新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第3讲 长度问题（原卷版）

1、第3讲 长度问题一解答题（共19小题） 1已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点（1）若直线的斜率为1，求直线的斜率；（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由2已知椭圆的离心率为，经过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，且点在线段上（）求椭圆的方程；（）若，求直线的方程3已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，点为椭圆的左焦点，的周长为8（）求椭圆的标准方程；（）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，求证：直线与直线的交点在定直线上4已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上

2、、下顶点分别为、，四边形的面积为4，四边形的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1证明：存在定点，使得为定值5已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，若，成等比数列，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为（1）求椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围6已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个（1）求椭圆的方程；（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，且，比较与的大小7已知椭圆的右焦点为，上顶点为过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若（1）求椭圆

3、的方程； （2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值8已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围9已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2（）求椭圆的方程；（）已知直线，过点作直线交椭圆于不同的两点，交直线于点，问：是否存在常数，使得恒成立，并说明理由10已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，为其右焦点，为椭圆上一点，且与轴垂直，（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于不同的两点、，若以为直径的圆恒过原点，求弦长的最大值1

4、1已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是有一个角为的等腰三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点（）求椭圆的方程及点的坐标；（）斜率为2的直线与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得成立，并求的值12已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点（）求椭圆的方程及点的坐标；（）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点证明：存在常数，使得，并求的值13已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，（）当，时，求的面积；（）当时，求的取值范围14如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点

5、在第一象限（）已知直线的斜率为，用，表示点的坐标；（）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为15过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，其中，另一条过的直线交椭圆于，两点（不与，重合），且点不与点重合过作轴的垂线分别交直线，于，（1）求点坐标和直线的方程；（2）比较线段和线段的长度关系并给出证明16已知，当，分别在轴，轴上滑动时，点的轨迹记为（1）求曲线的方程：（2）设斜率为的直线与交于，两点，若，求17已知椭圆，点（）求椭圆的短轴长和离心率；（）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论18已知椭圆，它的上，下顶点分别为，左，右焦点分别为，若四边形为正方形，且面积为2（1）求椭圆的标准方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，它们与椭圆分别交于点，且四边形是菱形求证：直线，关于原点对称；求出该菱形周长的最大值19在平面直角坐标系中