高中数学选修第一册：1.4.2 空间向量的应用（二）（精讲）（解析版）

1、 1.4.2 空间向量应用（二）思维导图常见考法考点一 空间向量求线线角【例1】（2020全国高三一模（文）如图，四棱锥中，底面是矩形，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，两两垂直，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系.又因为，所以，因为是棱的中点，所以，所以，所以，故选：B.向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值【一隅三反】1（

2、2020河南高二）已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有设，则，所以又因为，所以故选：A2.三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，AA1平面ABC，AA1AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为()A.eq f(1,10) B.eq f(3,5) C.eq f(7,10) D.eq f(4,5)【答案】C【解析】如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角

3、坐标系，不妨设AC2，则A(0，1，0)，M(0，0，2)，B(eq r(3)，0，0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，所以eq o(AM,sup6()(0，1，2)，eq o(BN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，2)，所以coseq o(AM,sup6()，eq o(BN,sup6()eq f(o(AM,sup6()o(BN,sup6(),|o(AM,sup6()|o(BN,sup6()|)eq f(f(7,2),r(5)r(5)eq f(7,10)，故选C.3已知四棱锥SABCD

4、的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()Aeq f(1,3) Beq f(r(2),3)Ceq f(r(3),3)Deq f(2,3)【答案】C【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥SABCD的棱长为eq r(2)，则A(0，1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(1,0,0)，E点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(1,2)，eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，f(1,2)，eq o(SD,sup7()(1,0，1)，coseq o(AE,s

5、up7()，eq o(SD,sup7()eq f(1,f(r(6),2)r(2)eq f(r(3),3)，故异面直线所成角的余弦值为eq f(r(3),3).故选C考点二 空间向量求线面角【例2】（2020全国高二）如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.（1）求证：；（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为，所以.因为为正方形，所以，又因为，所以.因为，所以.因为，故，而为线段的中点，所以，又因为，所以.而，故；（2）因为，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设

6、正方形的边长为2，则，设为平面的法向量，则所以取，则，而，故直线与平面所成角的正弦值为若直线l与平面的夹角为，直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹角为，则eq f(,2)或eq f(,2)，故有sin |cos |eq f(|ln|,|l|n|).【一隅三反】1（2020浙江高三开学考试）如图，四棱锥中， （1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接. ，为的中点，则，又，可得，四边形为平行四边形，且，则，平面，平面，因此，；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、，所以，.设

7、平面的法向量为，由，得，可得，令，可得，则，.因此，直线与平面所成角的正弦值为.2（2020天津河西.高三二模）在正四棱柱中，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】如图建立空间直角坐标系，(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)（1）证明：设平面的法向量(，)，(1，1，0)，(0，1，1)由，即，取，得(1，-1，1)，又(-1，1，2)，因为，所以，所以平面.（2）证明：

8、由（1）可知(1，-1，1)，(-1，1，-1)，所以，所以平面.（3）设点的坐标为(1，1，)，(0，1，)，设直线与平面所成角为，则，解得，所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，所以的长为.3（2020江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，ACBC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，)，P(1，1，3)，设直线CE与直线PA夹角为，则整理得；

9、直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)设直线PC与平面DEC夹角为，设平面DEC的法向量为，因为，所以有取，解得，即面DEC的一个法向量为，.直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.考点三 空间向量求二面角【例3】（2020河南高三其他（理）如图，在三棱锥中，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），平面，平面，平面 又平面， 在中，即 又平面平面，平面 （2）据（1）求解知，两两互相垂直以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则， 设平面的一个法向量，则令，则， 又平面的一个法向量， 又分析知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为利用向量法求

10、二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解【一隅三反】1（2020全国）如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）如图，连接，因为平面，所以.又因为在圆周上，为圆的直径，所以，.故平面.（2）因为，直径，所以，由（1）得，垂直于圆所在的平面，所以.因为，以点为坐标原点，以、为、轴建立如图空间直角坐标系，则、，设平面的法向量，则，即，取，得.同理可求得平面的一个法向量.设与的夹角为，故

11、，又由图知为锐二面角，二面角的余弦值为.2（2020全国）如图，已知四棱锥中，是平行四边形，平面平面，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，因为，分别为，的中点，所以，又因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，又，所以平面.所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内.令，又，所以，设平面的一个法向量为，则所以令，则，所以.又平面，所以

12、是平面的一个法向量.所以.所以二面角的余弦值为.3（2020全国）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为平面，平面，所以.因为，所以，所以，故.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图，以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，由，即，取，则，.依题意，解得.于是，.则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明

13、垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法考点四 空间向量求距离【例4】（2020全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ） ABCD【答案】B【解析】 如图建立空间直角坐标系，则： 由于平面平面，又，平面故平面的一个法向量为：到平面的距离为：故选：B求点到平面的距离的步骤可简化为：求平面的法向量；求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解【一隅三反】1（2019湖南高二期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）ABC1D【答案】A【解析】由题意，则，故选：A2（2020黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理）已知四面体中，两两垂直，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，.，.设平面的法向量，则，令，得，故.因为直线与平面所成角的正切值为，所以直线与平面所成角的正弦值为.即，解得.所以平面的法向