2 -2 .3当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值.故答案选C.【分析】该题考查了函数思想和数形结合思想，立体几何中的最值问题一般要用函数法或均值不等式法，该题通过构造PQ关于AP的函数，借助图象看出当 点A与点P重合时取最小值.【例3】

16、已知正四棱柱 ABCDA1BC1D1中,AAi = 2AB ,E为AA重点，则异面直线BE与CD,所形成角的余弦值为3.1010A里10解析:本题考查异面直线夹角求法，利用平移,CD / BAEBA中/ ABE 即可，易知EB=J2 , AE=1 , AB= 5 ,故由余弦定理求 cos Z ABE=3J010答案:【分析】该题体现了转化与化归思想的考查，对与异面直线的夹角的求解,一种方法是通过这种平移的方法将所求的夹角转化为三角形中的内角,通过解三角形即可.另一种是利用空间向量这一工具来求解.【专题演练】1.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为冗，则球的体积为（A.8、2 二38.

17、2 二32 二.给定空间中的直线l及平面a,条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的（）条件A.充要B .充分非必要C .必要非充分D .既非充分又非必要. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）36 12 236 24,2A. 2n +2g B . 4n +273小2,32,3C . 2D . 4二一.设OA是千O的半径，M是OA的中点，过 M且与OA成45角的平面截球 O的表面得到圆C若圆C的面积等于,则球O的表面积等于45. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为(A) 48+12夜(B) 48+24夜B.如图，在三棱锥 P-AB

18、C中，/PAB是等边三角形,/ PAC / PBB90 o(I )证明：ABL PC(n)若PC = 4,且平面PAC，平面PBC , 求三棱锥P-ABC体积.如图，在四棱锥P_ABCD,底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,PA = AD=4, AB =2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面 交PD于点M .(1)求证：平面 ABM，平面PCD ;(2)求直线PC与平面ABM所成的角；(3)求点O到平面ABM的距离.【参考答案】.答案：B1,又与球心距离为1= 球的半径是 J2,解析：截面面积为 n二截面圆半径为所以根据球的体积公式知 V球=生虫_=8应，故B为正确答案. 33.答案

19、：C解析：直线与平面 o内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a垂直，即充分性不成立.因此选C.答案：C解析：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2n ,四棱锥的底面边长为 衣，高为J3,所以体积为1M (我)2父J3=H3所以该几何33.答案：8兀解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算,7H由 S =4 二R2 =4 二(4；4 )2= 8二.14 二5.答案：A解析：棱锥的直观图如右，则有PO= 4, OD= 3,由勾股定理，得 PD= 5, AB= 642 ,全面11积为：一X6X6+2X X6X 5+ X672 X4=48+

20、12 2 ,故选 A.226.解析：(I)因为APAB是等边三角形， NPAC =/PBC =90, 所以 RtAPBC 三 RtAPAC ,可得 AC = BC .如图，取AB中点D ,连结PD , CD ,则 PD 1 AB , CD 1 AB ,所以AB _L平面PDC ,所以 AB _L PC .(n)作BE _L PC ,垂足为E ,连结AE .因为 RtiPBC 三 RtAPAC , 所以 AE _L PC , AE = BE .= 90.B,ACEB都是等腰直角三角形.由已知，平面 PAC _L平面PBC ,故/AEB因为 RtMEB 与 RtAPEB ,所以 AAEB,APE由已知PC =4 ,得AE =BE =2 , AAEB的面积S=2 .因为PC _L平面AEB ,所以三角锥P-ABC的体积18V =-MSMPC = . 337.解析：方法(一)