2020-2021学年湖南省长沙市高一下学期期末考试数学试卷

1、长沙市2020-2021学年度高一第二学期期末考试数学一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. C2. 如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与C3. 设复数满足：，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. C4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=0A5. 根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南

2、风的概率为25%，下雨的概率为35%，吹南风或下雨的概率为38%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 22%B. 13%C. 24%D. 28%A6. 已知一组数据的分位数为4，则的值和其总体方差分别为（ ）A. 2，9B. 3，10C. D. D7. 三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. C8. 已知三个内角，及其对边，其中，角为锐角，且， 则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. A二多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列说法不

3、正确的是（ ）A. 抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定C. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D. 一组数据的中位数和众数都是5ACD10. 复数满足，则下列说法正确的是（ ）A. 在复平面内点落在第四象限B. 为实数C. D. 复数的虚部为ABC11. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）A. 直线与圆一定相交B. 直线一定将圆平分C. 当时，被截得弦长为D. 被截得的最短弦长为4AD12. 正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与直线不垂直B. 直线与平面平行C. 平面

4、截正方体所得的截面面积为3D. 点到平面的距离是点到平面的距离的ABD三填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若直线的方向向量为平面的法向量为，则直线与平面的关系为_14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_ 15. 一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球的编号和不大5的概率为_16. 已知三条直线，其中为实数，不同时为零，不同时为零，且设直线交于点，则点到直线的距离的最大值_四解答题：本大题共6小题，共70分解答应出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知在某次招考测试中，甲乙丙3人各自通过测

5、试的概率分别为求：（1）至少有1人通过测试的概率；（2）恰有2人通过测试的概率（1）设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，事件与相互独立，由题意有：设事件“甲乙丙3人中至少有1人通过测试”，则对立事件（2）设事件“甲乙丙3人中恰有2人通过测试”，则，由于事件均相互独立，并且事件两两互斥，因此18. 四棱锥，底面为正方形，边为中点，平面（1）若为等边三角形，求三棱锥的体积；（2）若的中点为与平面所成角为，求与所成角的正切值（1）为等边三角形，且为中点，又平面，三棱锥的体积（2）平面，又直线在平面内的射影为,为与平面所成角，即，如图所示为等腰直角三角形，分别为的中点，所以（或

6、其补角）为异面直线与所成的角，平面平面，又平面，平面，平面，在中，所以与所成角的正切值为.19. 某校农村中学有学生1000人在假期研学旅行中开展地方劳动技术教育，结束时对某一项劳动技能进行测试，测试结果如下表分数段人数50150300300200（1）估计本次测试的平均成绩并完成频率分布直方图；（2）在90分以上（含90分）男生占60%，在这部分学生中按男女生比例抽取5人担任助教，并在这5人中随机抽3人担任助教长，求助教长中恰好有一名女生的概率（1）依题意有平均分为（分）；的频率为，对应频率除以组距的值为，的频率为，对应频率除以组距的值为；故频率分布直方图如下：（2）抽取的人中男生有：人，女

7、生有：人，记男生为，女生为，则从人中抽取人对应的所有基本事件有： 共种可能，记“助教长中恰好有一名女生”为事件，其对应的基本事件有：，共种，所以，所以助教中恰有一名女生的概率为.20. 如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值（1）证明：连接交于点，连接，在三棱柱中，四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.（2）解：因为为等边三角形，为的中点，则，又因为平面，以点为坐标原点，、的方向分别为、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则，取，可

8、得，.因为，平面与平面夹角的余弦值为.21. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥，现在正在修建的中国到尼泊尔的穿过珠穆朗玛峰的隧道等如图为某工程队要在山体的水平面上从到修建一条隧道，测量员测得，因为具体情况不能测出与的长，但发现为中点，设（1）用表示；（2）若，求的长；求的面积（1）因为为中点，所以，所以（2）由（1）知，所以，得所以，化简可得解得或，又，所以，代入，得，所以，所以所以，所以的面积22. 如图，已知圆O，过点E(1，0)的直线l与圆相交于A，B两点.（1）当|AB|=时，求直线l的方程；（2）已知D在圆O上，C(2，0)，且ABCD，求四边形ACBD面积的最大值.解：（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜