第三篇导数及其应用

1、x时，比值 第 1 讲 导数的概念及运算知 识 梳 理1 函数 yf(x)在 xx0 处的导数(1)定义：设函数 yf(x)在区间 (a， b)上有定义， x0 (a， b)，当 x 无限趋近于 0 x x 无限趋近于一个常数 并称常数 A 为函数 f(x)在点 xx0 处的导数，记作f x0 x f x0y f x0 x f x0时， A”A，则称 f(x)在 xx0 处可导，f(x0)可表示为“当 x0(2)几何意义： 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是过曲线 yf(x)上点(x0， f(x0)的切线的斜率2 函数 f(x)的导函数若 f(x)对于区间 (a， b)内

2、任一点都可导， 则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变 化而变化，因而也是自变量 x 的函数该函数称为 f(x)的导函数，记作 f(x)3 基本初等函数的导数公式基本初等函数f(x) C(C 为常数 )f(x) xn(nQ* )f(x)sin xf(x)cosxf(x) ex f(x)ax(a0， a1)f(x) ln x导函数f (x) 0f (x) nxn 1f (x) cos_xf(x) sin_xf (x) exf(x) axln_af (x) 11f(x)logax(a0， a1)4.导数的运算法则若 f(x)， g(x)存在，则有(1)f(x) (x) f(x) (x)；(

3、2)f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g (x)；(3) g x g x 2 (g(x)0)f x f x g x f x g x辨 析 感 悟f (x) xln a1 对导数概念的理解(1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率 ()(2)f(x0)与f (x0) 表示的意义相同 ()2 对导数的几何和物理意义的理解(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ()(4)物体的运动方程是 s 4t2 16t，在某一时刻的速度为 0，则相应时刻 t0.()(5)曲线 yf(x)在点 P(x0， y0)处的切线与过点 P(x0， y0)的切线相同 ()3 导数运算问题(

4、6)若 f(x) a32axx2，则 f(7)函数 f(x) x2ln x 的导函数为(x) 3a2 2a 2x.( )f (x)2x x2.()(8)函数 y 的导数是 y xeex.() 感悟提升 1 一个区别 曲线 yf(x) 点 P(x0， y0)处的切线 ”与 “过点 P(x0， y0)的切线 ”的 区别：曲线 yf(x)在点 P(x0， y0)处的切线是指 P 为切点，切线唯一，若斜率存 在时，切线的斜率 kfx ) ；曲线 yf(x)过点 P(x0， y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条2 三个防范 一是并不是所有的函数

5、在其定义域上的每一点处都有导数，如函 数 y |x|在 x0 处就没有导数二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个， 这和研究直线与二次曲线相切时有差别，如 (3)1x2 1 x2 1 ln x x21 2xln x解析 (1)f(x) ln x ln x ex ex ln x ex exln x三是对函数求导要看准自变量，是对自变量的求导，而不是对其它参数的求导，如(6)考点一 导数的运算【例 1】 (1)求下列函数的导数：yx2sin x；ylxx.(2)(2014 济宁模拟 )已知 f(x) x(2 012ln x)， f(x0) 2 013，则 x0_.(1)解 y(x2) sin

6、 xx2(sin x)22xsin xx cos x.y ex 2 ex 2ln x 1xln x ex xex .(2)解析 f(x) 2 012ln xx x2 013ln x，由 f(x0)2 013，得 ln x00，解得 x0 1.答案 1规律方法 (1)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少 运算量，提高运算速度，减少差错【训练 1】 (1)已知 f(x) ，则 f(1) _.(2)已知函数 f(x)fcos xsin x，则 f 的值为_4x2 1 x2 1 2 ，则 f(1) 2

7、24 4412.(2)f(x) fsin xcos x，4所以 f解得 f f 2 2 ， 2 1，故 f f cos sin 1.答案 (1) (2)1考点二 利用导数的几何意义求曲线的切线方程【例 2】 已知函数 f(x) x3 4x25x4.(1)求曲线 f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f (x)的切线方程审题路线 (1)求 f(x)? 求 f(2)? 求 f(2)? 由点斜式写出切线方程(2)设切点 P(x0， y0)? 求 f(x0)? 由点斜式写出过点 A 的切线方程 ? 把点 P 代入 切线方程 ? 求 x0? 再代入求得切线方程解

8、(1)f(x) 3x2 8x5， f(2) 1，又 f(2) 2，曲线在点 (2， f(2)处的切线方程为 y2x 2，即 x y40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点P(x0， x 42x05x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为 y ( 2) (3x 8x05)(x 2)，又切线过点 P(x0， x 4x5x04)，x 4x5x02 (3x8x05)(x02)，整理得 (x0 2)2(x0 1) 0，解得 x02 或 1，经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为3xy 40，或 y20.规律方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线

9、， 还是过某点的切线 曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0) f(x0)(xx0)求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程【训练 2】 (1)(2014 扬州期末 )设 a 为实数，函数 f(x)x32ax(a3)x 的导函 数为 f(x)，且 f(x)是偶函数， 则曲线 yf(x)在原点处的切线方程为 _(2)曲线 yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为 _解析 (1)f(x) 3x2 2ax(a3)，又 f(x)为偶函数，则 a0，所以 f(x)x33x， f(x) 3x23，故 f(0) 3，故所求的切线方程为 y 3x.(2)函数的

10、导数为 f(x)3ln x 1xx3ln x4，所以在 (1,1)的切线斜率为 k4，所以切线方程为 y 14(x 1)，即 y4x 3.答案 (1)y 3x (2)y4x3考点三 利用曲线的切线方程求参数【例 3】 (2013 新 课标全国卷改编 )设函数 f(x)ex(axb) x2 4x，曲线 yf(x) 在点(0， f(0)处的切线方程为 y4x4.求 a， b 的值解 f(x)ae x ex(axb) 2x 4ex(axab) 2x4， f(0) ab 44，又 f(0) b4， a4.规律方法 已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键

11、是这个点不仅在曲线上也在切线上 .【训练 3】 (2013 福 建卷改编 )设函数 f(x)x 1 (aR， e 为自然对数的底数)曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线平行于 x轴，求 a 的值解 由 f(x) x 1 ，得 f(x) 1 .又曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线平 行于 x轴，得 f(1) 0，即 1 0，解得 ae.1在对导数的概念进行理解时， 特别要注意 f(x0)与(f(x0)是不一样的， f(x0) 代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值， 不一定为 0； 而(f(x0)是函数值 f(x0)的导数， 而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，

12、即 (f(x0) 0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视 求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时， 首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误易错辨析 3求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014 杭 州质检 )若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线和yx2a 都相切，则 a 的值是_错解 点 O(0,0)在曲线 f(x) x3 3x22x 上，f(x) x33x22x直线 l 与曲线 yf(x)相切于点 O.则 kf(0) 2，直线 l 的方程为 y2x.又直线 l 与曲线 yx2a 相切，x2a 2x0 满足 4 4a0

13、， a 1.答案 1错因 (1) 片面理解 两种可能：一是点视后面情况“过点 O(0,0)的直线与曲线 ” 这里有O 是切点；二是点 O 不是切点，但曲线经过点 O，解析中忽(2)本题还易出现以下错误： 一是 O(0,0)不是切点， 无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线 l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻正解 易知点 O(0,0)在曲线 f(x)x3 3x22x 上，(1)当 O(0,0)是切点时，同上面解法(2)当 O(0,0)不是切点时，设切点为 3x6x02.P(x0， y0)，则 y0 x3x2x0，且 kf (x0)又 k x3x02，由，联立，得 x0 (x00 舍)，1

14、1611 或164.所以 k ，所求切线 l 的方程为 y x.由 y 4x ， yx2a，得 x2 xa0.依题意， 4a0，a 1综上， a 1 或 a 4.答案 64防范措施 (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键， 分清过点 P 处的切线与在点 P 处的切线的差异(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算 【自主体验】若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx3 和 y ax2 1x 9 都相切，则 a 等于 _解析 设过(1,0)的直线与 yx3 相切于点 (x0， x)，所以切线方程为 yx 3x(x x0)，即 y3xx 2x，又(1,

15、0)在切线上，则 x00 或 .当 x00 时，由 y0 与 yax2 x 9 相切可得 a当 x0 时，由 y x 与 yax2 x 9 相切可得 a 1.2564答案 1 或基础巩固题组(建议用时： 40 分钟)一、填空题1 (2014 深圳中学模拟 )曲线 yx3 在原点处的切线方程为 _ 解析 y 3x2， ky|x 00，曲线 yx3 在原点处的切线方程为 y0.答案 y02已知 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0_.解析 f(x)的定义域为 (0， )， f (x) ln x 1，由 f(x0)2，即 ln x0 12，解得 x0e.答案 e3(2014 辽 宁五校联考

16、 )曲线 y3ln xx2 在点 P0 处的切线方程为 4x y1 0，则点 P0 的坐标是_解析 由题意知 y 14，解得 x1，此时 41 y 10，解得 y3，点 P0 的坐标是 (1,3)答案 (1,3)4 (2014 烟 台期末 )设函数 f(x)xsin xcos x 的图象在点 (t， f(t )处切线的斜率为 k，则函数 k g(t)的部分图象为 _解析 函数 f(x)的导函数为 f(x)( xsin xcos x) xcos x，即 k g(t) tcos t，则函数 g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除， .当 0t时， g(t)0，所以排除，选 .答案 2.1215曲

17、线 ysin xcosx 2在点 M 0 处的切线的斜率为 _sin x 1 4，解析 y 2xx2 1 n 2x，故所求切线斜率 k答案126 (2013 广东卷 )若曲线1yax2ln x 在点(1， a)处的切线平行于 x 轴，则 a_.解析 y 2ax ，y|x 12a 10， a .答案7已知 f(x)x23xf(2)，则 f(2)_.解析 由题意得 f(x) 2x3f(2)，f(2)223f(2)， f(2) 2.答案 28 (2013 江西卷 )若曲线 yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则 _.解析 y x1，斜率 ky|x 1 2， 2.答案 2二、解答题9求下列

18、函数的导数：(1)yex ln x；(2)yx x2 3 ；(3)yxsin cos ；(4)y( x1) x 1 .解 (1)y(ex ln x) exln xex 1xex ln x .11111 1(2)yx31 2，y 3x2 23x.(3)先使用三角公式进行化简，得 yx sin cos x sin x，y x 2sin x x (sin x) 1 cosx.(4)先化简， y x 1xx 1x1y 2 x 1x .10 (2014 南通二模 )f(x) axx， g(x) ln x， x0， aR 是常数(1)求曲线 yg(x)在点 P(1， g(1)处的切线 l .(2)是否存在

19、常数 a，使 l 也是曲线 yf(x)的一条切线若存在，求 a 的值；若不 存在，简要说明理由解 (1)由题意知， g(1)0，又 g(x) ， g(1) 1，所以直线 l 的方程为 yx1.(2)设 yf(x)在 xx0 处的切线为 l，则有ax0 x0 x0 1，ax 1，x0 2，解得 a ， 此时 f(2) 1，即当 a 时， l 是曲线 yf(x)在点 Q(2,1)的切线能力提升题组(建议用时： 25 分钟)一、填空题1 (2014 盐 城一模 )设 P 为曲线 C： C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 0， 4 ，则点 P 横坐标的取值范围是 _解析 设 P(x0， y0)，倾

20、斜角为 ， y 2x2，则 k tan 2x020,1 ，解21得 x0 1， .答案 1，2设 f0(x)sin x， f1(x)f0(x)， f2(x) f1 (x)， fn(x) f f2 013(x)_.解析 f1(x)f0 (x)cos x， f2(x) f1 (x) sin x， f3(x)f2 f3(x)sin x， ，由规律知，这一系列函数式值的周期为 cos x.n 1(x)， nN ，则*(x) cos x， f4(x)4，故 f2 013(x)f 1(x)答案 cos x3 (2014 武汉中学月考 )已知曲线 f(x) xn 1(nN* )与直线 x1 交于点 P，设曲

21、 线yf(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn，则 log2 013x1log2 013x2 log2 013x2 012 的值为 _解析 f(x) (n1)xn， kf(1) n 1，点 P(1,1)处的切线方程为 y 1(n1)(x1)，令 y0，得 x 1 n 1n 1，即 xn n 1，x1 2 2 012 2 13，则 log2 013x1log2 013x2 log2 013x2 012log2 013(x1x2x2 012) 1.答案 1二、解答题4设函数 f(x) axx，曲线 yf(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 7x4y 12b0.(1)求 f(x)

22、的解析式；(2)证明： 曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx所围成的三角形 面积为定值，并求此定值(1)解 方程 7x 4y120 可化为 y x3，12 2，b 76b当 x2 时， y .又 f(x)ab2x，于是b3.a1， 解得故 f(x) x .2a a44，(2)证明 设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 f(x) 132x知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为 y y0 132x0 (xx0)，即y(x0 )132x0 (x x0)令 x0，得 y ，从而得切线与直线 x0 交点坐标为 0， x0 .令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线yx

23、的交点坐标为 (2x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， yx 所围成的三角形面积为 |2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.第 2 讲 导数的应用 (一 )知 识 梳 理1 函数的单调性与导数的关系已知函数 f(x)在某个区间 (a，(1)如果 f(x)0，那么函数(2)如果 f(x)0，那么函数2 函数的极值b)内可导，yf(x)在这个区间内单凋递增；yf(x)在这个区间内单调递减(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， 如果在 x0 附近的左侧 f(x

24、)0，右侧如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧f(x) 0，那么 f(x0)是极大值；f(x) 0，那么 f(x0)是极小值4(2)求可导函数极值的步骤求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左右值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 两侧符号一样，那么这个根不是极值点3 函数的最值与导数f(x)在这个根处取得极小值，如果左右设函数 f(x)在a， b上连续且在 (a， b)内可导，求 f(x)在a， b上的最大值和最小 值的步骤如下：求 f(x)在(a， b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b

25、)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值辨 析 感 悟1 对函数的单调性与导数关系的理解(1)若函数 f(x)在(a， b) 内恒有 f(x)0，那么 f(x)在(a， b)上单调递增；反之若函 数 f(x)在(a， b)内单调递增，那么一定有 f (x)0.()(2)函数在其定义域内的离散的点处导数为 0 不影响函数的单调性 ()(3)(2012 辽宁卷改编 )函数 y x2 ln x 的单调减区间为 ( 1,1) ()2 对函数极值、最值概念的理解(4)导数为 0 的点一定是极值点 ()(5)函数 f(x) x 有极值 ()(6)(教材习题改编 )函数 f(x) x34x4 在

26、(0,3)上的最大值为 4，最小值为3.()感悟提升 1 一点提醒函数最值是 “整体 ”概念， 而函数极值是个 “局部 ”概念， 极大值与极小值没有必然的大小关系ln x 12 两个条件一是 f (x) 0 在(a， b)上成立，是 f(x)在(a， b)上单调递增的充分不必要条件，如(1)二是对于可导函数 f(x)， f(x0) 0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条 件，如 (4)3 三点注意一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到三是求最值时， 应注意极值点和所给区间的关系， 关系不确定时分类讨论， 不可想当然认为极值就是最值

27、.考点一 利用导数研究函数的单调性【例 1】 (2012 山 东卷节选 )已知函数 f(x) ex (k 为常数， e2.718 28是自 然对数的底数 )，曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线与 x轴平行ln xk(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间解 (1)由 f(x) ln k，得 f(x) 1 kxexln x， x(0， )，由于曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线与 x 轴平行所以 f(1) 0，因此 k 1.(2)由(1)知， f(x) ex ， x(0， ) 设 h(x) ln x1，则 h(x) 2 0 ， 即 h(x)在(0， )上是减函数，由

28、h(1)0 知，当 0 x0，从而 f(x)0，当 x1 时， h(x)0，从而 f(x)0)，f(x)22x1 .令 f(x)0，解得 x 1 或 (舍去)f 2 c16 2 0，f 1 3 2ab0.f当 x(0,1)时， f(x)0.f(x)在(0,1)上是减函数，在 (1，)上是增函数故 f(x)在 x 1 处取得极小值 f(1)3， f(x)无极大值规律方法 (1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0) 0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同(2)若 f(x)在(a， b)内有极值，那么 f(x)在(a， b)内绝不是单调函数，即在某区间上 单调递

29、增或递减的函数没有极值【训练 2】 已知 a， b 是实数， 1 和 1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点(1)求 a 和(2)设函数 解 (1)fb 的值；g(x)的导函数 g(x)f(x)2，求 g(x)的极值点(x) 3x2 2axb.又 1 和 1 是函数 f(x)的两个极值点，f 1 32ab0，解之得， a0， b 3.(2)由(1)知， f(x)x33x， g(x) x3 3x2.由 g(x) 0，得 (x 1)2(x2) 0，g(x)0 的根为 x 2 或 1.当 x2 时， g(x)0；当 2x0.x 2 是函数 g(x)的极小值点当 2x1 时， g(x)0，故

30、 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极小值点为 2，无极大值点考点三 利用导数求函数的最值【例 3】 (2012 重 庆卷 )已知函数 f(x)ax3bxc在点 x2 处取得极值 c16.(1)求 a， b 的值；(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在 3,3上的最小值审题路线 (1) ? a， b 的值；(2)求导确定函数的极大值 ? 求得 c 值? 求得极大值、极小值、端点值 ? 求得最故有 即值解 (1)因 f(x) ax3bxc，故 f(x)3ax2b，由于 f(x)在点 x2 处取得极值 c16，f 2 0， 12ab0，f 2 c 16， 8a2bcc 16，化简

31、得12ab0 ， 4ab 8，解得 a 1， b 12.(2)由(1)知 f(x)x3 12xc，f (x) 3x2 123(x 2)(x2)令 f(x)0，得 x 2 或 2.当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表：xf(x)f(x)39c( 3，2)20极大值( 2,2)20极小值(2,3)39c由表知 f(x)在 x 2 处取得极大值， f( 2) 16c；在 x2 处取得极小值 f(2)c 16.则 16c28，得 c 12，故 f(x)在 3,3上的最小值为 f(2) 4.规律方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数 yf

32、(x)在a， b内所有使 f(x)0 的点，再计算函数 yf(x)在区间内所有使 f(x) 0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得 . 【训练 3】 设函数 f(x) xax2bln x，曲线 yf(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2.(1)求 a， b 的值；(2)令 g(x) f(x) 2x2，求 g(x)在定义域上的最值 解 (1)f (x) 12ax(x0)，又 f(x)过点 P(1,0)，且在点 P 处的切线斜率为 2， 即f 1 0， 1a0，f 1 2， 12ab2.解得 a 1， b3.(2)由(1)知， f(x)x x23ln x，其定义域为 (0， )

33、，g(x) 2 x x2 3ln x， x0，则 g(x) 1 2x 当 0 x0；当 x1 时， g(x)0.所以 g(x)在(0,1)内单调递增，在 (1， )内单调递减g(x)的最大值为 g(1) 0， g(x)没有最小值1 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为 0 的点；含参数时，要讨论参数的大小2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能 下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得思想方法 3分类讨论思想在导数中的应用【典例】 (2013 浙 江卷 )已知 aR，函数 f(x) 2x33(a1)x2 6ax.(1)若 a

34、 1，求曲线 yf(x)在点(2， f(2)处的切线方程； (2)若|a| 1，求 f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值解 (1)当 a 1 时， f(x) 6x2 12x6，所以 f(2) 6.又因为 f(2)4，所以切线方程为 6xy80. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值由题意知 f(x)6x26(a1)x6a6(x 1)(x a)令 f(x)0，得到 x 1 或 a.当 a 1 时，x 0 (0,1) 1 (1， a)f(x) 0 a0(a,2a) 2a0， 1a3，3a 1(0,1)104a3f(x) 0 极大值 3a 1比较 f(0)0 和 f(a

35、)a2(3 a)的大小可得g(a) a2 3 a， a3.当 a 1 时，x0f(x)极小值f(x) 0得 g(a)3a 1.综上所述， f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值为3a 1， a 1，g(a) 0， 1a3，a2 3 a， a3.极小值a2(3 a)(1， 2a) 2a3 228a 24a反思感悟 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论， 常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程 f(x)0 是否有根；若 f(x)0 有根，求出根后是 否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题的难点是分类讨论， 除了比较两个根 1 与 a 的大小外， 还须

36、比较 f(0)与 f(a)的大小【自主体验】(2013 临沂一模 )设 f(x) ex(ax2x1)(a0)，试讨论 f(x)的单调性解 f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)exax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)aex x (x2)当 a 时， f(x) ex(x2)20 恒成立，函数 f(x)在 R 上单调递增；111 1当 0a时，有2，令 f(x)aex x (x2)0，有 x2 或 x a，令 f(x)aex x (x2)0，有 x 2，函数 f(x)在 ， 和( 2， )上单调递增，在当 a时，有2，令 f(x)aex x (x2)0，有 x 或 x 2，令 f(x)a

37、ex x (x2)0，有 2x ，a， 2 上单调递减；函数 f(x)在(， 2)和 a， 上单调递增；在 2， a 上单调递减.基础巩固题组(建议用时： 40 分钟)一、填空题1函数 _解析 f(x) ex(x 2)，令 f(x)0 得 x2.f(x)的单调增区间是 (2， )答案 (2， )2.(2013 浙江卷改编 )已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一， 且其导函数 yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 _1 2x11解析 由 yf(x)的图象知， yf(x)的图象为增函数，且在区间 ( 1,0)上增长速 度越来越快，而在区间 (0,1)上增长速度越来越慢答案 3 (2

38、014 苏州模拟 )函数 _解析 y exxex(1x)ex，令 y 0，则 x 1，因为 x 1 时， y0，x 1 时， y0，所以 x 1 时， ymin e.答案 e4 (2013 威海期末考试 )函数 yln xx2 的极值点为 _解析 函数的定义域为 (0， )，函数的导数为 y 2x，令 y2x 0，解得 x 22，当 x 22时， y0，当 0 x 22时， y0，所以 当 x 22时，函数取得极大值，故函数的极值点为 22.答案225设 aR，若函数 yex ax， xR 有大于零的极值点，则 _a 1；a 1；a ；a .解析函数则方程ye ax，yx exa.yeaxx

39、有大于零的极值点，y 有大于零的解，x0 时， ex 1， a ex 1.答案 解得 或6已知函数 f(x) x2 4x 3ln x 在 t， t1上不单调，则 t 的取值范围是_解析 由题意知 f(x) x4 x 1xx3 ，由 f(x) 0 得函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间 (t， t1)内，函数 f(x) 在区间 t， t1上就不单调，由 t1t 1 或 t3t 1，得 0t1 或 2t3.答案 (0,1)(2,3)7 (2014 淄 博模拟 )已知 f(x)x33ax2bxa2，在 x 1 时有极值 0，则 a b_.解析 由题意得 f(x)

40、3x26axb，则a23a b 10， a 1， a2，b 6a30， b3 b9，经检验当 a 1， b3 时，函数 f(x)在 x 1 处无法取得极值，而 a2， b9 满足题意，故 a b 7.答案 78 (2013 福建卷改编 )设函数 f(x)的定义域为 R， x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 _? xR， f(x)f(x0)； x0 是 f( x)的极小值点； x0 是 f( x)的极小值点解析 错，因为极大值未必是最大值；错，因为函数x0 是 f(x)的极小值点；yf(x)与函数 yf (x)的图象关于 y 轴对称， x0 应是 f( x)的极大值点；错

41、，函数 yf(x)与函数 y f(x)的图象关于 x 轴对称， x0 应为 f(x)的极小值点；正确，函数 yf(x) 与 y f( x)的图象关于原点对称， x0 应为 y f( x)的极小值点答案 二、解答题9(2014 绍兴模拟 )已知函数 f(x)x3ax2 bxc， 曲线 yf(x)在点 x 1 处的切 线为 l： 3xy 10，若 x 时， yf(x)有极值(1)求 a， b， c 的值；(2)求 yf(x)在 3,1上的最大值和最小值27. 2 或22，23解 (1)由 f(x) x3ax2bxc，得 f(x) 3x22axb.当 x 1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab

42、0. 当 x 时， yf(x)有极值，则 f230，可得 4a3b40.由，解得 a2， b 4.由于切点的横坐标为 x 1，所以 f(1)4. 所以 1abc4，所以 c5. (2)由(1)，可得 f(x) x32x24x5 ， 所以 f(x) 3x24x 4.令 f(x)0，解得 x 3.当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表所示：x 3 ( 3，2) 2f(x) 0f(x) 8 13所以 yf(x)在 3,1上的最大值为 13，最小值为 952309527213，1410 (2013 济南模拟 )已知函数 e是自然对数的底数， aR.(1)若 a 1，求曲线 f(x)在点(

43、1， f(1)处的切线方程；(2)若 a0，求 f(x)的单调区间解 (1)当 a 1 时， f(x) (x2x1)ex，所以 f (x) (2x 1)ex(x2x 1)ex (x2 3x)ex，所以曲线 f(x)在点(1， f(1)处的切线斜率为 kf(1) 4e，又因为 f(1) e，所以 所求切线方程为 ye4e(x 1)，即 4ex y3e0.(2)f(x) (2ax1)e (axx2x 1)ex ax2(2a1)xex，若 a0，当 x0 或 x 2a 1时， f(x)0；2a 12a 12a 12a 1当 0 x a 时， f(x)0.所以 f(x)的单调递减区间为 (， 0， a

44、 ， ；单调递增区间为2a 10， a .2a 1若 a ， f若 a ，当(x) x e 2x 0，所以 f(x)的单调递减区间为 (， )x 2a 1或 x0 时， f(x)0；当 a x0 时， f(x)0.所以 f(x)的单调递减区间为单调递增区间为 a ， a ， 0， )；0 .能力提升题组(建议用时： 25 分钟)一、填空题1函数 f(x)x22axa 在区间 (， 1)上有最小值，则函数 g(x) f 在区间 (1， )上一定_有最小值；有最大值；是减函数；是增函数解析 由函数 f(x)x2 2axa 在区间 ( ， 1)上有最小值，可得 a0， 所以 g(x)在(1， )上为

45、增函数答案 2 (2013 金 陵中学模拟 )若 a0， b0，且函数 f(x) 4x3 ax2 2bx2 在 x 1 处有极值，则 ab 的最大值等于 _解析 f(x) 12x2 2ax 2b， 4a296b0，又 x 1 是极值点，f(1) 122a 2b0，即 ab6，1ab ab 2 9，当且仅当 ab 时 “ ”成立，所以 ab 的最大值为 9.答案 93 (2014 宁波调研 )设函数 f(x) ln x ax2 bx，若 x 1 是 f(x)的极大值点，则 a 的取值范围是 _解析 f(x)的定义域为 (0， )，f(x) axb，由 f(1)0，得 b 1 a.f(x) axa

46、 1 若 a0，当 0 x0，此时 f(x)单调递增；当 x1 时， f(x)0，此时 f(x)单调递减；所以 x 1 是 f(x)的极大值点若 a1，解得 1a 1.答案 ( 1， )二、解答题4 (2012 全 国卷 )设函数 f(x) exax2.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 a 1， k 为整数，且当 x0 时， (x k)f(x)x 10，求 k 的最大值 解 (1)f(x)的定义域为 (， )， f(x) exa.若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(， )上单调递增；若 a0，则当 x (， ln a)时， f(x) 0；当 x(ln a， )时， f(x) 0，

47、所以， f(x)在(， ln a)上单调递减，在 (ln a， )上单调递增(2)由于 a 1，所以 (x k)f(x)x1 (xk)(ex1)x 1.故当 x0 时， (x k)f(x)x 10 等价于kx(x0)1令 g(x) x，则 g(x) exe 1ex 由(1)知，函数 h(x) ex x 2 在(0， )上单调递增而 h(1)0， h(2)0，所 以 h(x)在(0，)上存在唯一的零点 故 g(x)在(0，)上存在唯一的零点 设 此零点为 ，则 (1,2)当 x(0， )时， g(x) 0；当 x(，)时， g(x)0.所以 g(x)在(0，) 上的最小值为 g()又由 g()0

48、，可得 e 2，所以 g() 1(2,3) 由于式等价于 kg()，故整数 k 的最大值为 2.第 3 讲 导数的应用 (二)知 识 梳 理1 生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤3 导数在研究方程 (不等式 )中的应用研究函数的单调性和极 (最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、 不等式恒成立求参数等，的问题，利用导数进行研究辨 析1 函数最值与不等式 (方程)的关系又可转化为函数的单调性、 极值与最值感 悟(1)

49、(教材习题改编 )对任意 x0， 2ax(3a 1)xa0 恒成立的充要条件是 a5， .( )(2)(2011 辽宁卷改编 )已知函数 f(x) ex 2xa有零点， 则 a 的取值范围是 (， 2ln 2 2 ( )2 关于实际应用问题又根据题意得 2(3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定 ()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解 ()(5)(2014 郑州调研改编 )已知某生产厂家的年利润 y(单位： 万元)与年产量 x(单位： 万件)的函数关系式为 y 年产量为 9 万件 ()感悟 提升1 两个转化一是利用导数研究含参函数的单调性， 常化为不等

50、式恒成立问题 注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、 不等式证明常转化为函数的单调性、 极(最)值问题处理， 如(2) 2 两点注意一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如 (3)二是在实际问题中， 如果函数在区间内只有一个极值点， 那么可直接根据实际意 义判定是最大值还是最小值，如 (4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解 .考点一 导数与生活中的优化问题【例 1】 (2013 重 庆卷 )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度 ) 设该 蓄水池的底面半径为 r 米， 高为 h米， 体积为 V 立方米 假设建造成本仅与表面 积有关，侧面的建造成

51、本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米， 该蓄水池的总建造成本为 12 000元( 为圆周率 )(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h为何值时该蓄水池的体积最大解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100 2r200rh 元， 底面的总成本为 160r2 元所以蓄水池的总成本为 (200 h 160r2)元200rh 160r 12 000 ，所以 h r(300 4r2)，从而 V(r ) r2h (300r 4r3)因 r0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当

52、r(5,5 3)时， V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知， V(r )在 r 5 处取得最大值，此时 h8.即当 r 5， h8 时，该蓄水池的体积最大 .规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式， 并确定其定义域， 利用求函数的最值的方法求解， 注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大 (小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点【训练 1】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成

53、本为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位： 万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系： C(x)3x 5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解 (1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) 3x 5.再由 C(0) 8，得 k40，因此 C(x) 3x又建造费用为 C1(x) 6x.则隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20 3 56

54、x8003x56x(0 x10) (2)f(x) 6 2，令 f(x) 0 ， 即 26.解得 x5 或 (舍去)当 0 x5 时， f(x)0，当 5x 10 时，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值f (x) 0，f(5)65 70.70 万元考点二 导数在方程 (函数零点 )中的应用【例 2】 (2013 北 京卷 )已知函数 f(x)x2xsinxcosx.(1)若曲线 yf(x)在点(a， f(a)处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值；(2)若曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，求 b 的取值范围解 由 f(x

55、)x2xsin x cos x，得 f(x)x(2cos x)，(1)yf(x)在点(a， f(a)处与直线 yb 相切f(a)a(2cos a) 0 且 bf(a)，则 a0， bf(0) 1.(2)设 g(x) f(x) bx2xsin xcosxb，令 g(x)f(x) 0 x(2cos x)0，得 x0.当 x变化时， g(x)， g(x)的变化情况如下表：xg(x)g(x)(， 0)001 b(0， )所以函数 f(x)在区间 (， 0)上单调递减，在区间 (0，)上单调递增，且 g(x) 的最小值为 g(0) 1b.当 1 b0 时，即 b1 时， g(x) 0 至多有一个实根，曲

56、线 yf(x)与 y 1 最多 有一个交点，不合题意当 1 b0 时，即 b 1 时，有 g(0) 1b0，g(2b)4b2 2bsin 2bcos 2b b4b2 2b 1b4b 2b 1b0.yg(x)在(0,2b)内存在零点，又 yg(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0， )上单调递增， yg(x)在(0， )上有唯一零点，在 (， 0)也有唯一零点故当 b 1 时， yg(x)在 R 上有两个零点，则曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不 同交点综上可知，如果曲线 yf(x)与直线 yb 有且只有两个不同交点，那么 b 的取值 范围是 (1， )规律方法 (1)在解答第 (2)

57、 问时，可转化为判定 f(x) b 有两个实根时实数 b 应满 足的条件，并注意 g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用，另外也可作出函数 yf(x)的大致图象， 直观判定曲线交点个数， 但应注意严谨性， 进行必要的论证(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程现形与数的和谐统一(或不等式 )组求解，实【训练 2】 (2012 天 津卷节选 )已知函数 f(x) x31ax2ax a， xR，其中a0.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围解

58、 (1)f (x) x2(1a)xa(x1)(x a) 由 f(x)0，得 x 1 或 xa(a0)当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表：x (， 1) 1 ( 1， a)f(x) 0 a0(a， )f(x) 极大值 极小值故函数 f(x)的单调递增区间是 (， 1)， (a，)；单调递减区间是 ( 1， a) (2)由(1)知 f(x)在区间 ( 2，1)内单调递增，在区间 ( 1， 0)内单调递减，0，1从而函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点当且仅当13.f 2 0，f 1 0， 解得 0af 0 0.所以 a 的取值范围是 3 .考点三 导数在不等式中的应用

59、【例 3】 (2014 泰 安一模 )已知函数 f(x) xln x.(1)若函数 g(x)f(x)ax在区间 e2 ， )上为增函数，求 a 的取值范围；(2)若对任意 x(0， )， f(x) x22mx3恒成立，求实数 m 的最大值 审题路线 (1)转化为 g(x)0 在e2， )上恒成立问题(2)代入 f(x)? 分离出 m? 构造函数 t(x)? 求 t(x)? 根据单调性求 t(x)的最值 ? 得 出 m 的范围? 得出结论解 (1)由题意得 g(x)f(x)aln xa 1，函数 g(x)在区间 e2， )上为增函数，当 xe2， )时， g(x)0，即 ln xa 10 在e2

60、， )上恒成立，a 1 ln x，令 h(x) ln x 1，当 xe2， )时， ln x2， )，h(x)(， 3， a 的取值范围是 3, )(2)2f(x) x2mx3，即 mx2xln xx2 3， 又 x0， m2令 t(x) 2ln xx ，t(x) 1令 t(x)0 得3 x2 2x 3x2 x2 x 1 或 3(舍)x3 x1x2 ，当 x(0,1)时， t(x) 0， t(x)在(0,1)上单调递减，当 x(1， )时， t(x)0， t(x)在(1，)上单调递增t(x)min t(1) 4，mt(x)min 4，即 m 的最大值为 4.规律方法 (1)若可导函数 f(x)