中学数学高级教师评审面试答辨试题2019

1、 中学数学高级教师评审面试答辨试题初中及小学：1.2011版课程标准与老版课程标准有什么区别？一、“课程基本理念”的修改1将“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。2将“数学学习”和“数学教学”两条合并成一条“教学活动”，整体上阐述数学教学活动的特征。二、“设计思路”的修改1对“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”四个方面的课程内容做了明确的阐述。2把“双能力”改变为“四能力”：在原来培养学生“分析和解决问题能力”的基础上，新增加了培养学生“发现和提出问题的能力”。3完

2、善了一些具体目标的描述：比如对于学习习惯，明确指出使学生养成“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”。4规范了课程目标的若干术语。并在学段目标中使用这些术语。四、“课程内容”（原名“内容标准”）的修改五、“实施建议”的修改六、实例的修改七、增加了附录1、分解因式最基本的方法是什么？你如何讲分解因式这一问题的。因式分解是多项式的一种恒等变形，它是把多项式转化成为几个整式的乘积的形式，与整式的乘法是相反的运算。因式分解的方法很多，常用的也是课标规定要掌握的主要是两种：、提公因式法；、运用公式法。用提公因式法分解因式时，首先要理解公因式的概念。所谓公因式指的是多项式中各项都含有的相同的因

3、式，公因式包括系数和字母两部分。其中系数是多项式各项系数的最大公约数，字母是各项中都含有的字母，字母的指数取各项中最低的次数。例如，多项式4X2y3-6xy2+2x2y的公因式应该是2xy,当然也可以是-2xy。值得注意的是，当提取的公因式前面带“一”时，则放到括号里的每一项都要改变符号。要求学生掌握下面两个公式：1、平方差公式：(a+b)(a-b)二a2-b2；2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2。不过在进行因式分解时，则是将这些公式反过来使用，即平方差公式变形为：a2-b2=(a+b)(a-b)；而完全平方公式变形为：a2+2ab+b2=(a

4、-b)2、a2-2ab+b2=(a+b)2。在运用平方差公式分解因式时，多项式应具备三个特点：1、必须是二项式；2、每一项(不含符号)都必须是一个单项式(或多项式)的平方；3、两项的符号相反。而运用完全平方公式分解因式时，多项式也应具备三个特点：1、必须是三项式；2、其中平方项符号相同；3、第三项必须是平方项的底数的积的2倍。3、教材中没有“十字相乘法”，你对此有何看法。在教学分解因式中，以前的教材都将十字相乘法列为必学内容，为日后的解一元二次方程打下基础，同时，我个人认为这个内容对领略数学的变化美很有好处，具有一定的承上启下的作用，但新教材却对这些内容不作处理，淡化了这个知识点。同时，在同样

5、的北师大版本的资料中，有些问题却需要利用这个知识点来解决，方能使解题过程简化，不知各位同仁对这个问题如何处理？我采取的策略是：对部分基础较好的同学介绍了这个知识点，当然，主要是侧重于如何运用这种方法，也不是很深入，权作丰富课外知识吧。4、解方程：x3-2x+1=0解：(x32x2+x)+(2x23x+1)=x(x22x+1)+(2x1)(x1)=x（x一1）2+（x一1）（2x一1）=（x一l）（x2+x一1）=0 x-1二0或x2+x-1=0一1J5x=1,x=12,325、圆是中学数学重点内容，你如何给学生讲弦切角等于同弧所对圆心角的度数的一半做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说

6、明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补，然后过切点的直径垂直于切线，弦和切线把这个直角分成两部分，其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角，然后用等式性质减去重复的部分，剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。6、试说明垂径定理，相交弦定理，圆幂定理的关系垂径定理及其推论是指：一条弦在“过圆心”“垂直于另一条弦”“平分这另一条弦”“平分这另一条弦所对的劣弧”“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用

7、，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。它们都是研究过圆内或圆外作圆的两条线段，则这两条线段被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段的关系。7、有理数运算中去括号是学生易错的地方，你在教学中如何突破这一难点。有理数运算中去括号是学生易错的地方。作为教师，我们在面对学生犯错的时候，如何减少学生在有理数运算中去括号的错误，应该

8、是有理数教学的一项重要任务。例如：（一6）X（4）（32）-（8）3。如果我们在备课时认真分析，预测学生在计算中去括号可能会出现的问题有哪些？为什么会出现这些问题？如何避免这些问题？在教学过程中，通过一两个典型的例题，让学生暴露错误，师生共同分析出错的原因，学生就能从反面经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时提高了分析问题和解决问题的能力。因此，要想少出错，教学中教师就应该一积极主动的态度对待错误和失败，备课时可适当从学生去括号易错的思路去构思，课堂上应加强去括号典型例习题的分析，让学生充分暴露错误的思维过程，使学生在纠正错误的过程中掌握正确的思维方法。8、试说明“除以一个

9、数等于乘以这个数的倒数”的数学原理，35女口：4一一=4x-53I、根据分数意义进行诠释命题。如：4的一半是多少？显然可以这样解4F2,也可以这样解4X1，由于两者的结果是相等的，因此我们得出42=4X丄，由此也就得出了除以一个数（0除22外）等于乘以这个数的倒数。9、根据分数与除法的关系以及除法的运算定律诠释命题。35女口：4一5=4一（3一5）=4一3x5=4x5一3=4x（5一3）=4x-。由此也得出了除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数。以上两种方法属于不完全归纳法。要想真正证明此命题，或许需要用到初等数论，甚至高等数论的知识。10、数学中有无对乘法运算不满足结合律的运算，a-（b

10、-c）=（a-b）-c，如有试举例说明如没有说明为什么？解:数学中有对乘法运算不满足结合律的运算如：-b）3丰a-因为b）?表示与C共线的向量，而a-c表示与a共线的向量，一般情况下a与c不共线。II、一元二次方程的求根公式是初中数学的重点内容你是如何推导ax2+bx+c二0（a丰0）的求根公式的。解:丁ax2+bx=-cna(x2+x+()2)=-c+a()2a2a2aa(x+)a)2b2-4ac4abb2-4ac(x+)22a4a2当x/b2-4ac0时方程有根，所以ax2+bx+c=0(a丰0)的求根公式是x-b土b2一4ac1,22a12、(韦达定理)根与系数的关系ax2+bx+c=0

11、(a丰0)x+x=-,xx=，若12a12aA=b2-4ac0，这一定理还成立吗?答:不成立。13、用“二分法求方程的近似解”所包含的数学思想方法有哪些?试给予说明。解：二分法：对于在区间a,b上连续不断，且满足f(a)f(b)0时，有最小值（x=-时，最小值是4aC也）,2a4a当a0时，有最大值（x=-时，最大值是力力）。2a4a20、函数的最大（小）值与极大（小）值有何异同，试举例说明。极大/极小值是一个局部的性质，它要求在这一点的导函数为零且左右两边局部区间内的导函数符号相反。你可以笼统地理解为“极大/小值点在局部的小区间上光滑地隆起/凹陷”。而最大/小值讲的是一个区间整体的性质，是指

12、整个这一区间中最大/小的值。如果最大/小值点存在的话，它将在极值点、不可导点（可以理解为不光滑的点）以及区间端点中产生。举个简单的例子，函数y2x（x立方）+3x（x平方），这个函数在x=-1的时候取到极大值，但这点不是最大值点；在x=0的时候取到极小值，但这点也不是最小值点。在整个定义域+8）,它没有最大值也没有最小值，但极值存在。但是，如果在区间-1.1，0.1上，这两个极值点就分别成为最大/小值点了。由此可见，极值是一个局部的性质，是不依赖于规定的区间的。而最值是一个区间内的整体的性质，所规定的区间不同，最值也会发生变化。21、初一安排学生学习“无盖盒子的最大值”的求法包含了哪些重要的数

13、学思想？对学生而言学习“无盖盒子的最大值”的求法是一种新的学习方式，它需要学生综合本学期所学过的数学知识、技能与方法，通过解决问题的方式去获得对相关知识与方法的进一步的理解，体会各个部分之间的联系。让学生经历实验、想像、分析、猜测、交流、推理和反思等一系列过程，综合图形的展开与折叠、字母表示数以及用代数式的值去推断代数式所反映的规律，从而在提高学生综合运用知识能力的同时，培养学生的实践探索及创新能力，并且有利于进一步推动学生学习方式的改变，加强学生的合作、交流以及事必求真的科学精神，更好地激发学生的学习热情。在解决问题的过程中进一步丰富学生的空间观念与符号感；通过借助已有的信息去推断事物变化的

14、趋势的活动，发展学生的推理能力；体验数学知识之间的内在联系，初步体验数学活动是一个整体；获得一些研究问题的方法和经验。22、教材中介绍了哪些三角形全等的判定方法，你是如何讲的。答：教材中介绍了一般三角形全等的四种方法:边边边公理；边角边公理；角边角公理;角角边定理。欧几里得几何是初中几何的蓝本，而欧几里得几何是建立在公理体系之上的。所谓公理是不需要证明的公认的真命题，在教学中让全班同学都按已知三边或已知两边及夹角或已知两角及夹边画三角形。结果全班同学都画出了形状相同，大小相等（即全等）的三角形，全班展示后就直观地认可了以上公理，而角角边定理实质上是角边角公理的推论，由三角形内角和定理很容易将已

15、知两角及其中一角的对边转化成已知两角及夹边。对于直角三角形除以上判定方法外，另有斜边、直角边公理。本来公理不需要证明，按以上方法教学即可。但为了更进一步加深对已知两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定是全等的理解，也可用拼接法证明。因为斜边对直角，将两个直角拼成一个平角，两个直角三角形就拼成了一个等腰三角线，等边对等角又得一条件，用角角边证之。23、三角形全等与三角形相似的关系是什么？答:三角形全等是三角形相似的特殊情况,是相似比为1的相似三角形。24、把相似关系拓广到空间，有“相似体”的概念，你可否归纳相似体的几何性质。相似体的几何性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比。

16、相似体的表面积的比等于相似比的平方。相似体的体积的比等于相似比的立方。25、勾股定理是中学重要定理，你是如何给学生证明的。教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。步骤：做一个RtAABC,以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF丄BI，CG=BC，HG丄AC,这样就把正方形ABDE分成五部分。沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。1.利用五巧板拼“青朱出入图”2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？3用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？4利用五巧板还

17、能通过怎样拼图来验证勾股定理？可能的拼图方案：意图：通过前面的展示，学生可能已经基本理解了所谓的“无字证明”，但没有通过亲身的体验，可能仍有相当数量的学生难以认同，甚至部分学生可能还存在一定的怀疑，为此利用五巧板拼图证明勾股定理，力图通过学生的亲身实验进一步确认“无字证明”的验证方法。26、你所了解的数学史上勾股定理研究的情况是。国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就IEM

18、2002SatellLieConference启09.30JSep.2002又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的按照毕达哥拉斯定理（勾股定理），若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭,而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索

19、斯投入大海不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达芬奇称之为“无理的数”无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决我们将在下一章学习有关实数的知识趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什1么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法.1876年4月1日，他在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人伽菲