考研数学2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析

1、2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：此题共10小题，每题4分，共40分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1) 当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 利用无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比拟分析找出正确答案.【详解】 当时，有； 利用排除法知应选(B).(2) 函数在上的第一类间断点是x =(A) 0. (B) 1. (C) . (D) . A 【分析】 此题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。【详解】 f

2、(x)在上的无定义点，即间断点为x =0,1,又 ，可见x=0为第一类间断点，因此应选(A). (3) 如图，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设那么以下结论正确的选项是(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 此题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C). (4) 设函数f(x)在x=0处连续，以下命题错误的选项是

3、(A) 假设存在，那么f(0)=0. (B) 假设存在，那么f(0)=0. (C) 假设存在，那么存在. (D) 假设存在，那么存在 D 【分析】 此题为极限的逆问题，某极限存在的情况下，需要利用极限的四那么运算等进行分析讨论。【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.假设存在，那么，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导. (5) 曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. D 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近

4、线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).(6) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 那么以下结论正确的选项是(A) 假设，那么必收敛. (B) 假设，那么必发散. (C) 假设，那么必收敛. (D) 假设，那么必发散. D 【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。【详解】 设f(x)=, 那么f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 那么f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又假设设，那么f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D).

5、 (7) 二元函数f(x, y)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是(A) . (B) ，且. (C). (D) ，且. C 【详解】 选项(A)相当于f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于两个一阶偏导数存在，因此(A),(B)均不能保证f(x, y)在点(0，0)处可微。选项(D)相当于两个一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x, y)在点(0，0) 处可微。假设，那么，即同理有从而 = =0根据可微的定义，知函数f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(C). (8) 设函数f(x, y)连续，那么二次积分等于(A) .

6、(B) .(C) . (D) . B 【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。【详解】 积分区域 D: , 也可表示为 D: , 故 =，应选(B). (9) 设向量组线性无关，那么以下向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . A 【详解】 用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ，故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.(10) 设矩阵, ,那么A与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. B 二、填空题

7、(1116小题，每题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) (11) =【详解】 = = (12) 曲线上对应于的点处的法线斜率为【详解】 因为 ，于是，故法线斜率为 (13) 设函数那么=【详解】 一般地，从而 = (14) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中为任意常数. 【详解】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k= 2. 故通解为 (15) 设f(u,v)是二元可微函数，那么 =【详解】 ，于是有 = (16) 设矩阵, 那么的秩为1.【详解】 依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1.三、解答题：(1724

8、小题，共86分. )(17)此题总分值10分设f(x)是区间上的单调、可导函数，且满足 ，其中是f的反函数，求f(x).【分析】 等式两端先对x求导，再积分即可。【详解】 在等式两端先对x求导，得 ，即 ， 也即 .于是 =由题设知, f(0)=0, 于是c = 0，故 (18)此题总分值11分设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域。( = 1 * ROMAN I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);( = 2 * ROMAN II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值.【分析】 V(a)的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V(a) 的最小值即可。【详解】 ( =

9、1 * ROMAN I) = = ( = 2 * ROMAN II) , 得 ， 即 a = e. 由于a = e是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为 (19)此题总分值10分 求微分方程满足初始条件的特解。【分析】 此题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。【详解】 令，那么原方程化为 即 ，其解为 利用u=,有C =0, 于是 , 由 知应取. 再由 ，积分得，代入初始条件y(1)=1，得， 故满足初始条件的特解为. (20)此题总分值11分 函数f(u)具有二阶导数，且，函数y=y(x)由方程所确定，设，求【详解】 ， 在中, 令x= 0 得y=1 . 而由两边对x求导得

10、再对x求导得 将x=0, y=1代入上面两式得 故 21此题总分值11分设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，假设令，那么问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 假设能再找一点，使得，那么在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】 构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(

11、x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得，假设，令, 那么假设，因，从而存在，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得. 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即 22此题总分值11分设二元函数 计算二重积分，其中【分析】 被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。【详解】 由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的局部. 设 ,.因此 .(23) (此题总分值11分)设线性方程组 = 1 * GB3 与方程 = 2 * GB3 有公共解，求a的值及所有公共解【分析】 两个方程有

12、公共解就是 = 1 * GB3 与 = 2 * GB3 联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将 = 1 * GB3 与 = 2 * GB3 联立得非齐次线性方程组: = 3 * GB3 假设此非齐次线性方程组有解, 那么 = 1 * GB3 与 = 2 * GB3 有公共解, 且 = 3 * GB3 的解即为所求全部公共解. 对 = 3 * GB3 的增广矩阵作初等行变换得: .于是1 当a=1时，有=23，方程组 = 3 * GB3 有解, 即 = 1 * GB3 与 = 2 * GB3 有公共解, 其全部公共解即为 = 3 * GB3 的通解，此时，此时方程组 = 3 * GB3

13、为齐次线性方程组，其根底解系为: , 所以 = 1 * GB3 与 = 2 * GB3 的全部公共解为，k为任意常数.2 当a =2时，有=3，方程组 = 3 * GB3 有唯一解, 此时，故方程组 = 3 * GB3 的解为: , 即 = 1 * GB3 与 = 2 * GB3 有唯一公共解: 为. (24) (此题总分值11分)设3阶对称矩阵的特征值 是的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵.( = 1 * ROMAN I) 验证是矩阵的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量( = 2 * ROMAN II) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 ( = 1 * ROMAN I) 由 得 , 进一步 , ，