多自由度系统的振动、响应和求解

1、多自由度系统的振动、响应和求解4.1 多自由度系统的动力学方程4.2 无阻尼系统的自由振动与模态4.3 振动分析的模态叠加法4.4 无阻尼系统的响应4.5 阻尼系统及其求解4.6 模态问题的一些特殊情况4.7 传递矩阵法第四章 多自由度系统的振动大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类，系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态），将各个单自由度系统

2、的振动叠加便得到原系统的振动。因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使用。4.1 多自由度系统的动力学方程我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结构。对n个自由度的完整系统，设系统的广义坐标为qi , i = 1, 2, , n；系统的势能为V(q1, q2, , qn)，用Taylor 级数展开将广义坐标原点和零势位均取在系统的静平衡位置，得(4.1)因为偏导数的结果与求导次序无关，因此 kij = kji 。对于线性系统，(4.2)式是精确的；对于非线性系统，上式近似成立，可用来研究系统在平衡位置附近的微振动、或用来逐步逼近非线性系统。设系统受到定常约束，则动能为广义速度的二

3、次齐函数(4.2)(4.3)(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式(4.4)(4.5)(4.6)矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。根据Lagrange方程，系统的振动微分方程为(4.7)(4.8)下面解释一下刚度矩阵的物理意义。由（）式，系统的静力平衡方程为(4.10)上式的物理意义是：刚度矩阵的第j列是使qj产生单位变形所需的广义力列阵。可以应用这一物理含义直接列写系统的刚度矩阵，称为刚度影响系数法。(4.9)刚度矩阵的逆矩阵F 称为柔度矩阵柔度矩阵的第j列是Qj为单位力而使系统产生的广义坐标变形列阵。也可以应用这一物理含义直接列

4、写系统的柔度矩阵，称为柔度影响系数法。 同样，我们也可以用影响系数法来列写质量矩阵，方法是：令第 j 个广义坐标的加速度为(4.11)其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为xPabl 例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质量矩阵，设梁单位长度的质量为 rl。例4.1图ij

5、图(a) 解：根据材料力学，参见图a，在梁上 j 点作用单位横向载荷，将在 i 点产生挠度 fij ： 现在，分别在三个挠度坐标（本题的广义坐标） y1、 y2、 y3 方向作用单位力，每次得到一个挠度向量，将它们写成矩阵就是柔度矩阵。比如在y1方向作用单位力，按照前面的挠度公式，可得三个坐标方向的挠度为：因此，柔度矩阵的第一列为类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为系统的动能为。所以，系统的质量矩阵为其中 例4.2 建立图示三级摆的线性自由振动方程。设例4.2图 解：我们用Lagrange方程来建立振动方程。 各质点的速度为所以系统的动能为系统的势能为（注意：为了得到线性振动方程，能量

6、表达式必须保留到二阶微量）微振动时， 为小量，将以上能量保留到二阶小量，得代人Lagrange方程得系统的振动方程为 例4.3 如图所示结构，刚性矩形板由三根长度均为L的无重弹性支柱支撑，支柱与板和地面刚结，每根支柱抵抗端点位移产生的弯曲刚度为12EI/L3，支柱的扭转刚度不计。如图所示，取板的广义坐标为A、B和E三点在水平面内的位移，即广义坐标列向量为 q = v1, v2, v3T。用刚度影响系数法求刚度矩阵。例4.3图ABCDE瞬心位移图受力图ABCDE时板的位移和受力图图(a) 解：（1）求刚度矩阵第一列参见图 a，可得板的力平衡方程：；其中 解得因此，刚度矩阵第一列为时板的位移和受力

7、图图(b)位移图ABCDE瞬心受力图CBADE （2）求刚度矩阵第二列参见图 b，可得板的力平衡方程：；其中 因此，刚度矩阵第二列为解得时板的位移和受力图图(c)受力图CBADE位移图ABCDE板平动 （3）求刚度矩阵第三列参见图 c，可得板的力平衡方程：；其中 因此，刚度矩阵第三列为解得 综合以上结果，得系统的刚度矩阵为4.2 无阻尼系统的自由振动与模态1. 自由振动与模态的产生设系统自由振动方程为(4.12)其中 x 为 n 维列向量。设方程的解为(4.13)代入（），得(4.14)方程（）为方程（）的特征（本征）方程，因此线性系统自由振动的求解转化为相应特征值问题的求解。由方程（）可以求

8、出 n 个特征值因为M、K 矩阵为实对称正定和半正定矩阵，根据线性代数理论，将保证以上所有特征值大于或等于零。因此，常数对于自由振动解（）是有意义的，它们代表了自由振动的固有频率。由此有结论，n自由度系统有 n 个固有频率。进一步，对应于每个特征值（每个固有频率），由方程（）可求出一个特征向量，有只要所有特征值都是单根，所有特征向量将是线性独立的。这样，我们得到了n个特征对每一个特征对叫做一个模态（mode），wi 称为模态频率（或固有频率）， f i 称为模态振型（modal shape）；经常也将振型称为模态。因为以上模态都是实数，因此称为实模态。对于自由振动，n个模态就是n个线性无关的自

9、由振动解（但模态还有更大的意义，下面逐渐介绍）。由此得线性系统自由振动通解为(4.15)2. 模态的代数性质每个模态应满足特征方程（）：两式相减并考虑到K、M的对称性，得(4.16)(4.17)(4.18)(4.17)、(4.18)表示模态的一个最重要的性质，称为振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性，简称振型的正交性或模态的正交性。模态的其它性质是特征值问题共有的。第二个重要性质是：任一振型乘以一个不为零的常数仍为相应模态的振型。第三个重要性质是：线性系统（）经相似变换不改变系统的特征值。(4.18)(4.19)4.3 振动分析的模态叠加法应用模态的性质，现在推导多自由度系统振动分析的分解、叠加

10、方法。因为在所有特征值为单根的条件下，所有振型是线性无关的，因此我们取坐标变换代入无阻尼振动方程(4.20)(4.23)(4.21)(4.22)这样，原方程已分解为（）的n个独立的单自由度振动方程，这种过程称为解耦，解耦后的坐标 xP 称为模态坐标或主坐标。求出主坐标的解xP(t) 后，由坐标变换式（）得到原广义坐标的解，这个变换的本质就是线性叠加。到此，利用模态对线性系统振动进行分解、叠加的完整分析方法已建立，称为模态叠加法。 对方程（）再作变换，可写成标准形式。令(4.24)标准方程（）在多自由度系统理论中称为正则形式或简正形式(normal form)，坐标 xN 称为正则坐标或简正坐标

11、。(4.26)(4.25)即由广义坐标方程（）到简正坐标方程（），可写成一个总的坐标变换，称为正则（简正）变换(4.27)下面我们回过头去考察模态叠加法的数学和力学本质。将变换过程重写于下：因为方程(a)的解归根到底是一个 n 维向量，它可用任意一组n维向量基线性表示，并且向量基选定后，这种表示是一一对应的，因为变换(b)是非奇异变换，因此变换(b)使方程（c）与方程（a）等价（两个方程的解相互满足）。只要方程（c）成立，方程（d）必成立，反过来，若方程（d）成立，则因此方程（c）与方程（d），即方程（e）等价。最终方程（a）与方程（e）等价。以上从数学上证明了模态叠加法的正确性。同时看到，在

12、方程（c）两边同乘任何非奇异矩阵都是可行的，但是同乘 FT ，不但可以利用模态的正交性来对方程解耦，而且符合动力学基本原理。因为经（a）式变换后因此，模态叠加法不但数学上是正确的，而且完全满足动力学基本原理；同时还将系统的动能、势能变换为各模态能量的简单叠加，这一结果有实际应用价值。4.4 无阻尼系统的强迫振动响应1. 简谐激励响应本节应用模态叠加法和其它方法，对多自由度无阻尼系统在不同激励下的响应，给出明确的分析计算方法。设系统简谐激励方程为(4.28)设稳态解为代入（）得所以稳态响应为(4.29)称为系统的阻抗矩阵或动刚度矩阵，称为系统的频率响应矩阵或动柔度矩阵。阻抗矩阵和频响矩阵的物理含

13、义是不同激励频率处激励力幅（列阵）与响应幅值（列阵）之间的比例系数矩阵。实际中可以用实验测试建立这两个矩阵。以上方法求响应直观、简单，但对高阶系统，实际应用却有很大的困难，原因是频响矩阵的获得需要求矩阵的逆，高阶矩阵求逆不但比较困难，而且精度很难保证；还有，在设计系统时，一般要求知道频响矩阵在一段频带上的分布，需要逐点求出频响矩阵，计算量太大、可信度难以保证。下面用模态叠加法来求简谐响应。对方程（）作模态坐标变换，得(4.30)下面用模态叠加法来求简谐响应。对方程（）作模态坐标变换，得解（）得(4.31)比较（）与（）可得，频响函数矩阵的模态展开式为(4.32)如果上式中的振型取为正则（简正）

14、振型，则有(4.33)显然，当sk = 1时，H(w)的非零元素，系统振幅 ，系统共振，因此 n 自由度系统有n 个共振频率。当简谐激励频率在某个共振频率 wk 附近时，系统的响应将主要由（）式右端的第 k 项确定，即有(4.34)任意周期激励的响应，只要将周期激励展开成Fourier级数，再将级数中每项简谐激励的响应叠加即可。例 求图示系统的稳态受迫振动。解：系统的动力学方程为可求出模态为例4.4图振型可表示成下图：11.8022.2470.44510.80211.2470.555H13(w)H23(w)H33(w)2. 瞬态响应任意激励的振动方程为(4.35)两边作Fourier变换，得所

15、以(4.36)(4.37)(4.38)由卷积定理直接得时域表达式，当 时，有 根据频响函数矩阵H(w)的模态展开式（）或（），可将频率响应（）写成(4.39)查Fourier变换表得到(4.40)(4.40)式可由另一条路径得到。对(4.35)式作模态变换得(4.41)对(4.42)中的各个方程应用Duhamel 积分，得(4.42)由(4.41)就得到(4.40)。4.5 阻尼系统及其求解1.阻尼的结构、系统动力学方程 实际的阻尼机理都是很复杂的，对其建立精确的模型是很难的。当系统的阻尼比较弱时，处理方法还是将其等效为粘性阻尼。因此在多自由度系统中，一般将阻尼产生的广义力假设为系统广义速度的

16、线性函数(4.43)将q 改记为x，得系统动力学方程(4.44)矩阵C一般为对称正定或半正定矩阵。2. 响应的求解方法（1）模态阻尼方法这种方法认为矩阵C 可用实模态矩阵近似解耦，即因此通过模态变换 x = F xP 方程（）变换成n个独立的单自由度方程(4.45)(4.46)(4.47)求出xP后，由模态变换返回到系统的原坐标，就得到系统的响应。在实际应用中，这种方法对阻尼有两种处理方法：(1) 不去建立阻尼系数矩阵C ，而是凭经验或实验指定各阶模态的阻尼比zj。(2) 认为阻尼为比例阻尼，即假设阻尼系数矩阵C为(4.48)通过实验确定比例系数a、b。例4.4图F(t)例4.5 对如图阻尼系

17、统，(1) 建立阻尼矩阵，考察是否能表示成比例阻尼。(2) 如果有k1 = k2 = k3 = k， m1 = m2 = m3 = m， c1 = c2 = c3 = c，F(t) = F cos w t， 求系统的稳态振动。解：阻尼力产生的虚功为系统动力学方程为如果阻尼能表示成比例阻尼，则必须有等价于因此，本题的阻尼当满足上述条件时，可以表示为比例阻尼。如果有k1 = k2 = k3 = k ， c1 = c2 = c3 = c ，则满足上述条件，系统为比例阻尼，可通过模态变换解耦。取模态变换(2) 复模态方法当阻尼系数矩阵C不能解耦时，以上方法不能采用。(4.49)设M、K、C 均为实对称

18、正定矩阵。求解这一方程的基本思想仍然是采用解耦方法，先来求出齐次方程的特征对设 x = f el t 对应的特征方程为(4.50)由此可解出2n个特征根和特征向量与实模态不同，现在 li 可以是实根或复根。如果li 是实根，则一定是负数，因为我们假定了阻尼矩阵C为正定，这时对应于衰减自由运动。如果li 是复根，它一定具有负实部，且由于方程的系数都是实的，所以复特征根一定是共轭成对地出现，进一步复特征向量也是共轭成对地出现。每一对共轭复根对应于特定频率和衰减率的一种衰减自由振动。系统的复特征值和复特征向量称为系统的复模态。现在的复振型矩阵为因此它的各列不独立，进而不能直接用它来对方程（）解耦，但

19、可用方程扩阶的方法解决。将方程（）改写为(4.51)(4.52)(4.54)(4.53)容易验证，(4.51)式的复模态经组合将是(4.54)的特征问题解再来看特征向量yi 的正交性。由(4.54)有(4.55)因此我们可以用复特征向量系yi , i = 1, 2, , 2n对方程(4.53)解耦，解耦变换为(4.59)(4.56)(4.57)(4.58)(4.60)方程(4.53)变为(4.61)方程(4.61)对应于零初始条件的解，可用积分变换法求解。方程(4.61)两边作Fourier变换，得由卷积定理得(4.62)(4.63)其中算符 “ ” 表示卷积。根据解耦变换式(4.59)，有(

20、4.64)(4.65)到此，我们已将线性阻尼方程(4.49)的任意激励解表达成复模态叠加的卷积积分形式。当系统受到简谐激励时由(4.65)式，系统的响应为(4.66)最后来求系统对应于初始扰动的响应。设系统的初始条件为：当 t = 0时，有(4.67)(4.68)(4.69)(4.70)4.6 模态问题的一些特殊情况 1. 等固有频率（重特征值）的情形当特征值均为单根时，n 维系统有 n 个线性无关特征向量，它们构成 n 维线性系统的完备解耦基。当特征方程出现重根时，对应的特征向量不能唯一确定。比如，设特征方程有二重根 l1 = l2 = lr ，对应的特征向量为 f (1) 与 f (2)

21、，所以现在的问题是：当 r 重根对应于 r 个线性无关的特征向量时，如何选定这 r 个线性无关的特征向量？回答是应按正交性条件来选取，即所选定的特征向量必须满足M、K的正交条件。举例说明如下：如图系统，质量和刚度矩阵为容易确定对应于 l1 、 l4 的特征向量为：m图4.1可见结果完全正确。2. 固有频率随系统参数的变化研究固有频率随参数的变化规律，目的是寻找系统的动态设计和改进振动系统的方法。设系统的特征值问题为假定质量、刚度矩阵随参数 s 变化，上式对 s 求偏导数(4.71)假定振型已经正则化，即(4.72)这就是固有频率随参数的变化规律，它实际上是固有频率的参数灵敏度。如果系统有多个参

22、数可以调整，通过计算和比较灵敏度的大小，可知道调整哪些参数更有效。例4.6 图示为发动机的扭振模型。各个 J 为转动惯量，各个k 为轴的扭转刚度；具体值见下表。考察二阶固有频率对各个J和k的灵敏度。例4.6图下标 jJj / kgm2kj / 105 Nm/rad10.101.0020.100.5030.500.2540.301.0051.10解：系统的质量、刚度矩阵为求得系统的固有频率和振型矩阵为根据灵敏度公式(4.72)可得，下标 irad/s/kgm2rad/s/Nm/rad12.751026.02 10-622.52 1029.22 10-531.70 1023.33 10-341.6

23、3 101.06 10-456.05 10灵敏度的计算结果如下表：3. 约束对固有频率的影响多自由度系统加上约束后，固有频率会发生相应的变化，现在来定性考察这一问题。设系统已经解耦成正则坐标形式：现在假设对正则坐标集加上一个线性约束(4.73)(4.74)原方程(4.73)变成对应的特征值方程为这是一个关于 w2 的n 1次多项式求根问题，它有n 1个根，为了判断这n 1个根的值，我们来考察D(wi)，i = 1, , n。上式第一行元素乘以(ci / c1)再加到第i行上去，可得假设n 个固有频率已经安递增次序排列那么以上各个D(wi)的正负号刚好是交替出现的。这表明 wi 与 wi+1 之

24、间有D(w) 0 的一个根，因此约束后系统的n 1个特征根（固有频率）镶嵌在原系统的n 个固有频率之间。如图所示。D(w1)D(w2).D(w)ww1w2w3wn-1wn约束系统的 n 1个固有频率图4.2D(wn-1)D(wn)4.7 传递矩阵法 1. 轴的扭转振动传递矩阵法是链式结构动力学建模的一种离散集结方法，可以用来计算模态振动。多盘扭振系统的建模方法如下：将图的整体系统分割成结构形式相同的两端单元，如图。将盘视为刚性质量元件、轴段视为柔性无质量元件。无质量轴段的扭转运动取决于轴段两端的转角和扭矩，因此取各元件的转角和扭矩作为状态变量于是，第 i 个盘的动力学方程为（参见图）对于第 i 个轴段（参见图） ，平衡与变形方程为于是得到第 i 单元两端状态的传递关系（从第 i 1 个盘右侧