2022年“分子有理化”在高中数学中的应用

1、“ 分子有理化” 在高中数学中的典型应用关键词：分子有理化摘要：用分子有理化解高中数学试题中的几类常见题型在中学, 同学已学会了： 什么叫分母有理化？何时分母有理化？怎样进行分母有理化？在高中,我们不仅需要以上内容,仍需要相应的以退为进的策略分子有理化,促使解题快速、简洁、正确；下面分类举例说明：一、 分子有理化在判定函数的奇偶性中的应用：例 1：判定函数f x lgx2 x1的奇偶性；lg2 x1x1解：函数f x 的定义域是R,即定义域关于原点对称又fxlgxx 21lgx21x=lgx21xx 1x21xlgx211x2x=lgxx21f x f x 的关系,同学易判定为非奇非偶函数；f

2、 x 是奇函数；注：此题如未想到分子有理化,很难找到fx 与f x 或二、 分子有理化在判定函数的单调性中的应用：例 2：用函数单调性的定义证明：f x x 2 x 在 , 7上是增函数；4证明：设 x 1 x 2 7,4就 f x 1 f x 2 x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 = x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 = x 1 x 2 x 2 x 12 x 1 2 x 21= x 1 x 2 1 2 x 1 2 x 2x 1 x 2 72 x 1 1 0,2 x 2 1 02 x 1 1 , 2 x 2 14 4 4 2 22 x 1 2 x 2 11 10 又有 x 1 x

3、2 02 x 1 2 x 2f x 1 f x 2 0 即 f x 1 f x 2 函数 f x x 2 x 在 , 7 上是增函数；4注：此题分子有理化既使分母为正又使前后两式有公因式可提,易于与 0 比较大小；三、 分子有理化在求对数值中的应用：例 3：求值（ 1）74 3log74313；（2）log 542652 6解：（1）74 3log743 13=713log 73 134=743log743 13=74 3log743113= 1 13（ 2）log5 2652 6log5 2 652 652 6log5 2 65152 62 6log52 652 611注：此题通过分子有理化

4、再利用对数恒等式或对数的定义便轻易求解了；四、分子有理化在比较实数大小中的应用：例 4：比较大小：（1）n1n 和nn1（n1）；3,试比较 P 与 Q 的大小；（2）已知Pa3a7,Q2a5, a解：（ 1） n1nn1n,nn1n1n11而n1n1a7a5a5a3n1nnn10n1n11nn1n1n nn1（2）PQa3a72a5= a22即PQ07a5a5a3又a7a5a5a3a72a5a52a30PQ注：此题如不用分子有理化就比较困难；五、 分子有理化在证明不等式中的应用：例 5：（1）已知a0,b0,求证：|a 2c2b 2c 2| |ab|ab|2 ca11a0,求证：a1a1 a

5、1（2）已知23b |aa证明：（1）|a2c2b2c2|a2|a2b2|2 cb2c2aa22 cb22ab |ab|ab |b|ab|a2b2ab2 a2 c2 b2 c| |ab|12111aaa1a11a（ 2）aaaaaa1又a0有a121a21222a1121323aaaa1a111aa注：此题先分子有理化再用放缩法比其它方法简便；六、 分子有理化在求导函数中的应用：例 5：求函数f x 1x2的导数；21 2 x1x21x2解：f x 1x2=1x21x21f 12 x 11 2x221x2x1x221注：此题先分子有理化再求导,比直接用分式求导公式求导更简洁易算；七、分子有理化在求数列或函数的极限中的应用：例 7：求极限：lim n1nn1