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1、第七节二、方向导数的定义 三、梯度的概念方向导数与梯度一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一、问题的提出 讨论函数 在一点P 沿某一方向的变化率问题二、方向导数的定义（如图）当 沿着 趋于 时，是否存在？记为证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方

2、向导数的定义例3. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .解: 向量 l 的方向余弦为解令故方向余弦为故三、梯度的概念方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：1. 定义即同样可定义二元函数记作(gradient),在点处的梯度 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度2. 梯度的几何意义结论在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量梯度与等高线的关系：3. 梯度的基本运算公式例4.证:试证处矢径 r 的模 ,解由梯度

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