专题提升（十五）巧用旋转进行证明与计算

1、专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z151)(1)以点A为旋转中心，将ABC按逆时针方向旋转30，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断 图Z151经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)ADBC，DEAC，ABAE.证明略【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口【中考变形】1如图Z152，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，A

2、E与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC，其中正确结论的个数是 (D)图Z152A1个 B2个C3个 D4个2如图Z153，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90到BP，已知APB135，PAPC13，则PAPB(B)A1eq r(2) B12C.eq r(3)2 D1eq r(3) 图Z153中考变形2答图【解析】 如答图，连结AP，PP，BP绕点B顺时针旋转90到BP，BPBP，ABPABP90.ABC是等腰直角三角形，ABBC，CBPABP90，ABPCBP.在ABP和CBP中，eq blc(avs4

3、alco1(BPBP，,ABPCBP，,ABCB，)ABPCBP(SAS)，APPC.PAPC13，AP3PA.PBP是等腰直角三角形，BPP45，PPeq r(2)PB.APB135，APP1354590，APP是直角三角形设PAx，则AP3x，根据勾股定理，得PPeq r(AP2PA2)eq r(（3x）2x2)2eq r(2)x，PBPB2x，PAPBx2x12.32017徐州如图Z154，已知ACBC，垂足为C，AC4，BC3eq r(3)，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AD，连结DC，DB.(1)线段DC_4_；(2)求线段DB的长度图Z154中考变形3答图解：(1)

4、ACAD，CAD60，ACD是等边三角形，DCAC4；(2)如答图，作DEBC于点E.ACD是等边三角形，ACD60，又ACBC，DCEACBACD906030，在RtCDE中，DEeq f(1,2)DC2，CEDCcos304eq f(r(3),2) 2eq r(3)，BEBCCE3eq r(3)2eq r(3)eq r(3).在RtBDE中，BDeq r(DE2BE2)eq r(22（r(3)）2)eq r(7).4如图Z155，在ABC中，AEBC于点E，AEBE，D是AE上的一点，且DECE，连结BD，CD.(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图，若将DCE绕

5、点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数图Z155解：(1)BD与AC的位置关系是BDAC，数量关系是BDAC.证明：中考变形4答图如答图，延长BD交AC于点F.AEBC于点E，BEDAEC90.AEBE，DECE，DBECAE(SAS)，BDAC，DBECAE，BDEACE.BDEADF，ADFACE.ACECAE90，ADFCAE90，BDAC；(2)否证明：如答图，AC与BD交于点F，AEBDEC90，AEBAEDDECAED，中考变形4答图即BEDAEC.AEB

6、E，DECE，BEDAEC(SAS)，BDAC，BDEACE，DBECAE.BFCACDCDEBDEACDCDEACE90，BDAC；(3)如答图，AC与BD交于点F.ABE和DEC是等边三角形，AEBE，DEEC，EDCDCE60，BEADEC60，中考变形4答图BEAAEDDECAED，BEDAEC，在BED和AEC中，eq blc(avs4alco1(BEAE，,BEDAEC，,DECE，)BEDAEC(SAS)，BDEACE，DFC180(BDEEDCDCF)60，BD与AC的夹角度数为60或120.5阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z156，在正三角形ABC内有一点P，且P

7、A3，PB4，PC5，求APB的度数小伟是这样思考的：如图，利用旋转和全等的知识构造APC，连结PP，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决(1)请你回答：图中APB_150_；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA2eq r(2)，PB1，PDeq r(17)，求APB的度数和正方形的边长图Z156解：(1)如答图，把APB绕点A逆时针旋转60得APC，由旋转的性质，得PAPA3，PCPB4，PAP60，APP是等边三角形，PPPA3，APP60，PP2PC2324225，PC25225，PP2PC2PC2，PPC90，中考变形5答图APCAP

8、PPPC6090150，APBAPC150；(2)如答图，把APB绕点A逆时针旋转90得到APD，由旋转的性质，得PAPA2eq r(2)，PDPB1，PAP90，APP是等腰直角三角形，中考变形5答图PPeq r(2)PAeq r(2)2eq r(2)4，APP45，PP2PD2421217，PD2(eq r(17)217，PP2PD2PD2，PPD90，APDAPPPPD4590135，APBAPD135.APBAPP13545180，P，P，B三点共线过点A作AEPP于点E，则AEPEeq f(1,2)PP2，BEPEPB213，在RtABE中，ABeq r(AE2BE2)eq r(22

9、32)eq r(13).【中考预测】(1)如图Z157，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求EAF的度数；(2)如图，在RtABD中，BAD90，ABAD，M，N是BD边上的任意两点，且MAN45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连结NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图中，若EG4，GF6，求正方形ABCD的边长图Z157解：(1)在正方形ABCD中，BD90，AGEF，ABE和AGE是直角三角形在RtABE和RtAGE中，eq blc(avs4alco1(ABAG，,AEAE，)ABEAGE(HL)，BAEGAE.同理，GAFDAF.EAFEAGFAGeq f(1,2)BAD45；(2)MN2ND2DH2.由旋转可知，BAMDAH，BAMDAN45，HANDAHDAN45.HANMAN.在AMN与AHN中，eq blc(avs4alco1(AMAH，,MANHAN，,ANAN，)AMNAHN(SAS)，MNHN.BAD