运动的守恒量和守恒定律

1、第2章 运动的守恒量和守恒定律质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 动量定理 动量守恒定律功 动能 动能定理保守力 成对力的功 势能质点系的功能原理 机械能守恒定律碰撞质点的角动量和角动量守恒定律对称性和守恒定律*2022/7/291等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。（1）功是标量，有正负之分（2）作功与参照系有关明确几点2-3 功 动能 动能定理一、功的概念1、恒力的功2022/7/292ba物体在变力的作用下从a运动到b。怎样计算这个力的功呢？采用微元法2、变力的功2022/7/293ba（1） 位移内，力所作的功为：（2）整个过程变力作功为：积分形式： 在数学形式上，力的功等于力 沿

2、路径L从a到b的线积分。F rF-r图，A=曲线下的面积2022/7/294直角坐标系：总功元功受力元位移自然坐标系：2022/7/295（1）平均功率（2）功率恒力的功率：3、合力的功4、功 率average powerinstantaneous power力的单位是牛顿（N）；功的单位是Nm，叫焦耳（J）；功的其它单位：1eV=1.610-19J；功率的单位是Js-1，叫瓦（W）。2022/7/2967例1，滑雪运动员的质量为m，沿雪道从A到B下滑高度为h，忽略摩擦力。求这一过程合力作的功。hABNmgdr解：滑雪运动员在任一位置的合力为因而合外力作功：2022/7/298 b a例2，水

3、平放置的弹簧，一端固定，另一端系一物体。弹簧的劲度系数为k，求物体从a到b所作的功。解：任一位置物体受的弹力为因而，从a到b，弹力作功为2022/7/292022/7/299功和能是物理学中的两个非常重要的概念。作功是能量转移或转化的过程，它是一个过程量，只有系统的能量发生改变或转换时，才有作功的问题。因此，功是能量交换或转换的一种度量，作功多，说明在这一过程中能量交换或转移的就多。能量变化除了作功外，还可以通过热传导方式来实现。92022/7/29二、能量energy2022/7/2910三、动能定理abdrfLvavb根据牛顿第二定律，有102022/7/29质点的动能Ek2022/7/2

4、911合外力对物体作的功等于物体动能的增量。讨论：质点的动能定理112022/7/29功是质点动能变化的量度过程量状态量（1）物体所受合外力不为零时，物体的动能一 定变吗？（2）物体所受合外力为零时，物体的动能一定 不变吗？12应用122022/7/29 注意：应用动能定理必须选择同一个参照系 2022/7/292022/7/2913例1，利用动能定理，重做例题1-13解：细棒受力分析，建立如图坐标系。在细棒下落过程中，合外力（GB）作的功为：由动能定理，初速度为0，末速度为v, 有：即得到与前面相同的结果：132022/7/292022/7/2914例2，一链条总长为 L，质量为 m，放在桌

5、面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与桌面之间的摩擦系数为，令链条由静止开始运动，则（1）链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功 ？（2）链条离开桌面时的速率是多少 ？OL - xxX142022/7/29解：设链条线密度为 =m/L1）建立坐标OX轴，链条下垂一端的长度为x。受力分析，则摩擦力：f =g(L-x)即 f = mg(L-x)/L摩擦力作功：Af = aL f.dx = -aL fdx = -aL mg(L-x)/Ldx = -mg(L-a)2/2L2022/7/2915 2）重力作功：Ap =aL mgx/Ldx = mg(L2 -a2 )/2L由动能定理，有

6、Af +Ap = mv2 / 2 - mvo2 / 2 因为 vo = 0，所以 v = 2( Af +Ap)/ m1/2 = g L2 - a2 (L - a)2/L 1/2152022/7/29OL - xxX2022/7/2916例题29，装有货物的木箱(G=980N),将其运上汽车，长l3m的模板搁在汽车后部形成一斜面，然后将木箱沿斜面拉上汽车，斜面与地面呈30度，木箱与斜面的滑动摩擦系数=0.20,绳的拉力F与斜面呈10度,大小为700N，求(1)木箱上各力所做的功；(2)合外力所做的功；（3）用起重机将木箱直接吊上汽车是否省功？F30o10o 木箱搬运的物理过程简图GFfN30o1

7、0o 木箱所受外力的示意图162022/7/29解：木箱所受的力如图所示（1）拉力F 所做的功A1重力G所做的功 A2FN1030FGf正压力 所做的功 A3 设摩擦力f 所作的功 A4根据牛顿第二定律，有2022/7/2917由此，摩擦力（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，得出合力所作的功（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 至少要等于重力 。在这个拉力的作用下，木箱移动的竖直距离是 。因此，拉力所作的功为2022/7/2918推力F 所多作的功 起的是什么作用呢？第一，为了克服摩擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余下的165J的功将使木箱的动能增加。2022/

8、7/2919202-4 保守力 成对力的功 势能一、成对力的功2022/7/29 设有两个质点1和2，质量分别为 和 ， 为质点1受到质点2的作用力， 为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。 设有两个质点1和2，质量分别为 和 ， 为质点1受到质点2的作用力， 为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。与相对位移有关2022/7/292122二、保守力（conservative force）成对力中，有一种特殊情况：如果一对力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。dr =rdrr2r1(2)dr(1)rrmM f例：

9、M和m两质点的引力作功。如图。特殊地，(1)与(2)重合，则 A12 = 02022/7/2923(2)(1)L2L1r fm2d rL=L1+L2 m1因此，保守力有另一特征：一质点相对于另一质点沿闭合路径移动一周时，它们之间的保守力作功为零。L1L2许多力都是保守力，如：引力、静电力、弹簧弹力等等。 作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： 摩擦力（耗散力）： 爆炸力：2022/7/2924摩擦力的功设当一个物体从 a 点沿某一路径运动到 b 点时，摩擦力为则摩擦力所作的功： 摩擦力作的功决定于质点运动的具体路径，路径不同，摩擦力所作的功不同。2022/7/2925三、势能（potenti

10、al energy） 利用保守力的功与路径无关的特点，可引入“势能” 的概念，以简化作功的计算。势能：由物体之间的相互作用和相对位置决定的能量。以Ep表示，也叫位能。系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，保守力做的功相应于其势能的改变的负值。势能是相对的，应先选择好势能零点。若规定系统在位形（0）的势能为零， 则：2022/7/29dr =rdrr2r1(2)dr(1)rrmM f26 势能属于相互作用的系统；势能不依赖于参考系的选择，不要将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。 引力势能（取无穷远为零势点）orEp 重力势能（取地面为零势点）orEp2022/7/2927 弹性势能（取弹簧自

11、然长度为零势点） b a在弹簧零点附近，任一位置的弹力为：弹性力是保守力orEp2022/7/2928四、势能和保守力的关系势能的定义：dl f保ml f保l =f保 cos所以有：若势能为EP (x, y, z)，则有： EP 的梯度（gradient）2022/7/2929 势能曲线重力势能引力势能弹性势能2022/7/29r0Ep（r）Or原子相互作用势能曲线势能和相对位置的关系曲线根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动及平衡的稳定性问题。可以判断物体在保守力场中所受的保守力的大小和方向。2022/7/2930保守力等于势能的负梯度保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标轴的导数的负值。势能

12、曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。找物体的平衡位置势能曲线有极值，质点处于平衡位置。2022/7/2931a.势能曲线取极小值的平衡点力总是指向平衡位置b.势能曲线取极大值的平衡点力总是背离平衡位置稳定平衡不稳定平衡a,cb2022/7/293233例1，一个在 xoy 平面内运动的质点，所受的作用力为试判断该力是否是保守力？分析：一般依靠判断因此，F 不是保守力已知2022/7/29例2-12 一质量为m=1kg的物体，在保守力F（x）的作用下，沿x 轴正向运动（x0）。与该保守力相应的势能是式中x单位为m，势能单位为J。a =1Jm2，b=2Jm（1）画出物体的势

13、能曲线；（2）设物体的总能量E =-0.50J 保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。解:（1) 根据取一些数据画出势能曲线2022/7/2934x/mEp(x)/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.55-0.44234求物体的平衡位置？令F=0得 x=1m物体的平衡位置，势能有极小值。2022/7/2935（2）当物体的总能量E=-0.50J保持不变时，令Ep(x)=E，可求得物体的Ek=E-Ep为0的位置。令解得2022/7/29362022/7/2937clear alla=1;b=2;x=0.3:0.1:5;Ep=a.

14、/(x.2)-b./x;plot(x,Ep,r,0,5,-0.5,-0.5,b);gridxlabel(x(m);ylabel(Ep(J) );38例2，长为 l 的单摆，悬系在天花板上。设初始时，摆锤与竖直方向的夹角为, 求摆锤在半径为的圆形轨道上运动，并角时的速率？解：如图所示偏离竖直方向为 摆锤在最低点时，选为势能零点=偏离竖直方向为角时，速率为 2022/7/29对质点1应用动能定理对质点2应用动能定理上两式相加，得到abcd2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 一、质点系（system of particles）的动能定理两个质点的系统2022/7/2939系统外力的功系统内力的

15、功系统动能的增量2022/7/2940对第i质点运用动能定理：对所有质点求和，可得：共有n个粒子，外力用 F（矢量） ，内力（即粒子之间的相互作用）f（矢量）i jFiPi fi j fj i2. n个质点的系统2022/7/2941质点系的动能定理质点系统动能定理系统的外力（external frce）和内力(internal force)作功的总和等于系统动能的增量。2022/7/2942二、质点系的功能原理系统内力保守内力非保守内力定义机械能E ： E=Ekb +Epb 系统的动能与势能之和称为系统的机械能 A外 + A非保内 = (Ekb +Epb ) (Eka + Epa ) 所以2

16、022/7/2943于是 A外 + A非保内 = E(b) E(a) 在系统从一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所作功和系统的非保守内力所作功的代数和。质点系的功能原理注意：势能的大小与零势能点的选择有关，因此在运用功能原理解题时，应先指明系统的范围，并确定势能的零点。2022/7/2944三、机械能守恒定律( law of conservation of mechanical energy)机械能可以相互转化2022/7/2945 如果一个系统内只有保守力作功，其他内力和一切外力都不作功，或者它们的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值不变，这

17、个结论叫做机械能守恒定律。因此，当时，W保内 02022/7/2946由功能原理四、能量守恒定律系统的机械能增加，如炸弹爆炸系统的机械能减少，如摩擦力作功能量可以从一个物体转移到另一物体，也可以从一种形式转变成另一种形式。孤立系统：一个不受外界作用的系统。A外=0，但A内非不一定为零。2022/7/2947 一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体，这就是能量守恒定律。 它是物理学中具有最大普遍性的定律之一。2022/7/2948应用功能原理S3.确定势能0点，以及始末两态的机械能E0、E。S2.受力分析，

18、不考虑保守力和不作功的力。S1.确定研究对象，必须是质点系。S4. 列方程求解。2022/7/2949例1，质量为 m 的物体从一个半径为 R 的1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度为 v,求 A 到 B 过程中摩擦力所做的功？解1：功的定义 以m为研究对象，受力分析如图示。在轨道切向：2022/7/2950摩擦力作功为由2022/7/2951解2：动能定理由质点动能定理受力分析：只有重力和摩擦力作功，A点：物体动能2022/7/2952解3：功能原理以物体，滑面和地球为研究对象。受力分析，不考虑重力和不作功的弹力N，只有摩擦力（非保守内力） f 作功，由功能原理：2022/7/2953选

19、择 B 点为重力 0 势点，A、B 两点的机械能：用功能原理计算最简单。2022/7/2954例2，一物体以初速v0= 6.0 ms1沿倾角为 =30的斜面向上运动，如图，物体沿斜面运行了s = 2.0 m后停止。若忽略空气阻力，试求： (1) 斜面与物体之间的摩擦系数； (2) 物体下滑到出发点的速率v。 解：物体沿斜面上升过程中 根据功能原理，得2022/7/2955而摩擦力的大小为所以即有解得2022/7/2956 物体下滑到出发点过程中, 根据功能原理得即有解得2022/7/2957 应用能量守恒定律： a.确定研究系统； b.分析系统中物体的外力和内力状况； c.分析系统的初末的能量

20、状况； d.确定系统的势能零点，由能量守恒定律求解。2022/7/2958解：（1）第一宇宙速度以卫星和地球为研究对象，忽略大气阻力，系统机械能守恒。取无穷远处为引力势能零点。例1，求三个宇宙速度。卫星在地面时卫星在轨道时vROrv12022/7/2959由机械能守恒 得因卫星作圆周运动(1)(2)卫星在地球表面时(3)(4)2022/7/2960发射速度第一宇宙速度2022/7/2961（2）第二宇宙速度（逃逸速度）物体在地面发射时系统的机械能为：物体脱离地球引力时，系统机械能最小第二宇宙速度2022/7/29622022/7/2963圆椭圆抛物线双曲线v0（3）第三宇宙速度物体相对太阳的速

21、度物体脱离太阳引力所需的最小速度 应满足地球 相对太阳的速度物体相对于地球的发射速度2022/7/2964 从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能必须满足第三宇宙速度2022/7/2965 rs史瓦西半径 或 引力半径 可以设想，一旦逃逸速度Ve超过了光速c ，即当任何物体(包括光子，即电磁波)都逃不出去史瓦西半径。于是，在史瓦西半径内部与外界断绝了一切物质和信息的联系。一个物体，若其质量全部分布在相应的史瓦西半径内，则从宇宙的其它部分看来它就象是消失了一样，称黑洞。 地球逃逸速度 水星逃逸速度4.3km/s 火星逃逸速度5.06km/s 月球逃逸

22、速度2.4km/s如火星的大气压强仅为地球大气压强的8/10002022/7/2966天鹅座X-1它周围有很大的能量辐射，不断发出极强的x射线和射线；它极大的引力使光线在它附近也会发生强烈的弯曲；2022/7/29676826 碰撞 （Collision）1、碰撞现象碰撞的物理定义有多种，例如： 一种遭遇 一种以脉冲力相互作用的过程 两质点交换它们的动量和能量过程我们倾向于第三种说法，但一般限于指相互作用力程较短或可以明确地说明其持续期的过程。碰撞问题中，细节往往难于测量，特别是微观领域的情况。这些细节可处理为“黑盒子”。碰撞过程因物体之间互相撞击力相当大，作用时间又短，以至于作用于物体的外力

23、，如：重力、摩擦力、空气阻力等相对较小。因此，动量守恒定律成立。碰撞过程能量守恒，但总动能不一定守恒。2022/7/29692、完全弹性碰撞这是碰撞中的特例，是动能不变的碰撞。若是对心碰撞，则动量守恒可化为标量形式。3、完全非弹性碰撞一般的碰撞问题，机械能并不守恒，总有一部分损失，转化为其他形式的能量，这种碰撞叫非弹性碰撞。若碰撞后，两物体结合为一体，以共同的速度运动。这称为完全非弹性碰撞。这时，只有动量守恒定律成立。2022/7/2970例1，弹弓效应。土星质量为5.671025 kg，相对太阳轨道速率为9.6 km/s，一空间探测器质量为150kg，以相对太阳轨道10.4 km/s 速率迎

24、向土星飞行。求空间探测器离开土星的速率。解：这是一种 Mm 的弹性碰撞，撞后m将反弹。其中 e=1，得 v -v0+2u0代入已知数据，得：得 v -v0+2u = 10.4 + 29.6 = 29.6 km/s这是空间器加速的一种方式。2022/7/29例2，试证明任何两个质量相等的质点在完全弹性碰撞时（对心的正碰除外），如果其中一个最初是静止的，则碰撞后，两个质点总是沿着相互垂直的方向分开。 解: 系统系的动能守恒，动量守恒。2022/7/29712022/7/297273说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点而言的。质点m对O点的角动量：2-7 质点的角动量和角动量守恒定律一、角动量1、

25、质点对定点的角动量 2022/7/2974 【例】圆周运动的质点关于圆心O的角动量。SI：kgm2/s , 或 J s 微观体系的角动量是明显量子化的，其取值只能是普朗克常数 的整数或半奇数倍。 但因宏观物体的角动量比 大得多，所以宏观物体的角动量可以看作是连续变化的。orL vm2022/7/2975 t 时刻定义为力对定点O的力矩2、力对定点的力矩大小：中学就熟知的：力乘力臂方向：垂直 组成的平面注意：角动量和力矩均与定点有关2022/7/2976由牛顿第二定律二、质点的角动量定理 角动量守恒定律两边用位矢叉乘得或质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。质点的角动量定理2022/7

26、/29由牛顿第二定律可知，质点的动量的变化率是由质点受的合外力决定的。那么质点的角动量变化率又由什么决定呢？77角动量守恒定律冲量矩微分形式积分形式如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。 2022/7/29781）角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒是相互独立的定律如行星运动动量不守恒角动量守恒讨论2022/7/29 由 M = rF = 0 的条件可知，它可以是 F = 0；也可以是 r = 0；还可以是 r 与 F 的夹角之正弦为零。79三、质点系的角动量问题 1、对定点的角动量2、角动量定理和守恒定律内力对定点的力矩之和为零如何证明？

27、2022/7/2980内力对定点的力矩之和为零，只有外力矩才能改变系统的总角动量。质点系的角动量定理角动量守恒定律定律内容：系统所受的所有外力对参考点的力矩的矢量和为零，则系统对该点的总角动量守恒。若所有外力对参考点的力矩的矢量和的某个分量等于零，则系统对该点的总角动量的相应分量就守恒。2022/7/29813、角动量守恒实例宇宙中存在各种层次的天体系统，太阳系、银河系、众多河外的旋涡星系。因角动量守恒而形成了朝同一方向旋转的盘形结构。2022/7/29L球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向，引力使气云收缩， 但在与L平行的方向无此限制，所以形成了旋转盘状结构。 角动量守恒，粒子的旋转

28、速度，惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维持一定的半径。2022/7/298283例1，半径为R的轻滑轮的中心轴水平地固定在高处，两个同样重的小孩各抓着跨过滑轮绳子的两端，从同一高度同时向上爬，相对绳的速率不同，试问谁先到达滑轮？解:选滑轮+A+B为系统，分析受力，内力矩总和为零。外力为重力。以转轴O点为参考点，顺时针方向为正合外力矩：RAR=0 因此，角动量守恒设A、B对O点的速率分别为A、B则有：RAARBB=0 得AB不论两个小孩对绳子的速率如何，二人将同时到达滑轮。思考题： 若AB，谁将先到达顶端？AB2022/7/2984提示：系统将受到合外力矩 M外（A）R系统的角动量 L2（AA

29、）R， 按角动量定理（）若AB， M外0， 则AA 得AA， M外0， 则AA 得BA总是体轻的小孩上升得快，先到达顶端。2022/7/29例题2-20，按经典原子理论，认为氢原子中的电子在圆形轨道上绕核运动。电子与氢原子核之间的静电力为F=ke2/r2，其中e为电子或氢原子核的电荷量，r为轨道半径，k 为常量。因为电子的角动量具有量子化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于h/2的整数(n)倍，问电子运动容许的轨道半径等于多少?解：由牛顿第二定律，得由于电子绕核运动时，角动量具有量子化的特征，即由式(1)和式(2)两式，得可知，电子绕核运动容许的轨道半径与n平方成正比。这就是说，只有半径等

30、于一些特定值的轨道才是容许的，轨道半径的量值是不连续的。 将各常量的值代人式(3)，并取n=1，得最小的r值：从近代物理学中知道，这一量值与用其他方法估计得到的量值符合得很好。例题2-22，当质子以初速v0通过质量较大的原子核时，原子核可看作不动，质子受到原子核斥力的作用引起了散射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。试求质子和原子核最接近的距离rs。 解：将质量比质子大得多的原子核看作不动，并取原子核所在处为坐标的原点O。由角动量守恒，得其中：m是质子的质量v0是质子在无限远处的初速vs是质子在离原子核最近处的速度b是初速度的方向线与原子核间的垂直距离在离原子核最近处，质子的动能为 ，而电势

31、能为 所以，这时的总能量为当在无限远处，质子的动能为 ，而电势能取为零，所以，这时的总能量为由于质子在飞行过程中没有能量损失，因此总能量也守恒，即从式(1)和式(2)中消去vs，得求得90比较 动量定理 角动量定理形式上完全相同，记忆上就可简化，从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称 头上长角， 尾部添矩）2022/7/2991基本运动定理： 动量定理 角动量定理 动能定理2022/7/2992 质点系的三个运动定理 动量定理 角动量定理 动能定理三个守恒定律动量守恒 角动量守恒 机械能守恒2022/7/292-8 对称性和守恒定律1、问题的提出守恒定律是

32、与宇宙中某些对称性相联系的。对称性是统治物理规律的规律。守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？经典力学理论的局限性守恒定律的普适性宏观低速宏观、微观、低速、高速2022/7/29932、关于对称性定义:某一研究对象(体系、事物;物理规律)对其状态进行某种操作，使其状态由A到B。若两状态等价(相同)，就说该研究对象对该操作具有对称性。例对中心对称操作绕中心旋任意角状态A状态B状态A与状态B相同或等价对称性破缺2022/7/29943、几种对称操作A、空间对称操作- 空间变换 1)平移 2)旋转 3)镜象反射 4)空间反演B、时间变换 1)时间平移 2)时间反演C、时空联合操作 伽利略变换- 力学定律具有不变性 洛仑兹变换- 物理定律具有不变性2022/7/2995例1，时间平移对称性与机械能守恒律时间平移的对称性意味着时间的均匀性，表示系统的势函数与时间无关，这将导致能量守恒。2022/7/29蓄水槽发电机泵电池蓄水