高等数学基础作业答案

1、WOR幅式可编辑高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续(一)颜握1.F列各函数对中，(C)中的两个函数相等.A.f(x)(x)2 g(x)xB.2 f(x)x = g(x)x2二 x1C.f(x)lnx2.设函数f(x)3，g(x)3lnxD.f(x)x1_* +2c的定义域为(，)，则函数g( x) x1f( x) f(x)的图形关于(C)对称.A.坐标原点B.x轴C.y Dfeyx3.下列函数中为奇+函数是(B).2A.yln(1x)B.yxcosxC.x xaayD.yln(1x)24.下列函数甲为基本初等函数是(A.yx1B.yxC.5.2 yxD.下成限存各算不正确的

2、是(2=_xA.lim12xxB.limln(1x)0 x0Av -C.lim0 x6.当x0A.2 sinx1D.limxsin0 xx时，变量(C)是无穷小量.sin xB.C.x 一 1sinln(x2)D. x x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量7.若函数f(x)A.limf(x)f(x xx 0C.limf(x)f(x xx 0在应xo满足 A) ,+则f(x)在点xo连续0)0)B.f(x)在点xo的某个邻域内有定义D.limf(x)limf(x)xxx00填空题2x91.函数 f(x)ln(1x)xx3 或 x3的定义域是. x3专业知识整理分享WOR幅式可编辑2.已知函数2

3、2f(x1)xx ,则 f(x) . xx3.lim . 2(1)ex2x专业知识整理分享WOR幅式可编辑1x 二(1x),x0 TOC o 1-5 h z 4.若函数f(x) |+2广，在x0嫩k. e+ -xk,x0-x1 , x0.函数y的间断点是“0 T-sinx,x0.若limf(x)Axx时，f(x)A 称为无穷小量,则当 0 xx 0三计制.设函数f(x)求：f(2),f(0),f(1)解：f(2)2f(0)0 f(1)点评:求分段函数的函数值主要是要她那点是在哪一段上。即正确选择某段函数。2x1.求函数y Jglg的定义域.2x1解：欲使函数有意义，必使lg02x1即：1x亦即

4、：2x1xx解得函数的定义域是：x1w点评：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化 范围.在半径正 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.解：设梯形的高CM=x则梯形的上底DM“22DC2Rx 下底 AB2R2x2 R2x 2RxR2)则梯形的面积(2 s-2 2x2RxxRR)(0) sin3x 4,求 limxsin2 xlim 解：原式=3x02 lim x0sin3x3x sin2x2x专业知识整理分享WOR幅式可编辑点评：正确利用两个重要极限，将函数作适当变形 2 11).求lim xsin(1x专业知识整

5、理分享WOR幅式可编辑lim(x1 )x12_ T 一十Xi解：原式=lim2sin(x1)sin(x1 )x1 1 lim TOC o 1-5 h z Tx11x x1 点评：正确利用两个事要极限,将函数作适当变形O t tan 3x tt.求 lim x0 xsin3xf sin3x1sin3x11解:+cos3x lim3lim3limlim313xcos30 xxxx3xx03x00 xcos31+ 点评：同上。,2 1 TOC o 1-5 h z .求1x I I I Ilimt二,4：牛 1xsin0 x22,T，(1x1)(1x1 )x1T解：原式=limlimlim010sin

6、xx02x02x0 (1x1)sinx1x1 - x +；I T灾点评：同上。8.求x1 xlimK) .一xx3t x解：原式=limx x=lim 1 xxx331 一x1=limx3xx3=lim 1-3xx44 x3x3x34x34x3x33-=lim1x33lim =1xx3289 求 x6xlim421xx34444lim =e4xdx5x专业知识整理分享WOR幅式可编辑2213x42(x2)，f(x)x,1x1x1,x1讨论f(x)的连续性，并写由其连续区间点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要喇野(x)然后再由函数连续性的定义判断解：先看函数在分段点x1 处的情况，V li

7、m ()lim(1)110fxxx1x1以( ,( x 4)(x2)x解：原式=limlimx4( x4)(x1)x10.设函数在该点处的左右极限情况,专业知识整理分享WOR幅式可编辑lim(limx1 Xx1/. lim)1im()T-fxfx xlxl，x1为函数f(x)电间断点。,故 lim -x1不存在。x再看函数在分段点 x1 处的情况,. lim ()lim1fxxx1x12lim fxx-2)1 t1)lim(=xx1 = .lim 坦 lim(),故 lim f(x) 1。fxfx三=x1x1x1又因为f(1)x1x1所以 lim ()(1)fxfx1故x1是函数f(x)的连续

8、点。函数f(x)在连续区间是：(,1)(1 .)高等数学基础第二次作业(一)颜握1.设0)0且极限A.f(0)B.f(0)C.f(x)D.0第3章导数与微分二Tm f (x)存在，则 lim f(x)(B)0 xx0 x+ A -_4 Aif( x2h)2.设x)在x0可导，则0limh2h0V - A.2f(x 0)B.f(x 0)f(x0)(D)C.2f(x 0)D.f(x 0) x f(x)e ,则3.设limx0f(1x)f x(1)(A)A.eB.2e1 D.e41 C.e24.设x)x(x1)(x2)(x99)A.99B.99C.99!D.99!.下列结论中正确的是(C).专业知识

9、整理分享A.若 f(x) B.若 f(x) C.若 f(x) D.若 f(x)在点x0有极限，则在点x0可导. 在点xo连续，则在点xo可导.在点xo可导，则在点xo有极限. 在点xo有极限，则在点xo连续.WOR幅式可编辑专业知识整理分享）填空题WOR幅式可编辑1.设函数f(x)x21 xsin,x0 则0)0 .0,x0d f (lnx)2 l n x5dxx2xx2设 rz x Cf(e)e5e3.曲线=V + f(x)x1 在(1,2)处的切线斜率是4.曲线f(x)sinx兀在(,1)处的切线方跟y1 .2x2xx .5.设 yx,班21n2.设 yxlnx ,则1.求下列函数的导数/

10、 y(xx3)ey： x313解:解:2ln) y(xlnx)(xxxxxxx exexee 222 ,卜 _y(xe3)3+313x=3)exx(2)ycotxx_Z1nxcosxsinxsinxcosxcosxx2sinxsinxx1=2xlnxx2sinx2lnx解:2x ln xxln x(2ln 2x 1)2lncosx2专业知识整理分享WOR幅式可编辑解:(sinxxsinxln2n 3(cos2 x)3 2)xxx6x x2 x3cosx4x2 lnxxsinx1 (2x)sinxcosx(lnxx解：y2sinx2(12x)sinxxcos(lnx2 xsinx4 yxsinx

11、lnx专业知识整理分享WOR格式可编辑sinx3解：)y4x(cosxlnxsin x4xcosxlnx解:2 sinxxx 3(cosx2xxxxx)33ln3(sin 2x3cosx2xln3(sinx2) yetanxlnx解：y( xe1 etanx)2 cosxxx1=e(sinxcosx1)二一2cos2.求下列函数的导数 x ye _xxy：1exx解:ye2x2x ylncosxsinx解：xytancosx yxxx解：因为1117 +248yxxxx所以8yx82yx sin解：因第2sinxcosxsin2x1211yxx 2)(1 所以()2x2 sinx专业知识整理分

12、享WOR格式可编辑解： ycosxxxx 222cos2222cos2 x ycose解：y sin e e x x= xe x esin ncos yxnxsin nn 解:y(sinx)cosnxsinx(cosnx)ncoscossin(sin) 1n=nxxnxxnxn sin=sin(coscossinsin) nn1 xxnxxnx专业知识整理分享WOR格式可编辑si x nusin5解：改Uyy uu=5xxuln5cosln55 xxsincosucoscos xe解：崩euxyy uU=exex3.在下列方,程中,u(sin) cossinyy(x)是由方程确定的函数，求解：

13、将方程两边忖x求导:2yycosy s inx=2eyy)sin 移要eyx (cos2所以：yysinx2y 二cosx2e ycosylnx解：将方程阐对x求号:+ y(cosy)lnxcos y(lnx)coy ysinyylnxx移 y(Isinylnx)cos y所以：yx(1cosylnxsiny) 2xsiny2,2解:2simy2xcosyyy2xyxy2xx22yyy2x_ + . 2xcosy2simy 2 x2 y2xy2y2 cos 2xy2 simy2 y x(4) yxlny，解：因为：y1 yy1解得yy专业知识整理分享WOR格式可编辑lnxey解：将方程两边忖x

14、求导:1 x整理得：2xsin yy1ey2 eyyx(2yy专业知识整理分享WOR格式可编辑解：将方程两边忖x求导:2yyxsincosx整理得:eyey2sinyx八 cos eyx3 eey解：将方程两边忖x求导:yx32 eyey整理得:xy e 23yy52解：将方程两边忖x求导:y5xln52 yln2xln52 yln2整理得:+x5ln5y12ln2 4.求下列函数的微分dy :一 ycotxcscx解：因为 y十111cos()22sin 2sinxsinxsinxx1 cos2xsin1cosx所以dxlndy2 sinxsincosxln解：因为sinsinxsinx =

15、xcosx2 x sinx所以dy=sinxxcosx2n x dxxsinx sinx专业知识整理分享WOR格式可编辑专业知识整理分享y解：纳 2,usinx则yy uu x=2ucosx2sinxcosx =sin2x所以 dy=sin2xdx xytane解：设 ytanu,u则 yyuu xWOR幅式可编辑x=，e cos uxe2cos xex dx e所以dy=x 2cose5.求下歹扁数的二阶导数:yx解：y2x11 ()x2x xy3 x解：3ln3 yxy (3 =(3)ylnx ,ln3)3 xln 3 In 3解：yy() yxsinx解：ysinxxcosxy(sinx

16、cosx)coscox s inx2 c ox sin x(四)证明题谒x)是直导的音函数，试证f(x)是偶函数. 证明：因为f(x)是奇函数，所以又因为f( x)可导，函数f(x)为复合函数。fx)f(x)两端刈求导，得：f(x)(x)f(x)即 f(x)f(x)所以：f(x)f(x)根据偶函数的定义，f(x)是偶函数高等数学基础第三次作业专业知识整理分享WOR幅式可编辑（一）颜握1.若函数f（x）第4章导数的画满足条件（D）,则存在a, b）,使得ff(b)f(a) ().ba专业知识整理分享WOR幅式可编辑A.在(a,b)内连续B.在(a,b)内可导C.在(a,b)内连续且可导D.在a,

17、 b内连续，在(a,b)内可导 2x.函数f(x)x41的单调增加区间是(D).A.(,2)B.(1,1) + x一 + *C.(2,)D.(2,) = + 2x.函数yx45在区间(6,6)内满足(A).A.先单调下降再单调上学B.单调下降C.先单调上升再单调下.D.单调上升.函数f(x)满足f(x)0 的点，一定是f(x)的(C).A.间断点B.极值点 TOC o 1-5 h z C.驻点D.拐点右.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，(,)x0ab,若 f(x) 满足 TC),x)，=二A.f(x o)0,f(xo)0B.f(x 0)0 , f(x 0)0C.f(x 0)0 , f

18、(x 0)0D.f(x 0)0 , f(x 0)0.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且 f(x)0 , f(x)0, f(x)在此区间内是(A).A.单调减少且是崎B.单调减少且是瞰T=一C.单调增加且是由勺D.单调增加且是凹的_3() 2.设函数f(x)axaxaxa 在点x1处取得极大值2, a (1).1A.1B.31C.0D.3(二)填空题.设f(x)在(a,b)内可导，x0(a,b),且当xx0时x)0 ,当xx0时 三 二 (一 w )f(x)0 ,则是f(x)的极小值点.若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)(的极值点，则(x)0.2.函数yln(1x)的单调减少

19、区间是,0 .2.函数xf(x)e 的单调增加区间是0, . =+=.若函数f(x)在a,b内若有f(x)0 ,则x)在a, b上的最大值是f(a) 3.函数f(x)25x3x 的拐点是(0,2).= +7.若点(1,0)是函数f(x)ax23bx2的拐点，则1, b3(三)计第1.求函数专业知识整理分享WOR幅式可编辑y(x1)( x 5)的单调区间不极值.专业知识整理分享WOR幅式可编辑31=一(xx2xxxxxxy15215解：1531544131F( 222)=221 x12得驻点：x=-1x=5x=x 1，Y0+0- 0+y左端点极大, fx 在 57x57x110 1111177极

20、小115, 5,571,1111 ()=1,内单调上升，在,5771131104极大值是14rf极小值.f5。724010求国型y3( x x()=11 f731104240114内单调下降f50I在区间0,3内的极值点，并求最大值和最小佰2x 2xx解：2220y3得驻点x=1=3又当x=0 x=2时 工，f(0)=0f(1)=1f(2)=0f(3)=y玩意义，但原函数连续39x00,111,222,33无意义)0无意处+Yy0极大值极小值f(1)=1f(2)=0最小值f(0)=f(2)=0最大值是f(3)= 39 极大值 f(1)=1 极小值 f(2)=03.试确定函数 yax3bx2cx

21、d中的a,b , c ,d,(使函数,形过点(2,44)和点(1,10)，且 x2 是驻点， x1 是拐点.32的图形速(2 , 44)和点(1,10)解：yaxbxcxdx1是拐点.,且x2是驻点,专业知识整理分享WOR幅式可编辑，8x4b2cd44a=1 abcd10b=-3 12a4bc0c=-246a2130d=164.求曲绩22x上的点，使其到点 A(2,0)的距离最短.2解：设曲线2x上的点x,y ,即x,2x到A2,0的距离造d专业知识整理分享WOR幅式可编辑则 dx22242xxx2x2d0 x1暝弓）二当2x2x4*xl 时 y2即点1,2到（2, 0）的距离最短。5.圆柱体

22、上底的中心到下底的边沿的距离为 体积最大？L,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的解：设圆柱31处径为则hl 2x J 7CvxThlx2222xl2xl222xl时,大。圆柱体的体积最6.三体枳为+v的圆柱体，。呼平痉与蒿各为多少吐而积最小?解：或圆柱体的峰面手径为ix,高为上，vxhV2vs2xh2x2x2xx22222v2 x4x2xxx3 2 2v 0 x当x3h3时,v4v圆柱体的表面积最小O7.欲做一个底为正方形，容积为解：设长方体底面正方形的边长为62.5立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?则容积62.5=xhx米，长方体的高为h米,62.52x表面积:62.5 25022

23、2 sx4xhx4xx2 xx2502x250=s2x0 x=5（米） 22，x5,h2.5xx时用料最省.从面积为S 的所有矩形中，求其周长最小者.解：设矩形的边长为 x米，勉y米,sxy,y专业知识整理分享WOR幅式可编辑周长 l2x2sx22s2x2sxx则当长为s,宽s时，其周长最小。x专业知识整理分享WOR幅式可编辑l 2x则面积sxl 2x 122x.从周任的所有矩形中，求其面积最大者.解：设矩形的边的米，宽y米，l2(xy),y +、工).=二4十 x 设 fxxln1xfx10,0即 fxxln1x0 xln(1x )成立l 2x ( ) +() ()(一)单脸趣.若f(x)的

24、一个原函数是A.lnxB.1 C.x7=.下列等式成立的是(D)A.f(x)dxf(x)B.df(x)f(x)第5章不定积分第6章定积分及其加1 ,则 f(x) ( D).x一12xD.23x1lsl4x0水(唯一芦点)=24ll时，其面积最大。x则当物一，第 一48(四)证明题i.当x0时，或明不等式xln(1x).证明利用函数的单调性证明1x+1x1x潮时，有fxf0 x. 2.当x0时，证明不等式 ex1,证明利用函数的单调性证明(xxe10i。()_-x设 fxex1f fx在(0 A牵调增加当” x0时,有fxf0即fxe210，exx1成立高等数学基础第四次作业专业知识整理分享WO

25、R幅式可编辑C.df(x)dxf(x)D.f(x)dxf(x) dx.若 f(x)cosx，面(x)dx ( B)A.sinxcB.cosxcC.sinxcD.cosxcd23. xf(x)dx. dx32fx 3A.f( x )B.x()113C.f(x)D.f( x) 33.若 f(x)dxF(x)c ,则x)dxV +A.F(x)cB.2F(x)cC.F( 2x) cD.F(x ) c f -.下列无穷限积分收敛的是（B.0 edxA. V dxxC. . dx1xD.12dx(二)填空题.函数f(x)的不定积分是.f(x)dxF(x)cI =.若函数F(,x)与G(x)是同一函数的原函

26、数，则F( x)与G(x)之商关系式.G(x)=F(x)+c TOC o 1-5 h z 22xdJ -.edxdex HYPERLINK l bookmark26 o Current Document J + -=(tanx)dx . tanx+cfee若 f(x)dxcos3xc fx) . 9cos3x 6.315)d (sinxx . 31p dx收敛，虺.1 x(三)计第j-1 cos xd 1. x2111专业知识整理分享WOR幅式可编辑解：原式=cosdsincxxxxe2. dxx专业知识整理分享WOR/式可编辑x2x解：原式=2edxecaJ1dxxlnx1解：原式=dlnxln(lnx)cInx(ft，.c ，xsin2xdx1解：原式=xdcos2x2+I115.=(xcos2xsln2xc)22 .(+ ln xdxxeee :卜一解：原式=(3lnx)dlnx3dlnxlnxdlnx16.01112