2021-2022学年福建省厦门市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年福建省厦门市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1复数的共轭复数是（）ABCDB【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为 ，故选：B2已知向量，则在上的投影向量为（）ABCDD【分析】由投影向量的定义代入公式求解即可.【详解】由投影向量的定义知，在上的投影向量为.故选：D3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期

2、大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选：A4平面向量满足，且，则（）AB13CD21A【分析】由得到，由向量数量积运算法则求出，从而求出.【详解】由得：，所以，其中，故.故选

3、：A5我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若，则=（）ABCDB【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，则，解得，所以.故选：B6在中，角所对的边分别为，已知，则（）AB或CD或C【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得.【详解】依题意，由正弦定理得，即.由于，所以.故选：C7在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则（）ABCDC【分

4、析】根据正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可【详解】解：，由正弦定理得，即，由，得，即，即，则，故选：8在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将 ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为（）A3BC6D24C【分析】由三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球求解.【详解】解：在正方形ABCD中，折起后OD，OE，OF两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，所以=，所以，所以该三棱锥外接球的表面积为，故选：

5、C.二、多选题9用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A直角三角形B等腰梯形C正五边形D正六边形AC【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项【详解】截面为六边形时，可能出现正六边形，当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可

6、能出现直角梯形；当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；故选：AC10下列命题是真命题的有（）A有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5BCD根据分层抽样的性质判断A；计算出平均数、中位数、众数判断B；计算乙的方差判断C；由百分位数的性质判断D.【详解】对于A项，乙、丙抽取的个体数分别为，则样本容量为，故A错误；对于B项，平均数为，中位

7、数为，众数为，故B正确；对于C项，乙的平均数为，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D项，将该组数据总小到大排列，由，则该组数据的85%分位数为5，故D正确；故选：BCD11设的内角、所对边的长分别为、，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判断即可；【详解】解：对于A选项，可以得出，故A正确；对于B选项，因为，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，故B错误；对于C选项，假设，则，则，所以与矛盾，故C正确，对于D选项，取，满足，此时，故D错误；故选：AC.12如图，在直三棱柱中，点是侧棱上的一个动点，则下列判断正确的是（）A直三

8、棱柱侧面积是B直三棱柱外接球的体积为C存在点，使得为钝角D的最小值为ABD【分析】求出棱柱侧面积判断A；求出棱柱外接球体积判断B；判断以为直径的圆的位置关系判断C；利用对称方法求出的最小值判断D作答.【详解】在直三棱柱中，的周长为，此三棱柱侧面积是，A正确；依题意，线段AC是直三棱柱外接球被平面ABC所截得的小圆直径，则球心到平行平面ABC与的距离相等，即球心到截面小圆ABC的距离为，因此，球半径，球的体积为，B正确；如图，在矩形内，以为直径作半圆，其半径，圆心到直线的距离为1，即直线与以为直径的半圆相切，则上的点除切点外均在此半圆弧外，即不存在点，使得为钝角，C不正确；在矩形所在平面内，延长

9、至F，使，连AF交于，对上任意点E，连接，如图，因，则，当且仅当点与重合时取“=”，所以，D正确.故选：ABD关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题13已知i是虚数单位，当复数为实数时，实数_.根据复数为实数列出式子计算即可.【详解】复数为实数，即，解得.故答案为.本题考查复数的分类及其计算，属于基础题.14抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师人数为_.【分析】根据图中的数据，分别求得本科学历和研究生学历的教师人数，再根据35岁以下的本科人数所占比例求解即可得答案.【详解】

10、解：由图可知本科学历的教师共有人，故研究生学历的有人.35岁以下的本科人数有人，35岁以下教师的比例为，所以35岁以下的本科和研究生学历人数和为人，所以35岁以下的研究生学历人数有人.故15如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是_.根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积公式即可求的面积.【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半，的高为8，即，故答案为.本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题.16已知向量，若，则的最小值_.【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解】， ，当且仅当，即时

11、，等号成立.故关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形，展开后，即可利用基本不等式求最值.四、解答题17如图为正四棱锥P - ABCD，PO平面ABCD，BC = 3，PO = 2.(1)求正四棱锥P - ABCD的体积；(2)求正四棱锥P - ABCD的表面积.(1)6；(2)24.【分析】（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解；（2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.【详解】(1)根据题意，得.(2)如图所示，作的中点，连接，则，故正四棱锥P - ABCD的表面积.18在中，内角所对的边分别是，已知，.(1)求的值；(2)求的面积.(1)(2)【分析】（1）直接利用余弦定理

12、即可求解；（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.【详解】(1)由余弦定理可得，即，解得，(2)，且，,由得，,.故的面积为.19为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；（）估计这名同学周末学习时间的分位数；（）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由（）9；（）8.75；（）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.（）首先求学习

13、时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（）首先估算学习时间在分位数所在的区间，再根据公式计算结果；（）根据样本的代表性作出判断.【详解】（）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为（）学习时间在小时以下的频率为，学习时间在小时以下的频率为，所以分位数在，则这名同学周末学习时间的分位数为（）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性20如图，在正方体中，为的中点，为的中点(1)求证：平面；(2)求证：平面平面(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判

14、定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.(2)证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，所以，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.21已知，(1)求；(2)设，的夹角为，求的值；(3)若向量与互相垂直，求的值(1)；(2)；(3)【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解；（2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量与的坐标，利用坐标表示即可求解.【详解】(1)因为，所以.(2)因为，所以.(3)由，可得，因为向量与互相垂直，所以，即，解得.22如图