求解奇数阶幻方的一个简单方法

1、数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY第37 卷第24 期2007 年12 月V o l. 37 No. 24D ecem . , 2007求解奇数阶幻方的一个简单方法,吴连发,( 上饶师范学院 数学与计算机系, 江西 上饶 33400 )摘要:运用等差数列的相关原理, 给出一种构造奇数阶对称幻方的新方法 等差数列法 此方法简单、快捷、便于计算机操作, 具有优越性:幻方; 构造方法; 等差数列法知道以1 为首项的 n2 个连续自然数正好布满一个 n n 方阵. 如果方阵中的每一行, 每一列及主、副对角线上的各数之和都相等, 且等于( n3

2、 + n) / 2( “幻和”) , 那么称这个方阵为幻方. 幻方的研究主要在于它的构造, 这一古老的数学问题曾吸引了古今中外许多数学家的注意, 并产生了众多构造幻方的方法 1 . 笔者尝试并得到了运用“等差数列法”对奇数阶空方阵的直接填数来构造奇数阶幻方的方法. 此方法简单且原理清晰.1等差数列法定义 等差数列法是指运用等差数列的相关概念、性质、公式等构造幻方的方法. 为了能更好地表述这一方法,作如下的一些约定.约定1: 如图1, 在一 n n 方阵中: 称AC 为主对角线, 记为A ; BD 为副对角线, 记为B ; EF 为右短对角线( 与 AC 平行且居 AC 右上方的第一条短对角线)

3、 记为 E ; GH 为左短对角线( 与 AC 平行且居AC 左下方的第一条短对角线) 记为 G .约定2: 在 n n 方阵中, 用aij ( i , j = 1, 2, , n) 表示位于方阵第i 行, 第 j 列交叉位置n - 1n + 1n + 1, n - 1上的数. 如图 2, 中心块型”五个方格标号为,2222n + 1, n +1n + 1, n + 3n + 3, n + 1n + 1, n + 1, 其中为中心格标号.,22222222图1图 2收稿日期 2007 02 0424 期, 等: 求解奇数阶幻方的一个简单方法1752奇数阶幻方的构造步骤第 1 步, 将数列 1

4、n2 ( n =2k + 1, k N * ) 的中数 2k2 +2k + 1 填写在中心格n + 1n +1n + 1 n + 32中; 将数列的首项 1 填写在格中; 将数列的末项 n 填写在,22n -22n + 11n + 3 n + 1格中; 将数列的第 n 项 n 填写在格中; 将数列中与第 n 项对,2222n - 1, n + 1称的第( n2 -造见图3.n + 1) 项 4k2 + 2k + 1 填入格中. 以9 阶幻方为例, 第一步构22n - 1 、 n - 1, n + 1n + 1,第 2 步,填写 A 、E 、G 线上的数. 分别以标号为、2222n + 1 n

5、- 1方格中的数为首项, 以 - n 为公差的各等差数列的项顺次填写在 B 线左上,22n + 1 n + 1n + 1, n + 3方的 A 、E 、G 线 所在 方格 中; 分别 以标 号为、,2222n + 1n + 3,方格中的数为首项, 以 n 为公差的各等差数列的项顺次填写在 B 线右下方22的 A 、E 、G 线所在方格中. 以 9 阶幻方为例, 第二步构造见图 4.第3 步, 填写右短对角线E 右上方的数. 分别以A 线和E 线上的数为首项, 以公差为1的等差数列各项顺次填入同一斜线的方格中. 以 9 阶幻方为例, 第 3 步构造见图 5.第 4 步, 填写左短对角线左下方的数

6、. 分别以 A 线和 G 线上的数为首项, 将公差为- 1的等差数列各项顺次填入同一斜线的方格中, 至此一个奇数阶幻方便制作成功了. 按上述步骤构造的 9 阶幻方如图 6.图3图4图5图63等差数列法构造奇数阶幻方的数学原理以下是用该法构造 n 阶( n = 2k + 1) 幻方的缩略图:数 学 的 实 践 与 认识37 卷1763. 1 主对角线元主对角线元素和一个首项为 k + 1, 末项为4k 2 +1, 公差为 n 的n 元等差数列,3k +1) 3 +1) + ( 4k 2 + 3k + 1) n3 +( 2k + 1) ( k +( 2k +( 2k + 1)n和为:( 幻和)=2

7、223. 2 副对角线元和副对角线元素是一个首项为 2k2 +k + 1( 由中心数2k 2 +2k + 1 减k 而得) , 末项为2k2+ 3k + 1( 由中心数 2k 2 +2k + 1 加 k 而得) 且以公差为 1 的 n 元等差数列, 和为:( 2k + 1) ( 2k2 + k + 1) + ( 2k 2 + 3k + 1) ( 2k + 1) 3 +n3 +( 2k + 1)n( 幻和)=2223. 3 行或列之和观察幻方阵, 任取 s 1, 2, , n , 记 s( i , j ) 表示 s 位于幻方阵第 i 行, 第 j 列交叉位置, 则: i + j =2k + 3(

8、 s k + 1) , 其规律如下:1) 当 s 1, 2, , k 时, s( k + 2 - s, k + 1 +2) 当 s k + 2, k + 3, , 2k + 1 时, s( 3k +s)3 - s, s - k) 具体如下: 1 ( k + 1,k + 2) 2 ( k, k + 1( k + 2, k +3) k ( 2, 2k + 1) k + 1 ( 1, 1) k + 2 ( 2k + 1, 2) k + 3 ( 2k, 3) 2k1) 即 1, 2, , n 中任意两个数不在同一行( 同一列) , 从 1, 2, , n 中任取一数 s, s 所在的行和所在的列的全部

9、元素分别为:且上述行和列的元素可按“跳格补空”方式进行填数, 具体如下:行以s 为首项, 公差为n + 1 跳一格往右补空填数, 逢 n 的倍数( 或模 n 余0 的数) 跳跃 1 个数, 再继续以公差 n + 1 跳格填数.列以s 为首项, 公差为n - 1 跳一格往下补空填数, 逢模 n 余 1 的数跳跃 2n - 1.以9 阶幻方为例, 取元素8 所在的行及列说明: 8( 7, 4) 元素8 所在的第7 行元素集合为 8, 18, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79 , 其所在的第4 列元素集合为 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,81 一般地

10、,S 所在的行和列可拆成两个等差数列之和, 其所在行和为:( n - s + 1) s + s + ( n - s) d1 2行=( s - 1) 2 s + ( n - s) d 1 + 1 + ( s - 2) d1 2+n3 +n=2其中d 1 = n + 1( 或 2k + 2) . S 所在的列和为:24 期, 等: 求解奇数阶幻方的一个简单方法177s s + s + ( s - 1) d 2 2=列( n - s) 2 s + ( s - 1) d2 + 2n - 1 + ( n - s - 1) d22+n3 +n=,2其中 d2 =n - 1( 或2k ) . 由s 任意性,

11、 s 取尽 1, 2, , n 中所有数时, 即证明幻方阵每行每列之和均为( n3 + n) / 2. 证毕.利用等差数列法构造的奇数阶幻方还是一个对称幻方. 对称幻方的特点是: 在 n 阶幻方中所有处于中心对称的两数之和都相等, 且和等于 n2 + 1. 如图 6 中:5 + 77 = 25 + 57 = 45 + 37 = 73 + 9 = = 82.众多研究也告诉, 幻方对于激发学生的数学, 培养学生的数感, 开发其智力, 拓展其数学思维都有一定的作用, 是进行中小学数学教育的一个极好素材.参考文献:幻方及其它数学经典各题 M 辞书科学普及科学, 2003, 0 5 55 2 3 4身

12、数学( 四) M , 2006, 7 5785, 985, 6 520, 996, 934幻方与数阵趣谈 M 奇妙的幻方 M 重庆 重庆大学A New Simple Method for the Construction ofSquare of Odd OrderLIAO Yun er,ZHU Bao man,WU Lian fa( Dept . o f M athematics and Shang rao N or mal Co lleg e, Shangr ao Jiang x i 334001, China)Abstract:A mew method, the ar ithmeit c pr o gr esmehto d, o f constr ucting assotiv esquares o f odd o r der is given by t he a pplicaton o f the related principles of ar ithmet icpro gr es. T his mehtod m akes the co nstr uctio n ofsquares of odd or der mor e easily and