高考数学圆锥曲线的定义及应用

1、圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨 迹叫做椭圆。即：P| |PFl|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即P|PF1HPF2|=2a, (2a|F1F2|)。.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。二、圆锥曲线的方程。 TOC o 1-5 h z i 222x yy x.椭圆： + + b =1 (ab0)或/ + 方” =1 (ab0)(其中，a2=b

2、2+c2)222x yy x.双曲线：a2 - b2 =1 (a0, b0)或 a2 -扭=1 (a0, b0)(其中，c2=a2+b2).抛物线：y =i2Px (p0) , x =2py ( p0)三、圆锥曲线的性质a 2工 y.椭圆：+2 +=1 (ab0)(1)范围：|x| 吗a |y| 0, b0)(1)范围：|x| a,R(2)顶点:(i,0)(3)焦点：(七,0)C(4)离心率：e=值C (1,+却(5)准线：x= E(6)渐近线：y=_: x.抛物线：y =2px(p0)(1)范围：x0,代R(2)顶点：(0,0)P(3)焦点：(2 ,0)(4)离心率：e=1P(5)准线：x=

3、- 2四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2,长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是 解：由题：2b=2 , b=1, a=2, c=二.，=，；则椭圆中心到准线的距离:注意：椭圆本身的性质(如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等)不受椭圆的位置的影响。例2.椭圆加+ 4 =1的离心率e= 2 ,则m=。活 7 1解：(1)椭圆的焦点在 x轴上，a2=m, b=4, c?=m-4, e?=1= 冽 =2 = m=8。c2 4-活 1(2)椭圆的焦点在 y 轴上，a =4, b =m , c =4-m , e = = 4=2 = m=2。注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下

4、，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。22x y例3.如图：椭圆 史+按=1 (ab0) , F为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF J x轴，且PO/AB,求椭圆的离心率 eo解：设椭圆的右焦点为f2,由第一定义:|PF1|+|PF2|=2a,222|PFl|+|FlF2|=|PF2| ,2即(|PF2|+|PF/)(|PF2HPFi|)=4c ,成Lq n Fl尸口 oPO/AB ,A PQs BOA,*C L段四17 立IFi。| 10A n c =n C=b = a= h c, e=a = 2 。又解，,PF，x轴，设 P(-c,y)。包? ?从J 由第二定义：力=e=

5、 |PF1|=e(x0+ 匕尸以(-c+。)= n ,旦由上解中PH)s/BOA,得到 b=c=e= 2 o例4.已知f1，F2为椭圆100 + 64 =1的焦点，p为椭圆上一点，且/ FPF2=求 af1pf2立冗的面积。分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间1222274X36=4c 二尸式2| =|PF/+IPF2I -2|PFd|PF21cos 3 ,即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF111PF2|=4 36,256|PFi| |PF2|= TOC o 1-5 h z 1 25664 r . sa=5xTxT = -o1 1解法二:SA= 2

6、 |FiF211yp尸 2 X12Vp=6|Yp|,m3由第二定义：二=e|PF1|=a+exP=10+ - xP,3由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP,3311-4c2=|F1F2|2=(10+ - xP)2+(10- - xP)2-2(10+ - xP)(10- - xP)cos,0一士 : 及 e144=100+ 25 % = % = 27, % =64(1- 100 )=64 x27 ,S6MpI=6注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。例5.椭圆12+3 =1的焦点为F和F2,点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上

7、，求:IPFiI, IPF2I0|PF1|, |PF2|的表达式写出来,PF2/y轴，PF2，x轴,分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于 再求解。解：如图，。为F1F2中点,PF1中点在y轴上,由第定义:|PF1|+|PF2|=2a=4 ,|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,(IPFi|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4 9=36,|期|十|明|二40r y例6.椭圆：25+9 =1内一点A (2, 2) , F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|解：的最值。|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2| -1AF

8、2|=10-2 血。注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 y例7.已知：P为双曲线 -户=1 (a0, b0)上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。of明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为0 A1A2中点为O,1|0。/ |二2 |PF2|,圆 O半径为 2 |A1A2|,圆。/ 半径为 2 |PF1|由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|Ill2 IPF1I-1 |A1A2|=1 |PF2|=|OO|两个圆相内切。注意：可以自己证出陈左支时，两圆相外切。例8.已知：过抛物线y

9、2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于P,Q两点。求证：以线段 PQ为直径的圆与准线相切。证明：由定义知，如图：|PP |=|PF|, |QQ/ |=|QF|1 1|PQ|=|PP/ |+|QQ/ |, 2 |PQ|=2 (|PP/ |+|QQ/ |),故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。五、课后练习 y_.椭圆49 + 24 =1上一点p与椭圆两焦点连线互相垂直，则APFF2的面积为()A、 20 B、 22 C、 28 D、 24.若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且 国ij渐近线距离为,则a+b=()1 2 1A、-2B、2 或2 C、-2或 2 D、2或-2 TOC o 1-5 h z .焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是()A、y =16x或x =16y B、y =16x或x =-16yC、x =-12y 或 y =16x D、x =16y 或 y =-12x221铲y_L4