线性规划问题的常见题型

1、关于x、y的二元一次不等式组称为对变量x、y的约束条件，把要求最值的满足约束条件的函数性规划中，这种求最值的方法叫做角点法。若求函数件所表示的可行域）；第二步，作直线，平移直线10（据可行域，将直线lo平行移动）；第三步，求出最优解（x，y）;第四步,将最优解（x，y）代入我认为在线性规划中问题解决过程中，应突破画（画出线性约束条件所表示的可行域）、移（作平行直线）、求（解方程组求出最优解），即可轻松解决。线性规划问题的常见题型有以下七类，现举例说明如下:i.求函数的最值+y3线性规划问题的常见题型吴小五李兰琼（汨罗市第一中学湖南汨罗414400）摘要线性规划作为高中数学中一个比较常用的知识点

2、，也是高考中的重要考点，巧妙利用该知识，可以对函数最值、平面图形的面积、斜率范围、参数取值范围、概率问题和实际问题的解决大为简化。本文就线性规划问题简要介绍几种常见的题型。关键词线性规划问题；可行域；求最优解中图分类号G623.5文献标识码A（m、n为常数）称为目标函数，在线性约束条件下求目标函数的最值问题统称为线性规划问题。线性规划作为高中数学相对独立的一个知识点，也是高考的一个重要考点（近几年各地高考试题涉及线性规划知识点的试题频频出现）。高中数学中的线性规划体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合思想，也顺应当今新课改和高考改革的趋势。Z=mxny或艺竺如果目标函数工（其中

3、m、n为常数，x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入上述函数，得到一组对应z值，最大的那个数为函数z的最大值，最小的那个数为函数z的最小值。在线例1.（2009天津高考试题）设变量x、y满足约束条件例1.（2009天津高考试题）设变量x、y满足约束条件则目标函数的最小值为（C、8D、23的最值还有一种方法，这种方法的步骤是：第一步，画出可行域（画出线性约束条3.求斜率的范围x-y20r池1,y例3.（2007年辽宁高考试题）已知变量x、y满足约束条件_x+y-l0,，则x的取值范围是（）A、J（-旳fU6他）B、C、3

4、U6呵D、3,6解析:作出可行域如图阴影所示，依题意,该题有最小值。方法一：易求得A（4，5），B（1，2），C（2，1），将角点坐标分别代入z二2x+3y得z的值分别为23、8、7,所以,选B.将10平移至C处，此时一山在y轴上的截距为有最小值，从而Z有最小值，由x+y-32尸32.求平面图形的面积得C（2，1），所以,，选B.例2.（2008年安徽高考试题）若A为不等式组扫过A中的那部分区域的面积为分析：由图知BCO为等腰直角三角形,BDE为等腰直角三角形且Dx0，表示的平面区域，则当a从一2连续变化到1时，动直线x+y=a=；x2x2-xlx-=：-2224x+Zi=10分析：画出可行域

5、，如图；.可看为区域内的点与（0,0）连线的斜率.答案选A.4.求距离例4.（2007年山东高考试题）设D是不等式组分析：可行域如右图阴影部分，观察得到例5.（2006年湖南高考题）已知x+2j3t0 x4A到1?2x-y-22=0=12+22=55求参数取值范围例6.（2009年陕西试题）若x、y满足约束条件目标函数z二加+2丿仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（）分析：作出可行域如图所示，直线仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知即-4心2其答案为B6.求概率例7.(2007年宁夏高考试题)设关于x的一元二次方程为+2ox+h=0(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个

6、数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间0,3任取一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率分析：设方程二+2必+沪J有实根为条件A，方程二+2ax+b2=0有实根时丄-H即一二一;，因为兀阴3化0丄2，所以.:，从而方程F+2必+护二0有实根的充要条件为abbi/2/a3L“93(1)基本事件的总数为2卩二7二-，事件A的个数为4+3+2=9,所以，一_（2）试验的全部结果所构成的区域为(atb)a3t062)构成事件A的区域为；匸二，作出可行域，则，所求概率为f(A)=3x237.解决实际问题例8.（2009年四川高考试题）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（）A、12万元B、20万元C、25万元D、27万元分析：甲乙A31B23利润53设生产甲产品x吨、乙产品y吨，获得的利润为-0,3x+y13,可行域如图中阴影